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5.(2025·崇川区月考)某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,如果这种商品每件的销售价每提高1元,其销售量就减少20件.
(1)该店主将每件商品售价定为多少元时,才能使该商品每天的利润为640元,同时要让利于顾客?
(2)店主想要使该商品每天的利润为800元,小红同学认为不可能.你同意小红同学的说法吗?请说明理由.
(1)该店主将每件商品售价定为多少元时,才能使该商品每天的利润为640元,同时要让利于顾客?
(2)店主想要使该商品每天的利润为800元,小红同学认为不可能.你同意小红同学的说法吗?请说明理由.
答案
5.解:(1)设每件商品售价定为$x$元,根据题意,得
$(x-8)[200-20(x-10)]=640$,
解得$x_1=16$,$x_2=12$,
$\because$要让利于顾客,$\therefore x=12$.
答:该店主将每件商品售价定为 12 元时,才能使该商品每天的利润为 640 元,同时让利于顾客.
(2)同意小红同学的说法,理由如下:
设每件商品售价定为$x$元,根据题意,得
$(x-8)[200-20(x-10)]=800$,
整理,得$x^2-28x+200=0$,
$\because (-28)^2-4×200=-16＜0$,$\therefore$方程无实数根,
$\therefore$店主不能使该商品每天的利润为 800 元,
故同意小红同学的说法.
$(x-8)[200-20(x-10)]=640$,
解得$x_1=16$,$x_2=12$,
$\because$要让利于顾客,$\therefore x=12$.
答:该店主将每件商品售价定为 12 元时,才能使该商品每天的利润为 640 元,同时让利于顾客.
(2)同意小红同学的说法,理由如下:
设每件商品售价定为$x$元,根据题意,得
$(x-8)[200-20(x-10)]=800$,
整理,得$x^2-28x+200=0$,
$\because (-28)^2-4×200=-16＜0$,$\therefore$方程无实数根,
$\therefore$店主不能使该商品每天的利润为 800 元,
故同意小红同学的说法.
6.(2025·通州区月考)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=24\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.如果$P,Q$两点分别从$A,B$两点同时出发,设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜6)$,四边形$APQC$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$.
(1)求$S$与$t$满足的函数表达式；
(2)四边形$APQC$的面积能不能达到$104\ \mathrm{cm}^2$？请说明理由.
(1)求$S$与$t$满足的函数表达式；
(2)四边形$APQC$的面积能不能达到$104\ \mathrm{cm}^2$？请说明理由.
答案
6.解:(1)$\because$动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以 2 cm/s 的速度移动,动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以 4 cm/s 的速度移动,$\therefore AP=2t\ \mathrm{cm}$,$BQ=4t\ \mathrm{cm}$,
所以$BP=AB-AP=(12-2t)\mathrm{cm}$,
$\therefore S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BP· BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$.
$\because S_{\mathrm{四边形}APQC}=S_{△ ABC}-S_{△ BPQ}$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}APQC}=\frac{1}{2}×12×24-(-4t^2+24t)=4t^2-24t+144(0＜t＜6)$.
(2)四边形$APQC$的面积不能等于$104\ \mathrm{cm}^2$,理由如下:
假设四边形$APQC$的面积等于$104\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore 4t^2-24t+144=104$,即$t^2-6t+10=0$,
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×10=-4$,
$\therefore$方程$t^2-6t+10=0$无解,
$\therefore$四边形$APQC$的面积不可能等于$104\ \mathrm{cm}^2$.
所以$BP=AB-AP=(12-2t)\mathrm{cm}$,
$\therefore S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BP· BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$.
$\because S_{\mathrm{四边形}APQC}=S_{△ ABC}-S_{△ BPQ}$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}APQC}=\frac{1}{2}×12×24-(-4t^2+24t)=4t^2-24t+144(0＜t＜6)$.
(2)四边形$APQC$的面积不能等于$104\ \mathrm{cm}^2$,理由如下:
假设四边形$APQC$的面积等于$104\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore 4t^2-24t+144=104$,即$t^2-6t+10=0$,
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×10=-4$,
$\therefore$方程$t^2-6t+10=0$无解,
$\therefore$四边形$APQC$的面积不可能等于$104\ \mathrm{cm}^2$.
7. 如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P,Q,M,N分别从点A,B,C,D出发,沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x² cm.
(1)当x为何值时,点P,N重合?
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
(1)当x为何值时,点P,N重合?
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
答案
7.解:(1)$\because$点$P,N$重合,$\therefore 2x+x^2=20$,
解得$x_1=\sqrt{21}-1$,$x_2=-\sqrt{21}-1$(舍去),
$\therefore$当$x=\sqrt{21}-1$时,点$P,N$重合.
(2)$\because$当点$N$到达点$A$时,$x=2\sqrt{5}$,此时点$M$和点$Q$还未相遇,$\therefore$点$Q$只能在点$M$的左侧.
①当点$P$在点$N$的左侧时,根据题意,得
$20-(x+3x)=20-(2x+x^2)$,
解得$x_1=0$(舍去),$x_2=2$.
$\therefore$当$x=2$时,四边形$PQMN$是平行四边形.
②当点$P$在点$N$的右侧时,根据题意,得
$20-(x+3x)=(2x+x^2)-20$,
解得$x_1=-10$(舍去),$x_2=4$,
$\therefore$当$x=4$时,四边形$NQMP$是平行四边形.
综上,当$x=2$或$x=4$时,以$P,Q,M,N$为顶点的四边形是平行四边形.
解得$x_1=\sqrt{21}-1$,$x_2=-\sqrt{21}-1$(舍去),
$\therefore$当$x=\sqrt{21}-1$时,点$P,N$重合.
(2)$\because$当点$N$到达点$A$时,$x=2\sqrt{5}$,此时点$M$和点$Q$还未相遇,$\therefore$点$Q$只能在点$M$的左侧.
①当点$P$在点$N$的左侧时,根据题意,得
$20-(x+3x)=20-(2x+x^2)$,
解得$x_1=0$(舍去),$x_2=2$.
$\therefore$当$x=2$时,四边形$PQMN$是平行四边形.
②当点$P$在点$N$的右侧时,根据题意,得
$20-(x+3x)=(2x+x^2)-20$,
解得$x_1=-10$(舍去),$x_2=4$,
$\therefore$当$x=4$时,四边形$NQMP$是平行四边形.
综上,当$x=2$或$x=4$时,以$P,Q,M,N$为顶点的四边形是平行四边形.
