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7（2025淮安期中）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 （
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
（第7题）
D
）A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
（第7题）答案
7. D
解析
【分析】
要找到到三条公路距离相等的地址，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此符合要求的点一定是三条公路所构成角的角平分线的交点。我们需要分两种情况考虑交点：一是三条公路围成的三角形内部的内角平分线交点，二是三角形外部的外角平分线交点，不要遗漏外部的情况。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
① 三条公路相交形成一个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，满足要求；
② 三角形相邻两个外角的角平分线也存在交点，这类交点共有3个，每个交点到三条公路的距离同样相等，也满足要求。
因此符合条件的地址总共有1+3=4处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题的关键是全面考虑角平分线的所有交点，切忌只考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部的外角平分线交点。
【难度系数】
0.6
要找到到三条公路距离相等的地址，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此符合要求的点一定是三条公路所构成角的角平分线的交点。我们需要分两种情况考虑交点：一是三条公路围成的三角形内部的内角平分线交点，二是三角形外部的外角平分线交点，不要遗漏外部的情况。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
① 三条公路相交形成一个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，满足要求；
② 三角形相邻两个外角的角平分线也存在交点，这类交点共有3个，每个交点到三条公路的距离同样相等，也满足要求。
因此符合条件的地址总共有1+3=4处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题的关键是全面考虑角平分线的所有交点，切忌只考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部的外角平分线交点。
【难度系数】
0.6
8 新趋势 开放探究（2025泰州姜堰二模）如图，在$△ ABC$中，D是CB延长线上一点，$∠ ACB$与$∠ ABD$的平分线交于点E，连接AE。给出下列角的度数，能求出$∠ BAE$的度数的是 （
A.$∠ ABC$
B.$∠ ACB$
C.$∠ BAC$
D.$∠ AEB$
C
）A.$∠ ABC$
B.$∠ ACB$
C.$∠ BAC$
D.$∠ AEB$
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从角平分线的相关性质入手思考：已知E是∠ACB的平分线和∠ABD的平分线的交点，根据角平分线上的点到角两边距离相等，我们可以过E向三个角的对应边作垂线，得到三组垂线段相等，进而判断AE的身份为∠BAC的外角平分线，由此推导∠BAE和已知角的数量关系，就能确定哪个角已知时可以求出∠BAE。
【解析】
过点E作$EF⊥ CD$于点F，$EG⊥ AC$交AC的延长线于点G，$EH⊥ AB$于点H。
1. 因为CE平分$∠ ACB$，$EF⊥ CD$，$EG⊥ AC$，根据角平分线的性质，可得$EF=EG$；
2. 因为BE平分$∠ ABD$，$EF⊥ CD$，$EH⊥ AB$，根据角平分线的性质，可得$EF=EH$；
3. 由上述结论得$EG=EH$，又$EG⊥ AC$，$EH⊥ AB$，根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知AE平分$∠ BAG$（$∠ BAG$是$∠ BAC$的邻补角，即$∠ BAC + ∠ BAG = 180°$）；
4. 因此$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAG = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAC)$，由此可知，只要已知$∠ BAC$的度数，即可求出$∠ BAE$的度数。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；邻补角的性质
【点评】
本题属于开放探究类题目，核心是通过作辅助线，结合角平分线的性质与判定，推导出AE为∠BAC的外角平分线，从而建立∠BAE和∠BAC的数量关系，解题时要熟练运用角平分线的相关性质，学会通过作垂线构造距离相等的条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以从角平分线的相关性质入手思考：已知E是∠ACB的平分线和∠ABD的平分线的交点，根据角平分线上的点到角两边距离相等，我们可以过E向三个角的对应边作垂线，得到三组垂线段相等，进而判断AE的身份为∠BAC的外角平分线，由此推导∠BAE和已知角的数量关系，就能确定哪个角已知时可以求出∠BAE。
【解析】
过点E作$EF⊥ CD$于点F，$EG⊥ AC$交AC的延长线于点G，$EH⊥ AB$于点H。
1. 因为CE平分$∠ ACB$，$EF⊥ CD$，$EG⊥ AC$，根据角平分线的性质，可得$EF=EG$；
2. 因为BE平分$∠ ABD$，$EF⊥ CD$，$EH⊥ AB$，根据角平分线的性质，可得$EF=EH$；
3. 由上述结论得$EG=EH$，又$EG⊥ AC$，$EH⊥ AB$，根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知AE平分$∠ BAG$（$∠ BAG$是$∠ BAC$的邻补角，即$∠ BAC + ∠ BAG = 180°$）；
