5. （新考法·新定义题）定义：任意两个数$a$，$b$，按规则$c=(a + 1)(b + 1)$运算得到一个新数$c$，称所得的新数$c$为$a$，$b$的“和积数”.
（1）若$a = 4$，$b = -2$，求$a$，$b$的“和积数”$c$；
（2）若$ab=\dfrac{1}{2}$，$a^{2}+b^{2}=8$，求$a$，$b$的“和积数”$c$.

5. （1）根据“和积数”的定义，得 $ c = (4 + 1) × (-2 + 1) = -5 $ （2）根据题意，得 $ c = (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1 $. 因为 $ ab = \frac{1}{2} $，$ a^{2} + b^{2} = 8 $，所以 $ (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = 8 + 1 = 9 $，所以 $ a + b = 3 $ 或 $ a + b = -3 $. 当 $ a + b = 3 $ 时，$ c = \frac{1}{2} + 3 + 1 = \frac{9}{2} $；当 $ a + b = -3 $ 时，$ c = \frac{1}{2} - 3 + 1 = -\frac{3}{2} $. 综上所述，c 的值为 $ \frac{9}{2} $ 或 $ -\frac{3}{2} $

6. 我们给出如下定义：对于关于$x$的多项式，若当$x + m$取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于$x = -m$对称，称$x = -m$是它的对称轴. 例如：$x^{2}-4x + 3 = x^{2}-4x + 4 - 4 + 3 = (x - 2)^{2}-1$. 观察可以发现，当$x - 2$取任意一对互为相反数的值时，多项式$x^{2}-4x + 3$的值是相等的，则称$x^{2}-4x + 3$关于$x = 2$对称，$x = 2$是它的对称轴.
（1）将多项式$x^{2}+6x + 4$变形为$(x + m)^{2}+n$的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于$x$的多项式$x^{2}-kx + 4$关于$x = 3$对称，求$k$的值.

6. （1）$ x^{2} + 6x + 4 = x^{2} + 6x + 9 - 9 + 4 = (x + 3)^{2} - 5 $，所以对称轴为 $ x = -3 $ （2）因为 $ x^{2} - kx + 4 = (x - \frac{k}{2})^{2} + 4 - \frac{k^{2}}{4} $，且关于 $ x = 3 $ 对称，所以 $ \frac{k}{2} = 3 $，解得 $ k = 6 $

7. 定义：若有序数对$(x,y)$满足二元一次方程$ax + by = c$（$a$，$b$为不等于$0$的常数），则称$(x,y)$为二元一次方程$ax + by = c$的“数对解”. 例如：有序数对$(-1,3)$满足$3x - y = -6$，则称$(-1,3)$为$3x - y = -6$的“数对解”.
（1）有下列有序数对：① $(\dfrac{1}{2},-3)$；② $(-1,6)$；③ $(1,2)$. 判断这些有序数对是否为二元一次方程$2x + y = 4$的“数对解”.
（2）若有序数对$(p + q,p + 5)$为二元一次方程$2x - y = 1$的一个“数对解”，且$p$，$q$为正整数，求$p$，$q$的值.

7. （1）当 $ x = \frac{1}{2} $，$ y = -3 $ 时，$ 2x + y = 2 × \frac{1}{2} - 3 = -2 ≠ 4 $，所以①不是二元一次方程 $ 2x + y = 4 $ 的“数对解”. 当 $ x = -1 $，$ y = 6 $ 时，$ 2x + y = 2 × (-1) + 6 = 4 $，所以②是二元一次方程 $ 2x + y = 4 $ 的“数对解”. 当 $ x = 1 $，$ y = 2 $ 时，$ 2x + y = 2 × 1 + 2 = 4 $，所以③是二元一次方程 $ 2x + y = 4 $ 的“数对解”. 综上所述，②③是二元一次方程 $ 2x + y = 4 $ 的“数对解” （2）因为有序数对 $ (p + q, p + 5) $ 为二元一次方程 $ 2x - y = 1 $ 的一个“数对解”，所以 $ 2(p + q) - (p + 5) = 1 $，化简，得 $ p + 2q = 6 $. 因为 p，q 为正整数，所以 $ \begin{cases} p = 4, \\ q = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} p = 2, \\ q = 2 \end{cases} $