3. :: 如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)AE与EF的数量关系为.(提示：取AB的中点G，连接EG)
(2)如图②，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由.
(3)如图③，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么(1)中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由.

3. (1)AE=EF 【点拨】如图①，取AB的中点G，连接EG，则$BG=AG=\frac{1}{2}AB$.
∵点E是BC的中点，
∴$EC=BE=\frac{1}{2}BC$. 在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴AG=BG=BE=EC.
∴∠BGE=45°.
∴∠AGE=135°.
∵CF是正方形ABCD的外角的平分线，
∴∠DCF=45°.
∴∠ECF=135°=∠AGE.
∵∠AEF=90°=∠ABC，
∴∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠FEC.
∴∠BAE=∠FEC.
∴△AGE≌△ECF(ASA).
∴AE=EF.
(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：
如图②，在AB上取点M，使AM=EC，连接EM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°.
∵AM=CE，
∴BM=BE，
∴△BME是等腰直角三角形.
∴∠BME=45°.
∴易得∠AME=∠ECF=135°.
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°.
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠FEC=∠BAE.
∴△MAE≌△CEF(ASA).
∴AE=EF.
(3)(1)中的结论仍然成立，证明如下：
如图③，延长BA至点H，使AH=CE，连接HE.
∵BA=BC，AH=CE，
∴BH=BE.
∴∠H=45°.
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=45°，
∴∠H=∠ECF.
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∠HAE=∠B+∠BEA，
∠CEF=∠AEF+∠BEA，
∴∠HAE=∠CEF.
∴△HAE≌△CEF(ASA).
∴AE=EF.

4. 如图①,在正方形ABCD中,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且$DF=BE$.
(1)求证:$CE=CF$.
(2)在图①中,若点G在AD上,且$∠GCE=45°$,则$GE=BE+GD$成立吗？为什么？
(3)如图②,在四边形ABCD中,$AD// BC(BC＞AD),∠B=90°,AB=BC=6$,E是AB的中点,且$∠DCE=45°$,求DE的长.

4. (1)【证明】在正方形ABCD中，CB=CD，∠B=∠CDA=90°，
∴∠CDF=∠B=90°.
又
∵BE=DF，
∴△BCE≌△DCF(SAS).
∴CE=CF.
(2)【解】GE=BE+GD成立.理由如下：
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°.
∵△BCE≌△DCF，
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°.
∴∠ECG=∠FCG=45°.
又
∵CE=CF，CG=CG，
∴△ECG≌△FCG(SAS).
∴GE=GF.
∵FG=GD+DF，
∴GE=BE+GD.
(3)【解】如图，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于点H，易得四边形ABCH是边长为6的正方形，DE=DH+BE，设DH=x，则AD=6−x.
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=3，
∴DE=x+3.
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AD^2+AE^2=DE^2$，
∴$(6−x)^2+3^2=(x+3)^2$，
解得x=2.
∴DE=2+3=5.