1.将一个含$30°$角的三角尺和直尺按如图摆放，若$∠1=50°$，则$∠2$的度数是（）

A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
（第1题）

1.C

【分析】
解题时首先明确直尺的对边互相平行，含30°角的直角三角尺的另一个锐角为60°。我们可以结合直尺上边是平角（角度和为180°）的特点，将已知的∠1、三角尺的60°角与待求的∠2放在同一个平角关系中计算，即可快速求出∠2的度数。
【解析】
1. 先计算三角尺的第三个锐角：含30°的直角三角尺中，两个锐角互余，因此除30°角外的另一个锐角为$90°-30°=60°$。
2. 观察图形可知，直尺的上边为平角，平角度数为$180°$，因此存在等量关系：$∠1 + 60° + ∠2 = 180°$。
3. 代入$∠1=50°$计算：
$∠2=180°-50°-60°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是典型的三角尺与直尺结合的角度计算基础题，解题的关键是熟记三角尺的固定角度，结合平行线和平角的性质建立角度等量关系即可求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.85

2. 把一张对边互相平行的纸条按如图所示方式对折，EF是折痕，若$∠ FEG=32°$，则$∠ FGC=$.

2. 64°

【分析】
遇到折叠类的角度计算问题，首先利用折叠的性质得到相等的角：折叠前后对应角相等，可得∠CEF=∠FEG，先算出∠CEG的度数；再结合纸条对边平行的条件，利用平行线的性质，找到∠FGC和∠CEG的等量关系，即可求出∠FGC的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$∠ CEF=∠ FEG=32°$，
$\therefore ∠ CEG = ∠ CEF + ∠ FEG = 32°+32°=64°$，
$\because$ 纸条的对边互相平行，即$CD// AB$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ FGC=∠ CEG=64°$。
【答案】
$64°$
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题是折叠与平行线性质结合的基础题型，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，以及平行线的角度关系，这类题是角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.8

3. 在同一平面内，将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使边AB与CD互相平行，则∠1的大小为（）

A.$120°$
B.$115°$
C.$105°$
D.$100°$
（第3题）

3.C

【分析】首先明确一副三角尺的固定角度：含30°角的三角尺角度为30°、60°、90°，等腰直角三角尺角度为45°、45°、90°。已知AB//CD，先利用平行线的性质得到相等的内错角，再结合平角的定义，通过角的和差关系即可计算∠1的度数。
【解析】解：由三角尺的特征可知，∠B=30°，等腰直角三角尺的锐角为45°。
∵AB//CD，
∴∠B=∠BCD=30°（两直线平行，内错角相等）。
根据平角的定义，∠1 + ∠BCD + 45° = 180°，
代入角度计算得：∠1 = 180° - 30° - 45° = 105°。
【答案】C
【知识点】平行线的性质，角的和差计算
【点评】本题结合常见的三角尺摆放情境出题，解题关键是利用平行线的性质找到等角关系，再结合平角的特征计算未知角，难度较低，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】0.7

4.[2025深圳]如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若$CB// OA$，$∠ CBO=122°$，$∠ BON=90°$，则入射角$∠ AON$的度数为（）

A.$22°$
B.$32°$
C.$35°$
D.$122°$

4.B

【分析】
解题可分两步思考：第一步，已知CB平行于OA，结合平行线同旁内角互补的性质，可先求出∠AOB的度数；第二步，观察角的位置关系可知∠AOB与所求∠AON的和为题目给出的90°∠BON，用90°减去∠AOB的度数即可得到∠AON的大小。
【解析】
解：
∵ $CB// OA$，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴ $∠ CBO + ∠ AOB = 180°$，
已知$∠ CBO=122°$，代入得：
$∠ AOB = 180° - 122° = 58°$，
又
∵ 题目给出$∠ BON=90°$，且$∠ AOB + ∠ AON = ∠ BON$，
∴ $∠ AON = 90° - 58° = 32°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算
【点评】
这道题将几何知识和生活场景结合，考查平行线性质的基础应用，解题的关键是准确识别平行线的同旁内角，理清各个角之间的和差关系，只要细心梳理角的位置关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.75

5. 五线谱是目前世界上通用的记谱法，通过在五条等距离的平行线上标记音符及其他记号来记录音乐.如图，AB和CD是五线谱上的两条平行线，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若$∠ 1=120°$，$∠ 2=30°$，则$∠ BEC$的度数是.

5. 90°

【分析】
本题可利用平行线的性质求解：首先观察图形可知AB、EF、CD互相平行，我们可以将∠BEC拆分为∠BEF和∠FEC两个角，分别根据平行线的性质求出这两个角的度数，再求和即可得到∠BEC的度数。
【解析】
∵ AB//EF
∴ ∠1 + ∠BEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
已知∠1=120°，代入得：
∠BEF = 180° - 120° = 60°
又
∵ EF//CD
∴ ∠FEC = ∠2 = 30°（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠BEC = ∠BEF + ∠FEC = 60° + 30° = 90°
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质、角度和差计算
【点评】
本题结合五线谱的实际场景，考查平行线性质的基础应用，解题的核心是通过中间的平行线拆分所求角，再利用平行线的角的关系分别计算，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

6.如图,将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为AB,CD.若$CD// BE$,$∠ 1=25°$,则$∠ 2$的度数是.

