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7. (2025·姑苏区一模) 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 的图象和点 $A$ 如图所示,点 $A$ 的坐标为 $(-2,-1)$, 则 $k$ 的值可能为 （
A.$-3$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$π$
D
）A.$-3$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$π$
答案
7.D
8. (2025·工业园区期末)已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在反比例函数
$y=\frac{k-4}{x}$
的图象上,且当$x_1＜0＜x_2$时,$y_1＜y_2$,则$k$的取值范围是（
A.$k＞0$
B.$k＜0$
C.$k＞4$
D.$k＜4$
$y=\frac{k-4}{x}$
的图象上,且当$x_1＜0＜x_2$时,$y_1＜y_2$,则$k$的取值范围是（
C
）A.$k＞0$
B.$k＜0$
C.$k＞4$
D.$k＜4$
答案
8.C
9. 已知点$A(-2,y_{1})$和点$B(m,y_{2})$均在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上.若$0＜ m＜1$,则$y_{1}+y_{2}$
＜
0. (填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)答案
9.＜
10. 已知点$A(m,y_{1})$，$B(m+1,y_{2})$都在反比例函数$y=\dfrac{n^{2}+1}{x}$（$n$是常数）的图象上，且$y_{1}＜y_{2}$，则$m$的取值范围是
-1＜m＜0
.答案
10.-1＜m＜0
11. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,OC 在 y 轴上,$OA=a$,$OC=$$b(a ≤ b,a ≠ 0)$,将矩形 ABCO 绕点 A 顺时针旋转 $90°$ 得到矩形 ADEF,双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,$$x＞0)$ 经过点 B,分别交 DE,EF 于 P,Q 两点.
(1) 当 $a=2,b=4$ 时,求点 P,Q 的坐标;
(2) 当 P 是 DE 的中点时,求证:四边形 ABCO 是正方形.
(1) 当 $a=2,b=4$ 时,求点 P,Q 的坐标;
(2) 当 P 是 DE 的中点时,求证:四边形 ABCO 是正方形.
答案
11.(1)解:$\because OA=2,OC=4$,$\therefore B(2,4)$.
$\because$双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点$B$,
$\therefore k=2×4=8$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
$\because AF=OA=2$,
$\therefore$点Q的纵坐标为2.
把$y=2$代入$y=\frac{8}{x}$,得$2=\frac{8}{x}$,解得$x=4$,
$\therefore Q(4,2)$.
$\because AD=OC=4$,
$\therefore OD=2+4=6$,
$\therefore$点P的横坐标为6.
把$x=6$代入$y=\frac{8}{x}$,得$y=\frac{4}{3}$,
$\therefore P(6,\frac{4}{3})$.
(2)证明:由题意可知$B(a,b)$,
$\because$双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点$B$,
$\therefore k=ab$.
$\because AD=OC=b,DE=OA=a$,且P是DE的中点,
$\therefore P(a+b,\frac{1}{2}a)$.
$\because$双曲线$y=\frac{k}{x}$交DE于点P,
$\therefore (a+b)×\frac{1}{2}a=ab$,
整理,得$a=b$,
$\therefore OA=OC$.
$\because$四边形ABCO是矩形,
$\therefore$四边形ABCO是正方形.
$\because$双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点$B$,
$\therefore k=2×4=8$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
$\because AF=OA=2$,
$\therefore$点Q的纵坐标为2.
把$y=2$代入$y=\frac{8}{x}$,得$2=\frac{8}{x}$,解得$x=4$,
$\therefore Q(4,2)$.
$\because AD=OC=4$,
$\therefore OD=2+4=6$,
$\therefore$点P的横坐标为6.
把$x=6$代入$y=\frac{8}{x}$,得$y=\frac{4}{3}$,
$\therefore P(6,\frac{4}{3})$.
(2)证明:由题意可知$B(a,b)$,
$\because$双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点$B$,
$\therefore k=ab$.
$\because AD=OC=b,DE=OA=a$,且P是DE的中点,
$\therefore P(a+b,\frac{1}{2}a)$.
$\because$双曲线$y=\frac{k}{x}$交DE于点P,
$\therefore (a+b)×\frac{1}{2}a=ab$,
整理,得$a=b$,
$\therefore OA=OC$.
$\because$四边形ABCO是矩形,
$\therefore$四边形ABCO是正方形.
12. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD$的顶点$C$与原点$O$重合,点$B$在$y$轴的正半轴上,点$A$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点$D$的坐标为$(4,3)$.设$AB$所在直线的函数表达式为$y=ax+b(a ≠ 0)$,若将菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移$m$个单位长度.
(1)当菱形的顶点$B$落在反比例函数的图象上时,求$m$的值;
(2)在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边$AD$始终有交点,求$m$的取值范围.
(1)当菱形的顶点$B$落在反比例函数的图象上时,求$m$的值;
(2)在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边$AD$始终有交点,求$m$的取值范围.
答案
12.解:(1)$\because$点D的坐标为$(4,3)$,点C和原点O重合,
$\therefore CD=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=5$.
$\because$四边形ABCD为菱形,
$\therefore BC=AD=CD=5$,
$\therefore$点A的坐标为$(4,8)$,点B的坐标为$(0,5)$.
$\because$点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
$\therefore k=4×8=32$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{32}{x}$.
当$y=5$时,$\frac{32}{x}=5$,解得$x=\frac{32}{5}$,
$\therefore$当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时,$m$的值为$\frac{32}{5}$.
(2)当$y=3$时,$\frac{32}{x}=3$,解得$x=\frac{32}{3}$,
$\because \frac{32}{3}-4=\frac{20}{3}$,
$\therefore$当菱形的顶点D落在反比例函数的图象上时,$m$的值为$\frac{20}{3}$,
$\therefore$在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点,则$m$的取值范围为$0≤ m≤ \frac{20}{3}$.
$\therefore CD=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=5$.
$\because$四边形ABCD为菱形,
$\therefore BC=AD=CD=5$,
$\therefore$点A的坐标为$(4,8)$,点B的坐标为$(0,5)$.
$\because$点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
$\therefore k=4×8=32$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{32}{x}$.
当$y=5$时,$\frac{32}{x}=5$,解得$x=\frac{32}{5}$,
$\therefore$当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时,$m$的值为$\frac{32}{5}$.
(2)当$y=3$时,$\frac{32}{x}=3$,解得$x=\frac{32}{3}$,
$\because \frac{32}{3}-4=\frac{20}{3}$,
$\therefore$当菱形的顶点D落在反比例函数的图象上时,$m$的值为$\frac{20}{3}$,
$\therefore$在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点,则$m$的取值范围为$0≤ m≤ \frac{20}{3}$.
