1. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿.若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完.设有牧童$x$人，竹竿$y$根.根据题意，列方程组正确的是（）

A.$\begin{cases}6x -14 = y, \\8x = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}6x +14 = y, \\8x = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}6x -14 = x, \\8y = x\end{cases}$
D.$\begin{cases}6y +14 = x, \\8y = x\end{cases}$

B

根据题意，牧童有x人，竹竿有y根。每人6根竹竿剩余14根，可得方程：6x +14 = y；每人8根竹竿恰好用完，可得方程：8x = y。因此方程组为$\begin{cases}6x +14 = y \\8x = y\end{cases}$，对应选项B。

2. 已知方程组$\begin{cases}x+2y=5, \\2x+y=1,\end{cases}$则$x+y$的值是（ ）

A.2
B.0
C.$-1$
D.$-2$

A

将方程组中两个方程相加，得3x+3y=6，两边同除以3，得x+y=2。

3. 已知$x,y$满足方程组$\begin{cases}x+m=3,\\y-2m=2,\end{cases}$则$x,y$之间的关系式是（ ）

A.$2x+y=8$
B.$x+2y=7$
C.$x+y=5$
D.$2x-y=-5$

A

由方程组$\begin{cases}x+m=3\\y-2m=2\end{cases}$，可得$m=3-x$，且$m=\frac{y-2}{2}$。联立得$3-x=\frac{y-2}{2}$，两边乘2整理得$2x+y=8$。

4. 若关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x=3, \\ y=4,\end{cases}$ 则关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = \frac{1}{2}c_1, \\ a_2x + b_2y = \frac{1}{2}c_2\end{cases}$ 的解是 ______ .

$\begin{cases}x=\frac{3}{2} \\ y=2\end{cases}$

已知二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=4\end{cases}$，将待求解的方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = \frac{1}{2}c_1 \\ a_2x + b_2y = \frac{1}{2}c_2\end{cases}$的两个方程两边同时乘以2，可得$\begin{cases}a_1(2x) + b_1(2y) = c_1 \\ a_2(2x) + b_2(2y) = c_2\end{cases}$，与原方程组形式一致，因此$2x=3$，$2y=4$，解得$x=\frac{3}{2}$，$y=2$。

5. 如图,将7张相同的小长方形纸片不重叠的放在长方形ABCD内,已知小长方形纸片的长为a,宽为b,且$a＞b$,若未被覆盖的两个长方形周长相等,则a与b的数量关系用等式可表示为.

$ a = 5b $

设大长方形的长为$ L $，宽为$ W $。未被覆盖的左上长方形的长为$ a $，宽为$ W - 4b $；右下长方形的长为$ L - 3b $，宽为$ W - a $。由大长方形的长$ L = a + 4b $，可得右下长方形的长为$ (a + 4b) - 3b = a + b $。因为两个未被覆盖的长方形周长相等，所以$ 2[a + (W - 4b)] = 2[(a + b) + (W - a)] $，两边同除以2得$ a + W - 4b = b + W $，消去$ W $后化简得$ a = 5b $。

6. 关于$x,y$的二元一次方程均可以变形为$ax+by=c$的形式(其中$a,b,c$均为常数且$a≠0,b≠0$),规定:$(a,b,c)$为方程$ax+by=c$的“关联系数”.
(1) 二元一次方程$\frac{3x-2}{5}+\frac{2y+1}{4}=1$的“关联系数”为.
(2) 已知关于$x,y$的二元一次方程的“关联系数”为$(1,2,-1)$,若$\begin{cases}x=m-15,\\y=m+n\end{cases}$为该方程的一组解,且$m,n$均为正整数,求$m,n$的值.

(1)$(12,10,23)$；(2)$m=2,n=4$或$m=4,n=1$

(1) 先将方程$\frac{3x-2}{5}+\frac{2y+1}{4}=1$去分母，两边同乘20得：$4(3x-2)+5(2y+1)=20$，展开并整理为$ax+by=c$的形式：$12x +10y =23$，根据“关联系数”的定义，可得该方程的关联系数为$(12,10,23)$。
(2) 由“关联系数”为$(1,2,-1)$，可知对应的二元一次方程为$x +2y = -1$。将$\begin{cases}x=m-15\\y=m+n\end{cases}$代入该方程，得：$(m-15)+2(m+n)=-1$，整理得$3m +2n =14$。因为$m,n$均为正整数，所以$m≥1$，$n≥1$，对$m$的取值逐一讨论：
当$m=1$时，$3×1 +2n=14$，解得$n=\frac{11}{2}$，不是正整数，舍去；
当$m=2$时，$3×2 +2n=14$，解得$n=4$，符合条件；
当$m=3$时，$3×3 +2n=14$，解得$n=\frac{5}{2}$，不是正整数，舍去；
当$m=4$时，$3×4 +2n=14$，解得$n=1$，符合条件；
当$m≥5$时，$3m≥15＞14$，无符合条件的正整数$n$。
综上，$m=2,n=4$或$m=4,n=1$。