6. 50° 【点拨】如图，延长 FA，由折叠的性质得$∠3=∠1=25°$. 因为$∠1+∠3+∠4=180°$,所以$∠4=130°$. 因为$CD// BE,EB// FG$,所以$CD// FG$,所以$∠4=∠ACD=130°$. 因为$AC// BD$,所以$∠ACD+∠2=180°$,所以$∠2=50°$.

【分析】
本题是折叠变换与平行线性质结合的角度计算题，解题思路如下：首先利用折叠前后对应角相等的性质，得到与∠1相等的角∠3；再根据平角为180°计算出∠4的度数；结合纸带对边平行、CD//BE的条件，通过平行的传递性得到CD与FG平行，利用平行线内错角相等求出∠ACD的度数；最后根据纸带对边AC//BD，利用两直线平行同旁内角互补即可求出∠2的度数。
【解析】
解：如图，延长FA到点G。
1. 由折叠的性质可知：$∠ 3=∠ 1=25°$；
2. 根据平角的定义，$∠ 1+∠ 3+∠ 4=180°$，代入角度计算得：$∠ 4=180°-25°-25°=130°$；
3. 因为纸带的对边互相平行，所以$EB// FG$，又已知$CD// BE$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$CD// FG$；
4. 根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ ACD=∠ 4=130°$；
5. 又因为纸带对边互相平行，即$AC// BD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ ACD+∠ 2=180°$，因此$∠ 2=180°-130°=50°$。
【答案】
$50°$

【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题结合折叠变换考查平行线的相关性质，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，能熟练运用平行线的角关系推导角度，是几何角度计算的典型基础题。
【难度系数】
0.7

7. 如图，AD平分∠BAC，且与线段BC相交于点F，E是AC上一点，连接EF.若∠D=∠BAD，∠CEF+∠ABD=180°.
(1)求证：AC//BD；
(2)请判断EF与AB的位置关系，并说明理由.

7. (1)【证明】因为 AD 平分$∠BAC$,所以$∠CAD=∠BAD$.
又因为$∠D=∠BAD$,
所以$∠CAD=∠D$. 所以$AC// BD$.
(2)【解】$EF// AB$.
理由: 因为$AC// BD$,所以$∠BAC+∠ABD=180°$.
又因为$∠CEF+∠ABD=180°$,
所以$∠BAC=∠CEF$. 所以$EF// AB$.

【分析】
(1)要证明AC//BD，可利用平行线的判定定理寻找相等的内错角。已知AD平分∠BAC，可得∠CAD=∠BAD，结合题干给出的∠D=∠BAD，通过等量代换得到内错角∠CAD=∠D，即可证明两直线平行。
(2)判断EF和AB的位置关系，可结合(1)中得到的AC//BD的结论推导：由平行线的性质可得∠BAC与∠ABD互补，再结合已知∠CEF与∠ABD互补，根据同角的补角相等得到同位角∠BAC=∠CEF，即可推出EF与AB平行。
【解析】
(1)证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
又
∵∠D=∠BAD，
∴∠CAD=∠D，
∴AC//BD。
(2)EF//AB，理由如下：
∵AC//BD，
∴∠BAC+∠ABD=180°，
又
∵∠CEF+∠ABD=180°，
∴∠BAC=∠CEF，
∴EF//AB。
【答案】
(1)AC//BD，证明见上述解析；
(2)EF//AB，理由见上述解析。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于平行线相关的基础综合题，解题关键是灵活运用平行线的判定与性质，通过角的等量代换建立已知条件和待证结论之间的联系，注意前一问的结论可直接作为后一问的已知条件使用。
【难度系数】
0.75

8. 如图，直线$AB// CD$，则$α,β,\gamma$之间的关系是 （）

A.$α+β-2\gamma=180°$
B.$β-α=\gamma$
C.$α+β+\gamma=360°$
D.$β+\gamma-α=180°$

8.D

【分析】
本题是平行线间带折线的角度关系问题，解题思路如下：首先回忆平行线的相关性质，遇到这类折线问题，常用方法是过折线的拐点作已知平行线的平行线，将三个未知角的关系转化为平行线的内错角、同旁内角的关系，再通过角的和差运算推导三者的等量关系，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
设$∠β$的顶点为点$E$，过点$E$作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$EF// CD$。
$\because AB// EF$，$\therefore ∠ \gamma + ∠ BEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），即$∠ BEF = 180° - ∠ \gamma$。
$\because EF// CD$，$\therefore ∠ CEF = ∠ α$（两直线平行，内错角相等）。
观察图形可知$∠ β = ∠ BEF + ∠ CEF$，将上述两个式子代入得：
$∠ β = (180° - ∠ \gamma) + ∠ α$
移项整理可得：$∠ β + ∠ \gamma - ∠ α = 180°$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；辅助线构造；角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型常考题型，核心是掌握平行线间折线问题的辅助线作法，通过作平行辅助线将分散的角建立联系，结合平行线的角性质和角的和差即可求解。
【难度系数】
0.7

9. 如图是某工程施工云梯的工作示意图，其中$AB// CD$，$DE// AF$. 若$∠ C=70°$，$∠ BAF=30°$，则$∠ CDE=$.

