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5. 某公园形如长方形ABCD，长为a，宽为b. 该公园中有3条宽均为c的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为
（
A.$ab - bc - ac$
B.$ab - 2bc - ac$
C.$ab - ac - 2bc + c^2$
D.$ab - ac - 2bc + 2c^2$
（
D
）A.$ab - bc - ac$
B.$ab - 2bc - ac$
C.$ab - ac - 2bc + c^2$
D.$ab - ac - 2bc + 2c^2$
答案
5.D
解析
【分析】
要计算小草的面积，可优先采用平移法简化计算：我们可以把分散的小草区域向边角平移，拼接成一个完整的新长方形，只需要求出新长方形的长和宽，再用长乘宽就能得到小草面积；也可以用公园总面积减去小路总面积计算，注意小路交叉处的面积被重复减去了，需要加回多减的部分，避免结果错误。
【解析】
方法一：平移法
将所有种小草的空白区域平移拼接后，得到一个新的长方形：
新长方形的长 = 原长方形长 - 2条小路的水平宽度 = $a-2c$
新长方形的宽 = 原长方形宽 - 1条水平小路的宽度 = $b-c$
小草面积 = 新长方形面积 = $(a-2c)(b-c)$
展开计算：
$\begin{aligned}(a-2c)(b-c)&=ab -ac -2bc +2c^2\end{aligned}$
方法二：总面积减小路面积
长方形公园总面积为$ab$；
3条小路面积分别为：竖直长方形小路面积$bc$、水平长方形小路面积$ac$、斜向平行四边形小路（底为c，高为b）面积$bc$；
小路有2处交叉重叠，每处重叠面积为$c^2$，这部分在求和时被重复计算了1次，因此小路实际总面积为：$ac+bc+bc -c^2 -c^2=ac+2bc-2c^2$
小草面积 = 公园总面积 - 小路总面积 = $ab-(ac+2bc-2c^2)=ab -ac -2bc +2c^2$
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平移法求面积；整式的运算；面积计算
【点评】
这是不规则区域面积计算的典型题型，平移法是解决这类问题的常用技巧，能有效避免重叠区域多减、漏算的问题，计算整式展开时要注意不要漏乘项。
【难度系数】
0.7
要计算小草的面积，可优先采用平移法简化计算：我们可以把分散的小草区域向边角平移，拼接成一个完整的新长方形，只需要求出新长方形的长和宽，再用长乘宽就能得到小草面积；也可以用公园总面积减去小路总面积计算，注意小路交叉处的面积被重复减去了，需要加回多减的部分，避免结果错误。
【解析】
方法一：平移法
将所有种小草的空白区域平移拼接后，得到一个新的长方形：
新长方形的长 = 原长方形长 - 2条小路的水平宽度 = $a-2c$
新长方形的宽 = 原长方形宽 - 1条水平小路的宽度 = $b-c$
小草面积 = 新长方形面积 = $(a-2c)(b-c)$
展开计算：
$\begin{aligned}(a-2c)(b-c)&=ab -ac -2bc +2c^2\end{aligned}$
方法二：总面积减小路面积
长方形公园总面积为$ab$；
3条小路面积分别为：竖直长方形小路面积$bc$、水平长方形小路面积$ac$、斜向平行四边形小路（底为c，高为b）面积$bc$；
小路有2处交叉重叠，每处重叠面积为$c^2$，这部分在求和时被重复计算了1次，因此小路实际总面积为：$ac+bc+bc -c^2 -c^2=ac+2bc-2c^2$
小草面积 = 公园总面积 - 小路总面积 = $ab-(ac+2bc-2c^2)=ab -ac -2bc +2c^2$
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平移法求面积；整式的运算；面积计算
【点评】
这是不规则区域面积计算的典型题型，平移法是解决这类问题的常用技巧，能有效避免重叠区域多减、漏算的问题，计算整式展开时要注意不要漏乘项。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，根据作图痕迹推断$∠ BOC$的度数为
120°
。答案
6. 120°
解析
【分析】
首先观察作图痕迹，可判断出OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线。解题思路如下：第一步，利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和；第二步，根据角平分线的性质，求出∠OBC与∠OCB的度数和；第三步，再次利用三角形内角和定理，在△OBC中计算出∠BOC的度数。
【解析】
由作图痕迹可知，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题需要先识别角平分线的作图痕迹，再结合三角形内角和定理逐步推导角度，重点考查基础作图的识别能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.8
