12. ★★ 新考向数学文化 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载. 如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形内. 若图②中阴影部分的面积为2，且$AB+AC=8$，则$BC$的长是（）


A.8
B.6
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{13}{2}$

12.B 【点拨】设$AB=c,AC=b,BC=a$，则$b^2 +c^2=a^2$。
$\because$阴影部分的面积为2，$\therefore(a-c)(a-b)=2,\therefore a^2 -a(b+c)+bc=2$。
$\because AB+AC=8,\therefore b+c=8,\therefore a＜8,a^2 -8a +bc=2,(b+c)^2=64,\therefore b^2 +2bc +c^2=64,\therefore bc=32-\frac{1}{2}a^2,\therefore a^2 -8a +32-\frac{1}{2}a^2=2,\therefore a^2 -16a +60=0,\therefore a_1=6,a_2=10$(舍去)，故选B。

13. ★★ 新视角新定义题 对于任意实数$m,n$,规定$f(m,n)=m^2 - 2mn + 2n$,如$f(3,4)=3^2 - 2×3×4 + 2×4=-7$.若$f(x,2)=9$,则$x$的值是.

13.$-1$或$5$ 【点拨】根据题意，得$x^2 -4x +4=9$，整理，得$(x-2)^2 -9=0$，因式分解，得$(x-2+3)(x-2-3)=0$，即$(x+1)(x-5)=0$，解得$x_1=-1,x_2=5$。

14. 阅读下列材料：
$(2x-5)^2+(3x+7)^2=(5x+2)^2$.
解:设 $m=2x-5,n=3x+7$,则 $m+n=5x+2$,
则原方程可化为 $m^2+n^2=(m+n)^2$,
所以 $mn=0$,即 $(2x-5)(3x+7)=0$,
解得 $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{7}{3}$.
请利用上述方法解方程:
$(4x-5)^2+(3x-2)^2=(x-3)^2$.

14.【解】设 $m=4x-5,n=3x-2$，
则 $m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3$，
原方程可化为 $m^2 +n^2=(m-n)^2$，
整理得 $mn=0$，即$(4x-5)(3x-2)=0$，
故 $4x-5=0$ 或 $3x-2=0$，解得 $x_1=\frac{5}{4},x_2=\frac{2}{3}$。

15. ※※※【阅读理解】材料一:整数系数方程$x^3 + px^2 + qx + m = 0$的整数解只可能是$m$的因数.
材料二:类比多位数的竖式除法,可以利用竖式除法进行多项式的除法.
【例】解方程$x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0$.
解:2的因数有$\pm1,\pm2$,将它们分别代入原方程,可得$x=1$是方程$x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0$的整数解.$\therefore x^3 - x^2 - 2x + 2$有因式$x-1$.
利用竖式除法,可得

$\therefore x^3 - x^2 - 2x + 2 = (x-1)(x^2 - 2)$.
$\therefore$原方程化为$(x-1)(x^2 - 2)=0$.
$\therefore x-1=0$或$x^2 - 2=0$.
$\therefore$原方程的解为$x_1=1,x_2=\sqrt{2},x_3=-\sqrt{2}$.
根据以上阅读材料,解答下列各题:
(1)方程$x^3 - 2x^2 - 4x + 3 = 0$的整数解可能有哪些?
并求出它的整数解.
(2)解方程$x^3 - x^2 -7x -2=0$.

15.【解】(1)$\because 3$的因数有$\pm1,\pm3$，
$\therefore$方程$x^3 - 2x^2 - 4x + 3=0$的整数解可能有$\pm1,\pm3$。
将它们分别代入原方程，可得$x=3$是方程$x^3 - 2x^2 - 4x + 3=0$的整数解。
(2)$\because -2$的因数有$\pm1,\pm2$，
$\therefore$方程$x^3 - x^2 -7x -2=0$的整数解可能有$\pm1,\pm2$。
将它们分别代入原方程，可得$x=-2$是原方程的解，
$\therefore x^3 - x^2 -7x -2$有因式$x+2$。
利用竖式除法，可得

$\therefore x^3 - x^2 -7x -2=(x+2)(x^2 -3x -1)$。
$\therefore$原方程化为$(x+2)(x^2 -3x -1)=0$。
$\therefore x+2=0$或$x^2 -3x -1=0$。
$\therefore$原方程的解为$x_1=-2,x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_3=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。