一、基础过关
1. 如图1,两段公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得A,B两点间的距离为2 km,则M,C两点间的距离为 （）


A.2 km
B.1 km
C.0.5 km
D.1.5 km

1.B

2. 如图 2,在矩形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,AE 平分$∠BAD$交 BC 于点 E.若$∠ODA=30°$,则$∠BOE$的度数为 ()

A.$45°$
B.$60°$
C.$67.5°$
D.$75°$

2.D

3. 现要通过测量来判定一张四边形纸片是否为矩形. 甲准备了一把刻度尺,乙准备了一个量角器. 下列关于甲、乙能否判定这张纸片是矩形的说法中,正确的是 ()

A.甲能,乙不能
B.乙能,甲不能
C.甲、乙都能
D.甲、乙都不能

3.C

4. 如图 3,在矩形 OABC 中,点 B 的坐标是$(3,2)$,连接 AC,则 AC 的长是 （）

A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{5}$
C.13
D.$2\sqrt{5}$

4.A

5.如图4,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,
BC于点E,F.若AB=2,AC=4,则阴影部分的面积为.

5.$\sqrt{3}$

二、综合应用
6. 如图5,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,动点$E$以每秒2个单位长度的速度从点$A$出发沿$AC$方向运动,同时动点$F$以相同的速度从点$C$出发沿$CA$方向运动.若$AC=8,BD=5$,则经过秒时,四边形$BEDF$是矩形.

6.$\frac{3}{4}$或$\frac{13}{4}$

7. 如图 6，$△ ACD$ 和 $△ BDC$ 是两个全等的共斜边的直角三角形，$∠ CAD = ∠ CBD = 90°$，$M$ 是 $CD$ 的中点，连接 $AM,BM$。
(1)线段 $AM,BM$ 的数量关系为________；
(2)分别过点 $A,B$ 作 $AE ⊥ CD$ 于点 $E$，$BF ⊥ CD$ 于点 $F$，连接 $AB$。若 $CD = 2\sqrt{13}$，$AB=4$，求四边形 $AEFB$ 的面积。

7.解:(1)$AM=BM$
(2)过点 $M$ 作 $MN⊥AB$ 于点 $N$,
由(1)得,$AM=BM=\frac{1}{2}CD$.
$\because CD=2\sqrt{13},\therefore AM=BM=\sqrt{13}.$
$\because MN⊥AB,AB=4,\therefore AN=\frac{1}{2}AB=2,$
$\therefore MN=\sqrt{AM^2-AN^2}=3.$
$\because △ACD$ 和 $△BDC$ 是两个全等的共斜边的直角三角形,
$AE⊥CD,BF⊥CD,$
$\therefore AE=BF,∠AEF=∠BFD=90°,$
$\therefore AE// BF,\therefore$ 四边形 $AEFB$ 是平行四边形.
$\because ∠AEF=90°,$
$\therefore$ 四边形 $AEFB$ 是矩形,$\therefore AE=MN=BF=3,$
$\therefore$ 四边形 $AEFB$ 的面积$=AB· AE=4×3=12.$