首先观察作图痕迹，可判断出OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线。解题思路如下：第一步，利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和；第二步，根据角平分线的性质，求出∠OBC与∠OCB的度数和；第三步，再次利用三角形内角和定理，在△OBC中计算出∠BOC的度数。
【解析】
由作图痕迹可知，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题需要先识别角平分线的作图痕迹，再结合三角形内角和定理逐步推导角度，重点考查基础作图的识别能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图，从标有数字1、2、3、4的四个小正方形中拿走一个，使余下的小正方形组成一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是
2
。答案
7. 2
解析
【分析】
解题首先要明确轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。我们可以采用逐一验证的思路，依次拿走标有1、2、3、4的小正方形，判断剩余的图形是否满足轴对称图形的特征，最终找到符合要求的答案。
【解析】
我们按照轴对称图形的定义逐一验证：
1. 若拿走标有1的小正方形：剩余的3个小正方形组成的图形无法找到一条直线，使直线两侧的部分对折后完全重合，不符合要求；
2. 若拿走标有2的小正方形：剩余的标有4、1、3的3个小正方形，沿连接第一行最左侧空白正方形左上角与标有1的正方形右下角的直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合要求；
3. 若拿走标有3的小正方形：剩余的3个小正方形组成的图形没有符合要求的对称轴，不符合要求；
4. 若拿走标有4的小正方形：剩余的3个小正方形组成的图形没有符合要求的对称轴，不符合要求。
综上，应该拿走的小正方形标号是2。
【答案】
2
【知识点】
1. 轴对称图形定义
2. 轴对称图形判定
【点评】
本题侧重考查轴对称图形概念的实际应用，采用逐一排除的方法即可快速求解，解题时需要注意仔细观察图形的结构特征，避免漏看可能的对称轴。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。我们可以采用逐一验证的思路，依次拿走标有1、2、3、4的小正方形，判断剩余的图形是否满足轴对称图形的特征，最终找到符合要求的答案。
【解析】
我们按照轴对称图形的定义逐一验证：
1. 若拿走标有1的小正方形：剩余的3个小正方形组成的图形无法找到一条直线，使直线两侧的部分对折后完全重合，不符合要求；
2. 若拿走标有2的小正方形：剩余的标有4、1、3的3个小正方形，沿连接第一行最左侧空白正方形左上角与标有1的正方形右下角的直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合要求；
3. 若拿走标有3的小正方形：剩余的3个小正方形组成的图形没有符合要求的对称轴，不符合要求；
4. 若拿走标有4的小正方形：剩余的3个小正方形组成的图形没有符合要求的对称轴，不符合要求。
综上，应该拿走的小正方形标号是2。
【答案】
2
【知识点】
1. 轴对称图形定义
2. 轴对称图形判定
【点评】
本题侧重考查轴对称图形概念的实际应用，采用逐一排除的方法即可快速求解，解题时需要注意仔细观察图形的结构特征，避免漏看可能的对称轴。
【难度系数】
0.7
8. 如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则该顶点平移的距离为
5
cm.答案
8. 5
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的基本性质：图形平移时，图形上任意一点移动的距离都等于整个图形平移的距离。本题已知目标顶点平移前对应直尺刻度为5，平移后对应刻度为10，平移距离就是两个刻度的差值，直接用结束刻度减去起始刻度即可得到结果。
【解析】
根据平移的性质，平移过程中对应点移动的距离即为平移的距离。
已知该顶点平移前在刻度“5”处，平移后在刻度“10”处，直尺单位为cm，因此平移的距离为：
$10\mathrm{cm}-5\mathrm{cm}=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
平移的性质；长度的测量
【点评】
本题是基础题，主要考查平移距离的计算，结合刻度尺的读数即可快速得出结果，容易得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平移的基本性质：图形平移时，图形上任意一点移动的距离都等于整个图形平移的距离。本题已知目标顶点平移前对应直尺刻度为5，平移后对应刻度为10，平移距离就是两个刻度的差值，直接用结束刻度减去起始刻度即可得到结果。
【解析】
根据平移的性质，平移过程中对应点移动的距离即为平移的距离。
已知该顶点平移前在刻度“5”处，平移后在刻度“10”处，直尺单位为cm，因此平移的距离为：
$10\mathrm{cm}-5\mathrm{cm}=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
平移的性质；长度的测量
【点评】
本题是基础题，主要考查平移距离的计算，结合刻度尺的读数即可快速得出结果，容易得分。
