1. 在平面直角坐标系中，点$P(1,3)$到原点的距离是 （）

A.1
B.3
C.$\sqrt{10}$
D.$\pm\sqrt{10}$

C

根据勾股定理，平面直角坐标系中点$(x,y)$到原点的距离公式为$d=\sqrt{x^2+y^2}$，将点$P(1,3)$的坐标代入，得距离$d=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，距离为非负数，因此点$P$到原点的距离是$\sqrt{10}$。

2. 若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两边长为5和12，则第三边长为 （）

A.13
B.26
C.$\sqrt{119}$
D.13 或 $\sqrt{119}$

D

分两种情况用勾股定理计算：①若12是斜边长，则第三边长为$\sqrt{12^2 - 5^2}=\sqrt{119}$；②若5和12均为直角边长，则第三边长为$\sqrt{5^2 + 12^2}=13$，因此第三边长为13或$\sqrt{119}$。

3. 如图,在四边形ABCD中,$AB=1$,$BC=4$,$CD=6$,$∠A=90°$,$∠B=∠C=120°$,则AD的长度为（）

A.$5\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{3}$
C.$7\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}+3$

A

延长AB、DC交于点E，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠EBC=180°-120°=60°，∠ECB=180°-120°=60°，
∴△EBC是等边三角形，得EB=EC=BC=4，
∴EA=EB+AB=4+1=5，ED=EC+CD=4+6=10，
∵∠A=90°，∠E=60°，
∴在Rt△EAD中，由勾股定理得：
AD=√(ED²-EA²)=√(10²-5²)=5√3。

4.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$BE$平分$∠ ABC$,$CD⊥ AB$于点$D$,$BE$与$CD$相交于点$F$,则$CF$的长是（）

A.$1$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.$2$

B

1. 由勾股定理，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，得AB=√(3²+4²)=5。
2. 过E作EG⊥AB于G，因为BE平分∠ABC，EC⊥BC，EG⊥AB，根据角平分线性质得CE=EG。
3. 设CE=EG=x，则AE=3-x，由∠A公共，∠AGE=∠ACB=90°，得△AEG∽△ABC，列比例式：$\frac{AE}{AB}=\frac{EG}{BC}$，即$\frac{3-x}{5}=\frac{x}{4}$，解得$x=\frac{4}{3}$，即$CE=\frac{4}{3}$。
4. 推导角关系：∠CEF+∠CBE=90°，∠BFD+∠FBD=90°，∠CBE=∠FBD，故∠CEF=∠BFD=∠CFE，得CF=CE=$\frac{4}{3}$。

5. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为.

$\boldsymbol{45°}$

解：连接AC，设每个小正方形的边长为1。
由勾股定理可得：
$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$AB^2 = 1^2 + 3^2 = 10$。
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$，且$AC=BC$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ABC = 45°$。
最终

6. 已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC+AC=14$，$AB=10$，则$S_{△ ABC}=$.

$\boldsymbol{24}$

解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ 由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∵ $AB=10$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 100$。
又∵ $AC + BC = 14$，
∴ $(AC + BC)^2 = 14^2 = 196$，
展开得：$AC^2 + 2AC· BC + BC^2 = 196$，
将$AC^2 + BC^2 = 100$代入上式：
$100 + 2AC· BC = 196$，
解得：$AC· BC = 48$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC· BC = \frac{1}{2} × 48 = 24$。
最终

7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以$B$为圆心，$BC$为半径画弧，交线段$AB$于点$D$，以$A$为圆心，$AD$为半径画弧，交线段$AC$于点$E$，连接$CD$.
(1)若$∠ A=25°$，求$∠ ACD$的度数；
(2)若$BC=4$，$CE=3$，求$AD$的长.

解：
(1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 65°$。
由作图可知$BD=BC$，
$\therefore △ BCD$为等腰三角形，
$∠ BCD = ∠ BDC = \frac{1}{2}×(180° - ∠ B) = \frac{1}{2}×(180° - 65°) = 57.5°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD = 90° - ∠ BCD = 90° - 57.5° = 32.5°$。
(2) 设$AD=x$，
由作图可知：$AE=AD=x$，$BD=BC=4$，
$\therefore AC = AE + CE = x + 3$，$AB = AD + BD = x + 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入得：
$(x+3)^2 + 4^2 = (x+4)^2$
展开化简：
$x^2 + 6x + 9 + 16 = x^2 + 8x + 16$
$2x = 9$
解得$x=4.5$。
答：$AD$的长为$4.5$。