【典例3】在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水深$y$（单位：米）与时间$x$（单位：时）的关系表：

(1)请从$y=ax+b$，$y=A\sin(ω x+\varphi)+B$，$y=\cos(ω x+\varphi)$这3个函数中选择一个函数近似描述这一天这个港口的水深$y$与时间$x$的函数关系，不需要说明理由.
(2)请根据你对(1)的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式.
(3)依照(2)中的函数模型，若一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙(船底与海底的距离)，则该货船在这一天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在这一天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
解题指导 (1)画出散点图，结合散点图大致走势即可判断；
(2)根据(1)中散点图中特殊的点的坐标即可求解；
(3)由(2)求解不等式$2.5\sin(\frac{π}{6}x)+5≥4+2.25$.
答案 解:(1)以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点，如图所示.根据图象可考虑用函数$y=A\sin(ω x+\varphi)+B$近似描述这一天这个港口的水深$y$与时间$x$的函数关系.
(2)由已知数据结合图象可得，$A=2.5$，$B=5$，最小正周期$T=12$，所以$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{6}$，故$y=f(x)=2.5\sin(\frac{π}{6}x+\varphi)+5$.

又$f(0)=2.5\sin\varphi+5=5$，可取$\varphi=0$，
所以$y=f(x)=2.5\sin(\frac{π}{6}x)+5$.
(3)由题意可得，$y=2.5\sin(\frac{π}{6}x)+5$，
则$2.5\sin(\frac{π}{6}x)+5≥4+2.25$，得$\sin(\frac{π}{6}x)≥\frac{1}{2}$，所以$\frac{π}{6}+2kπ≤\frac{π}{6}x≤\frac{5π}{6}+2kπ$，$k\in\mathbb{Z}$，解得$1+12k≤ x≤5+12k$，$k\in\mathbb{Z}$.
又$0≤ x≤24$，所以取$k=0$可得，$1≤ x≤5$，取$k=1$可得，$13≤ x≤17$，
所以该货船可以在这一天的1时进港、5时离港或13时进港、17时离港，
所以卸货最多只能用4小时.

解：
(1) 选择函数$y=A\sin(ω x+\varphi)+B$近似描述这一天该港口的水深$y$与时间$x$的函数关系。
(2) 由表格数据可知，水深最大值为7.5，最小值为2.5，因此：
$A=\frac{7.5-2.5}{2}=2.5$，$B=\frac{7.5+2.5}{2}=5$。
由数据可得函数最小正周期$T=12$，因此$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{6}$。
将$x=0,y=5$代入$y=2.5\sin(\frac{π}{6}x+\varphi)+5$，得$2.5\sin\varphi +5=5$，即$\sin\varphi=0$，可取$\varphi=0$。
因此所求函数解析式为：
$y=2.5\sin(\frac{π}{6}x)+5,\quad x\in[0,24]$
(3) 由题意，货船安全通行要求水深不小于$4+2.25=6.25$米，列不等式：
$2.5\sin(\frac{π}{6}x)+5\ge6.25$
整理得$\sin(\frac{π}{6}x)\ge\frac{1}{2}$。
由正弦函数性质得：
$\frac{π}{6}+2kπ\le\frac{π}{6}x\le\frac{5π}{6}+2kπ,\ k\in\mathbb{Z}$
解得$1+12k\le x\le5+12k,\ k\in\mathbb{Z}$。
结合$0\le x\le24$，取$k=0$得$1\le x\le5$，取$k=1$得$13\le x\le17$。
因此该货船可以在1时至5时、13时至17时安全进出港口。
要在当天卸完货并安全离港，最长可用时长为$5-1=4$小时，即卸货最多只能用4小时。
答：该货船在1时至5时、13时至17时能安全进出港口，卸货最多只能用4小时。

【变式3】弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了某弹簧振子在完成一次全振动的过程中的时间$t$与位移$s$之间的测量数据,那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式可以为 （）


A.$s=20\sin \dfrac{π t}{6},t\in[0,+∞)$
B.$s=20\cos \dfrac{π t}{6}$
C.$s=-20\cos \dfrac{π t}{6}$
D.$s=20\sin(\dfrac{π t}{6}-\dfrac{π}{2}),t\in[0,+∞)$

由题意,设$s=A\sin(ω t+\varphi),t\in[0,+∞)$。
由题中表格可知,振幅$A=20$,周期$T=12=\frac{2π}{ω}$,解得$ω=\frac{π}{6}$。
因为当$t=0$时,$s=-20$,
所以$-20=20\sin \varphi$,解得$\varphi=2kπ+\frac{3π}{2},k\in \mathbf{Z}$,
可令$k=-1$,得$\varphi=-\frac{π}{2}$。
故振动函数的解析式可以为$s=20\sin(\frac{π t}{6}-\frac{π}{2}),t\in[0,+∞)$。