【难度系数】
0.9
9. 如图，将$△ ABC$沿$BC$方向平移2个单位长度得到$△ DEF$，若四边形$ABFD$的周长为14，则$△ ABC$的周长为
10
。答案
9. 10
解析
【分析】
解题时先利用平移的性质梳理线段关系：图形平移后，对应线段相等，对应点的连线长度等于平移距离。首先明确△ABC平移得到△DEF后，对应边相等，AD、CF的长度都等于平移距离2。再将四边形ABFD的周长拆解，用△ABC的边和平移距离表示，即可建立两者的数量关系，求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵将△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF
∴AD=CF=2，AC=DF
四边形ABFD的周长 = AB + BF + DF + AD
其中BF=BC+CF，将DF=AC、BF=BC+CF代入得：
四边形ABFD的周长 = AB + (BC+CF) + AC + AD = (AB+BC+AC) + CF + AD
已知四边形ABFD的周长为14，CF=2，AD=2
∴△ABC的周长 = AB+BC+AC = 14 - 2 - 2 = 10
【答案】
10
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题核心是准确找到平移后相等的线段，将四边形周长和原三角形周长建立关联，解题时注意不要漏算平移得到的两条等长线段。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平移的性质梳理线段关系：图形平移后，对应线段相等，对应点的连线长度等于平移距离。首先明确△ABC平移得到△DEF后，对应边相等，AD、CF的长度都等于平移距离2。再将四边形ABFD的周长拆解，用△ABC的边和平移距离表示，即可建立两者的数量关系，求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵将△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF
∴AD=CF=2，AC=DF
四边形ABFD的周长 = AB + BF + DF + AD
其中BF=BC+CF，将DF=AC、BF=BC+CF代入得：
四边形ABFD的周长 = AB + (BC+CF) + AC + AD = (AB+BC+AC) + CF + AD
已知四边形ABFD的周长为14，CF=2，AD=2
∴△ABC的周长 = AB+BC+AC = 14 - 2 - 2 = 10
【答案】
10
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题核心是准确找到平移后相等的线段，将四边形周长和原三角形周长建立关联，解题时注意不要漏算平移得到的两条等长线段。
【难度系数】
0.8
10. 如图，DE垂直平分AC，交BC于点D，交AC于点E，AC=8 cm，△ABD的周长为16 cm，则△ABC的周长是
24
cm.答案
10. 24
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得AD=CD；再观察△ABD的周长组成，将AD替换为CD，即可将△ABD的周长转化为AB与BC的长度和；最后结合AC的长度，代入△ABC的周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC
∴AD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵△ABD的周长为16 cm
∴AB+BD+AD=16 cm
将AD替换为CD，可得：
AB+BD+CD=AB+BC=16 cm
又
∵AC=8 cm
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16+8=24 cm
【答案】
24
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知的边长和转化为已知的三角形周长，解题思路清晰，是垂直平分线性质的典型应用考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得AD=CD；再观察△ABD的周长组成，将AD替换为CD，即可将△ABD的周长转化为AB与BC的长度和；最后结合AC的长度，代入△ABC的周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC
∴AD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵△ABD的周长为16 cm
∴AB+BD+AD=16 cm
将AD替换为CD，可得：
AB+BD+CD=AB+BC=16 cm
又
∵AC=8 cm
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16+8=24 cm
【答案】
24
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知的边长和转化为已知的三角形周长，解题思路清晰，是垂直平分线性质的典型应用考题。
【难度系数】
0.8