4. 因此$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAG = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAC)$，由此可知，只要已知$∠ BAC$的度数，即可求出$∠ BAE$的度数。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；邻补角的性质
【点评】
本题属于开放探究类题目，核心是通过作辅助线，结合角平分线的性质与判定，推导出AE为∠BAC的外角平分线，从而建立∠BAE和∠BAC的数量关系，解题时要熟练运用角平分线的相关性质，学会通过作垂线构造距离相等的条件。
【难度系数】
0.6
9 (2025宿迁沭阳月考)如图，已知O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD=4，若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为
34
。答案
9. 34
解析
【分析】
本题可根据角平分线的性质推导点O到三角形三边的距离关系，再通过拆分三角形面积结合周长计算结果。首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，O是△ABC两条角平分线的交点，因此O到△ABC三边的距离都等于OD的长度4。接下来将△ABC的面积拆分为△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，三个小三角形的高均为4，底之和为△ABC的周长，代入数值即可求出总面积。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵O是△ABC两条角平分线的交点，且OD⊥BC，OD=4，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OE=OD=4，OF=OD=4，即点O到△ABC三边的距离均为4。
△ABC的面积为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
$=\frac{1}{2}×4× AB+\frac{1}{2}×4× BC+\frac{1}{2}×4× AC$
$=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=17$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×17=34$
【答案】
34
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用角平分线交点（三角形内心）到三边距离相等的性质，通过分割法将大三角形面积转化为三个同高小三角形的面积和，结合周长条件简化计算，熟练掌握角平分线的性质和面积分割方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
本题可根据角平分线的性质推导点O到三角形三边的距离关系，再通过拆分三角形面积结合周长计算结果。首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，O是△ABC两条角平分线的交点，因此O到△ABC三边的距离都等于OD的长度4。接下来将△ABC的面积拆分为△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，三个小三角形的高均为4，底之和为△ABC的周长，代入数值即可求出总面积。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵O是△ABC两条角平分线的交点，且OD⊥BC，OD=4，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OE=OD=4，OF=OD=4，即点O到△ABC三边的距离均为4。
△ABC的面积为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
$=\frac{1}{2}×4× AB+\frac{1}{2}×4× BC+\frac{1}{2}×4× AC$
$=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=17$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×17=34$
【答案】
34
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用角平分线交点（三角形内心）到三边距离相等的性质，通过分割法将大三角形面积转化为三个同高小三角形的面积和，结合周长条件简化计算，熟练掌握角平分线的性质和面积分割方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
10（2025南通海安期中）如图，AD是$△ ABC$中$∠ BAC$的平分线，$DE⊥ AB$于点$E$，$S_{△ ABC}=5$，$AC=3$，$AB=4$，则$DE$的长是________。
答案
10. $\dfrac{10}{7}$
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此我们可以过D作AC边上的高，该高与DE长度相等。接下来观察△ABC的面积可以拆分为△ACD和△ABD的面积之和，将两个小三角形的面积用AC、AB和DE表示，代入已知数值即可建立方程求出DE的长度。
【解析】
解：过点D作$DF⊥AC$，垂足为F。
∵AD是$∠BAC$的平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$DF=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ABC} = S_{△ACD} + S_{△ABD}$，
已知$S_{△ABC}=5$，$AC=3$，$AB=4$，
∴$\frac{1}{2} × AC × DF + \frac{1}{2} × AB × DE = 5$，
又
∵$DF=DE$，代入得：
$\frac{1}{2} × 3 × DE + \frac{1}{2} × 4 × DE = 5$，
合并同类项得：$\frac{7}{2}DE = 5$，