9. 150° 【点拨】过点 C 作$CM// DE$,过点 B 作$BN// AF$,如图所示,因为$DE// AF$,所以$DE// AF// CM// BN$. 因为$∠BAF=30°$,所以$∠NBA=∠BAF=30°$. 因为$AB// CD,∠BCD=70°$,所以$∠ABC=∠BCD=70°$,所以$∠MCB=∠NBC=∠ABC-∠NBA=70°-30°=40°$,所以$∠MCD=∠BCD-∠MCB=70°-40°=30°$,因为$CM// DE$,所以$∠MCD+∠CDE=180°$. 所以$∠CDE=180°-∠MCD=180°-30°=150°$.

【分析】
遇到存在多组平行线、折线拐角求角度的问题，通常采用过拐点作已知直线平行线的方法，利用平行线的传递性将所有平行线关联，再通过平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质，逐步将已知角和待求角建立数量关系，最终求出结果。本题可过点C作CM平行DE，过点B作BN平行AF，结合已知的平行条件推导角的关系即可求解。
【解析】
解：过点C作$CM// DE$，过点B作$BN// AF$，如图所示。
$\because DE// AF$，
$\therefore DE// AF// CM// BN$（平行线的传递性）。
$\because BN// AF$，$∠ BAF=30°$，
$\therefore ∠ NBA=∠ BAF=30°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AB// CD$，$∠ BCD=70°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ BCD=70°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ NBC=∠ ABC-∠ NBA=70°-30°=40°$。
$\because CM// BN$，
$\therefore ∠ MCB=∠ NBC=40°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ MCD=∠ BCD-∠ MCB=70°-40°=30°$。
$\because CM// DE$，
$\therefore ∠ MCD+∠ CDE=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ CDE=180°-∠ MCD=180°-30°=150°$。
【答案】
$150°$
【知识点】
平行线的性质；平行线的传递性；辅助线作法
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心考察折线型平行线问题的辅助线构造思路，通过作平行线将分散的已知角和未知角建立关联，转化为平行线的角的数量关系求解，是平行线章节的高频考点，需要熟练掌握拐点处作平行线的解题技巧。
【难度系数】
0.7

10. 跨学科题 如图，在“光的反射”科学活动课中，嘉琪同学将支架平面镜固定放置在水平桌面MN上，镜面AB与桌面MN的夹角(∠ABM)可调节，若激光笔与水平天花板(直线EF)的夹角$∠ EPC=30°$，激光笔发出的光束DC射到平面镜AB上，$EF // MN$，则当反射光束CH与天花板的夹角$∠ EHC=80°$时(由平面镜的反射定律可知$∠ ACH=∠ DCB$)，$∠ ABM$的度数为 ()


A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

10. D 【点拨】如图,过点 C 作$CQ// MN$.
因为$MN// EF$,所以$MN// EF// CQ$.
所以$∠PCQ=∠EPC=30°$,
$∠BCQ=∠ABM$, $∠EHC=∠HCQ=80°$.
所以$∠HCP=∠HCQ-∠PCQ=80°-30°=50°$.
因为$∠ACH=∠DCB$,所以$∠DCB=\frac{180°-50°}{2}=65°$.
所以$∠ABM=∠BCQ=∠DCB-∠PCQ=35°$.

【分析】
本题已知EF//MN，同时给出了两个和天花板相关的角度，还有光的反射对应的等角关系，要求∠ABM的度数。遇到含平行线的角度计算问题，我们可以通过作辅助平行线，利用平行线内错角相等的性质，把分散的已知角转化到交点C处，再结合平角为180°、反射定律给出的等角关系逐步推导。具体思考路径为：先过C作平行于MN的辅助线，利用平行线传递性得到三条线互相平行，转化已知角，再求出两个反射角外的夹角，计算出反射角∠DCB，最终推导得到∠ABM的度数。
【解析】
解：如图，过点C作$CQ// MN$。
$\because MN// EF$，
$\therefore MN// EF// CQ$，根据平行线内错角相等的性质可得：
$∠ PCQ=∠ EPC=30°$，$∠ HCQ=∠ EHC=80°$，$∠ BCQ=∠ ABM$。
$\therefore ∠ HCP=∠ HCQ - ∠ PCQ=80° - 30°=50°$。
由平面镜反射定律可知$∠ ACH=∠ DCB$，
又$\because ∠ ACH + ∠ HCP + ∠ DCB=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ DCB=\frac{180° - 50°}{2}=65°$。
$\therefore ∠ ABM=∠ BCQ=∠ DCB - ∠ PCQ=65° - 30°=35°$。
【答案】
D

【知识点】
平行线的性质，角度计算，光的反射规律
【点评】
本题为跨学科综合题，融合了物理光的反射规律与数学平行线性质的知识点，解题核心是通过作辅助平行线转化已知角度，理清各角的数量关系，能够考查学生综合运用多学科知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6