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1.若一元二次方程$x^2 -2x -4=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=2$
B.$x_1+x_2=-4$
C.$x_1x_2=-2$
D.$x_1x_2=4$
A
）A.$x_1+x_2=2$
B.$x_1+x_2=-4$
C.$x_1x_2=-2$
D.$x_1x_2=4$
答案
1.A
2. 关于$x$的方程$(x-1)(x+2)-p^2=0$（$p$为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（
A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
C
）A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
答案
2.C 【点拨】化简关于 $x$ 的方程$(x-1)(x+2)-p^2=0(p$为常数),得 $x^2+x-2-p^2=0,\therefore b^2-4ac=1+8+4p^2=9+4p^2＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根. 根据根与系数的关系,得方程的两个根的积为$-2-p^2＜0,\therefore$方程有一个正根,一个负根,故选 C.
3. [2025河北]若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3.C
4.[2025泸州]若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为
10
.答案
4.10 【点拨】$\because$一元二次方程 $2x^2-6x-1=0$ 的两根为$α,β,\therefore 2α^2-6α-1=0,α+β=-\frac{-6}{2}=3. \therefore 2α^2-6α=1.$
$\therefore 2α^2-3α+3β=2α^2-6α+3α+3β=2α^2-6α+3(α+β)=1+3×3=10.$
$\therefore 2α^2-3α+3β=2α^2-6α+3α+3β=2α^2-6α+3(α+β)=1+3×3=10.$
5.已知$α,β$是方程$x^2 -3x -5=0$的两根,不解方程,求下列代数式的值:
(1)$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$;
(2)$α^2+β^2$;
(3)$α-β$.
(1)$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$;
(2)$α^2+β^2$;
(3)$α-β$.
答案
5.【解】$\because α,β$ 是方程 $x^2-3x-5=0$ 的两根,
$\therefore α+β=3,αβ=-5.$
(1)$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}=-\frac{3}{5}.$
(2)$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=3^2-2×(-5)=19.$
(3)$(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=3^2-4×(-5)=29,$
$\therefore α-β=\sqrt{29}$或$-\sqrt{29}.$
$\therefore α+β=3,αβ=-5.$
(1)$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}=-\frac{3}{5}.$
(2)$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=3^2-2×(-5)=19.$
(3)$(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=3^2-4×(-5)=29,$
$\therefore α-β=\sqrt{29}$或$-\sqrt{29}.$
6.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$的两根为$x_1,x_2$，且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$p$的值为（
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
A
）A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
答案
6.A
7.已知关于x的一元二次方程$x^2 -4x -2k +8=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1)求k的取值范围；
(2)若$x_1^2 x_2 +x_1 x_2^2 = -24$，求k的值.
(1)求k的取值范围；
(2)若$x_1^2 x_2 +x_1 x_2^2 = -24$，求k的值.
答案
7.【解】(1)$\because$关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x-2k+8=0$有两个实数根 $x_1,x_2$,
$\therefore \Delta=(-4)^2-4(-2k+8)≥0,$解得 $k≥2.$
(2)$\because x_1^2 x_2 +x_1 x_2^2 = -24$,
$\therefore x_1 x_2 (x_1 + x_2 )=-24.$
$\because x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4,x_1 x_2=\frac{c}{a}=-2k+8,$
$\therefore 4(-2k+8)=-24,$解得 $k=7.$
$\therefore \Delta=(-4)^2-4(-2k+8)≥0,$解得 $k≥2.$
(2)$\because x_1^2 x_2 +x_1 x_2^2 = -24$,
$\therefore x_1 x_2 (x_1 + x_2 )=-24.$
$\because x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4,x_1 x_2=\frac{c}{a}=-2k+8,$
$\therefore 4(-2k+8)=-24,$解得 $k=7.$
8. 新考向知识情境化 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是 （
A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
B
）A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
答案
8.B 【点拨】设原来的方程为 $ax^2+bx+c=0(a≠0),$由题知,$-\frac{b}{a}=6+1=7,\frac{c}{a}=-2×(-5)=10,\therefore b=-7a,$$c=10a. \therefore$原来的方程为 $ax^2-7ax+10a=0.$ 当 $a=1$ 时,方程为 $x^2-7x+10=0.$ 故选 B.
9.已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(ac≠0)$.下列说法中正确的有（
①若$a+b+c=0$,则方程$ax^2+bx+c=0$有一个根是1；
②若方程的两根为-1和2,则有$2a+c=0$成立；
③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则有$ac+b+1=0$成立；
④若方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1,x_2$,且满足$x_1≠x_2≠0$,则方程$cx^2+bx+a=0$,必有实根$\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）①若$a+b+c=0$,则方程$ax^2+bx+c=0$有一个根是1；
②若方程的两根为-1和2,则有$2a+c=0$成立；
③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则有$ac+b+1=0$成立；
④若方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1,x_2$,且满足$x_1≠x_2≠0$,则方程$cx^2+bx+a=0$,必有实根$\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9.D 【点拨】当 $x=1$ 时,$a+b+c=0,\therefore$方程 $ax^2+bx+$$c=0$ 有一个根是 1,正确,故①符合要求;$\because$方程的两根为-1 和 2,$\therefore -1×2=\frac{c}{a}$,即 $2a+c=0$,正确,故②符合要求;$\because c$ 是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根,$\therefore ac^2+bc+$$c=0$,即 $c(ac+b+1)=0. \because ac≠0,\therefore a≠0,c≠0,\therefore ac+$$b+1=0$,正确,故③符合要求;④$\because$方程 $ax^2+bx+c=0$的两根为 $x_1,x_2$,且满足 $x_1≠ x_2≠0,\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a},$$x_1 x_2=\frac{c}{a},\therefore -\frac{b}{c}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2},\frac{a}{c}=\frac{1}{x_1 x_2}=$$\frac{1}{x_1}·\frac{1}{x_2}$,即可得出方程 $cx^2+bx+a=0$,必有实根 $\frac{1}{x_1},$$\frac{1}{x_2}$,故④符合要求. 故选 D.
