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8.某市部分地区遭受了罕见的旱灾.某单位给长江乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件.
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.运输部门安排甲、乙两种货车时有几种可行方案?请你帮助设计出来.
(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使总运费最少?最少总运费是多少元?
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件.
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.运输部门安排甲、乙两种货车时有几种可行方案?请你帮助设计出来.
(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使总运费最少?最少总运费是多少元?
答案
(1)饮用水有200件，蔬菜有120件。
(2)设租甲种货车a辆，则乙种货车$(8-a)$辆，根据题意，得$\begin{cases}40a+20(8-a)≥200,\\10a+20(8-a)≥120,\end{cases}$解得$2≤ a≤4$。$\because a$为正整数，$\therefore a$取2,3,4。
$\therefore$共有三种运输方案：①租甲种货车2辆，乙种货车6辆；②租甲种货车3辆，乙种货车5辆；③租甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3)在(2)问的条件下，运费可表示为$400a+360(8-a)=(40a+2880)$元，总运费随a的增大而增大，$\therefore$方案①$a=2$时，总运费最小为2960元。
(2)设租甲种货车a辆，则乙种货车$(8-a)$辆，根据题意，得$\begin{cases}40a+20(8-a)≥200,\\10a+20(8-a)≥120,\end{cases}$解得$2≤ a≤4$。$\because a$为正整数，$\therefore a$取2,3,4。
$\therefore$共有三种运输方案：①租甲种货车2辆，乙种货车6辆；②租甲种货车3辆，乙种货车5辆；③租甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3)在(2)问的条件下，运费可表示为$400a+360(8-a)=(40a+2880)$元，总运费随a的增大而增大，$\therefore$方案①$a=2$时，总运费最小为2960元。
解析
【分析】
本题共3小问，解题思路逐层推进：
(1) 属于和差类实际问题，可设未知数列一元一次方程求解，抓住“饮用水和蔬菜共320件”作为等量关系列方程即可。
(2) 属于方案设计类问题，设甲种货车数量为a，可得乙种货车数量为(8-a)，要一次性运完所有物资，需满足“甲、乙货车运的饮用水总量≥200件”“甲、乙货车运的蔬菜总量≥120件”两个不等关系，列不等式组求正整数解就能得到所有可行方案。
(3) 属于最值类问题，先根据两种货车的运费列出总运费关于a的表达式，根据表达式的增减性，结合a的取值范围就能找到运费最少的方案。
【解析】
(1) 设蔬菜有x件，则饮用水有(x+80)件，根据总件数为320件列方程：
$x + (x + 80) = 320$
$2x + 80 = 320$
$2x = 240$
解得$x=120$
则饮用水件数为$120 + 80 = 200$（件）
(2) 设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车$(8-a)$辆，根据运输要求列不等式组：
$\begin{cases}40a + 20(8 - a) ≥ 200 \quad \mathrm{（饮用水运输量不低于总件数）} \\ 10a + 20(8 - a) ≥ 120 \quad \mathrm{（蔬菜运输量不低于总件数）}\end{cases}$
解第一个不等式：
$40a + 160 - 20a ≥ 200$
$20a ≥ 40$
$a ≥ 2$
解第二个不等式：
$10a + 160 - 20a ≥ 120$
$-10a ≥ -40$
$a ≤ 4$
所以不等式组的解集为$2 ≤ a ≤ 4$，又因为a为正整数，所以a可取2、3、4，对应三种方案：
① 租甲种货车2辆，乙种货车$8-2=6$辆；
② 租甲种货车3辆，乙种货车$8-3=5$辆；
③ 租甲种货车4辆，乙种货车$8-4=4$辆。
(3) 设总运费为W元，根据运费标准得：
$W = 400a + 360(8 - a) = 40a + 2880$
因为$40＞0$，所以W随a的增大而增大，要使W最小，应取a的最小值2，
代入得$W_{\mathrm{最小}} = 40×2 + 2880 = 2960$（元），对应方案①。
【答案】
(1) 饮用水有200件，蔬菜有120件。
(2) 共有三种可行方案：①租甲种货车2辆，乙种货车6辆；②租甲种货车3辆，乙种货车5辆；③租甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3) 选择租甲种货车2辆、乙种货车6辆的方案总运费最少，最少总运费是2960元。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式组应用；最优方案选择
【点评】
本题是生活实际背景下的综合应用题，难度梯度设置合理，既考查了方程、不等式组的基础运算能力，也考查了从题干中提取等量、不等关系转化为数学表达式的应用能力，计算时注意不等号方向的变化，最值判断要结合表达式的增减性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题共3小问，解题思路逐层推进：
(1) 属于和差类实际问题，可设未知数列一元一次方程求解，抓住“饮用水和蔬菜共320件”作为等量关系列方程即可。
(2) 属于方案设计类问题，设甲种货车数量为a，可得乙种货车数量为(8-a)，要一次性运完所有物资，需满足“甲、乙货车运的饮用水总量≥200件”“甲、乙货车运的蔬菜总量≥120件”两个不等关系，列不等式组求正整数解就能得到所有可行方案。
(3) 属于最值类问题，先根据两种货车的运费列出总运费关于a的表达式，根据表达式的增减性，结合a的取值范围就能找到运费最少的方案。
【解析】
(1) 设蔬菜有x件，则饮用水有(x+80)件，根据总件数为320件列方程：
$x + (x + 80) = 320$
$2x + 80 = 320$
$2x = 240$
解得$x=120$
则饮用水件数为$120 + 80 = 200$（件）
(2) 设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车$(8-a)$辆，根据运输要求列不等式组：
$\begin{cases}40a + 20(8 - a) ≥ 200 \quad \mathrm{（饮用水运输量不低于总件数）} \\ 10a + 20(8 - a) ≥ 120 \quad \mathrm{（蔬菜运输量不低于总件数）}\end{cases}$
解第一个不等式：
$40a + 160 - 20a ≥ 200$
$20a ≥ 40$
$a ≥ 2$
解第二个不等式：
$10a + 160 - 20a ≥ 120$
$-10a ≥ -40$
$a ≤ 4$
所以不等式组的解集为$2 ≤ a ≤ 4$，又因为a为正整数，所以a可取2、3、4，对应三种方案：
① 租甲种货车2辆，乙种货车$8-2=6$辆；
② 租甲种货车3辆，乙种货车$8-3=5$辆；
③ 租甲种货车4辆，乙种货车$8-4=4$辆。
(3) 设总运费为W元，根据运费标准得：
$W = 400a + 360(8 - a) = 40a + 2880$
因为$40＞0$，所以W随a的增大而增大，要使W最小，应取a的最小值2，
代入得$W_{\mathrm{最小}} = 40×2 + 2880 = 2960$（元），对应方案①。
【答案】
(1) 饮用水有200件，蔬菜有120件。
(2) 共有三种可行方案：①租甲种货车2辆，乙种货车6辆；②租甲种货车3辆，乙种货车5辆；③租甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3) 选择租甲种货车2辆、乙种货车6辆的方案总运费最少，最少总运费是2960元。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式组应用；最优方案选择
【点评】
本题是生活实际背景下的综合应用题，难度梯度设置合理，既考查了方程、不等式组的基础运算能力，也考查了从题干中提取等量、不等关系转化为数学表达式的应用能力，计算时注意不等号方向的变化，最值判断要结合表达式的增减性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