解得：$DE = \frac{10}{7}$。
【答案】
$\dfrac{10}{7}$
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质和三角形面积结合的典型题目，将大三角形拆分为两个等高的小三角形利用面积和求解，是这类问题的常用思路，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此我们可以过D作AC边上的高，该高与DE长度相等。接下来观察△ABC的面积可以拆分为△ACD和△ABD的面积之和，将两个小三角形的面积用AC、AB和DE表示，代入已知数值即可建立方程求出DE的长度。
【解析】
解：过点D作$DF⊥AC$，垂足为F。
∵AD是$∠BAC$的平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$DF=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ABC} = S_{△ACD} + S_{△ABD}$，
已知$S_{△ABC}=5$，$AC=3$，$AB=4$，
∴$\frac{1}{2} × AC × DF + \frac{1}{2} × AB × DE = 5$，
又
∵$DF=DE$，代入得：
$\frac{1}{2} × 3 × DE + \frac{1}{2} × 4 × DE = 5$，
合并同类项得：$\frac{7}{2}DE = 5$，
解得：$DE = \frac{10}{7}$。
【答案】
$\dfrac{10}{7}$
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质和三角形面积结合的典型题目，将大三角形拆分为两个等高的小三角形利用面积和求解，是这类问题的常用思路，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11（2026宿迁湖滨新区期中）如图，在$△ ABC$中，O为$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线的交点，$OD⊥ AB$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ BC$，垂足分别为D，E，F。
（1）OD与OE是否相等？请说明理由；
（2）若$△ ABC$的周长是28，且$OF=3$，求$△ ABC$的面积。
（1）OD与OE是否相等？请说明理由；
（2）若$△ ABC$的周长是28，且$OF=3$，求$△ ABC$的面积。
答案
11. 解:(1) $OD=OE$,理由如下:
因为 $O$ 为$∠ ABC,∠ ACB$ 的平分线的交点,$OD⊥ AB$,
$OE⊥ AC,OF⊥ BC$,
所以 $OD=OF,OF=OE$,所以 $OD=OE$.
(2) 如图,连接 $OA$.
由(1),得 $OD=OE=OF=3$.
因为 $S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$,
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· OD+\dfrac{1}{2}AC· OE+\dfrac{1}{2}BC· OF=$
$\dfrac{1}{2}×3×(AB+AC+BC)=\dfrac{3}{2}(AB+AC+BC)$.
因为$△ ABC$ 的周长是 28,所以 $AB+AC+BC=28$,
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{3}{2}(AB+AC+BC)=\dfrac{3}{2}×28=42$.
解析
【分析】
（1）判断两条垂线段是否相等，优先考虑角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知O是∠ABC的角平分线上的点，OD⊥AB、OF⊥BC是O到∠ABC两边的距离，因此OD=OF；同理O在∠ACB的角平分线上，OE⊥AC、OF⊥BC是O到∠ACB两边的距离，因此OE=OF，通过等量代换即可得到OD=OE。
（2）要求△ABC的面积，已知周长但没有直接给出底和高，因此采用分割法：连接OA，将△ABC拆分为△AOB、△AOC、△BOC三个小三角形。三个小三角形的高分别为OD、OE、OF，由（1）可知三者均为3，三个小三角形的底之和刚好是△ABC的周长，结合三角形面积公式即可计算出总面积。
【解析】
(1) $OD=OE$，理由如下：
因为 $O$ 为$∠ ABC,∠ ACB$ 的平分线的交点,$OD⊥ AB$,$OE⊥ AC,OF⊥ BC$，
根据角平分线的性质可得 $OD=OF,OF=OE$，所以 $OD=OE$。
(2) 如图,连接 $OA$。
由(1),得 $OD=OE=OF=3$。
因为 $S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· OD+\dfrac{1}{2}AC· OE+\dfrac{1}{2}BC· OF=\dfrac{1}{2}×3×(AB+AC+BC)=\dfrac{3}{2}(AB+AC+BC)$。
因为$△ ABC$ 的周长是 28,所以 $AB+AC+BC=28$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{3}{2}×28=42$。
【答案】
(1) $OD=OE$，理由见解析；
(2) $△ ABC$的面积为42。
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题，解题关键是熟练运用角平分线的性质得到O点到三角形三边的距离相等，再通过分割法将大三角形面积转化为三个等高小三角形的面积和，结合周长条件即可快速求解。
【难度系数】
0.7
（1）判断两条垂线段是否相等，优先考虑角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知O是∠ABC的角平分线上的点，OD⊥AB、OF⊥BC是O到∠ABC两边的距离，因此OD=OF；同理O在∠ACB的角平分线上，OE⊥AC、OF⊥BC是O到∠ACB两边的距离，因此OE=OF，通过等量代换即可得到OD=OE。
（2）要求△ABC的面积，已知周长但没有直接给出底和高，因此采用分割法：连接OA，将△ABC拆分为△AOB、△AOC、△BOC三个小三角形。三个小三角形的高分别为OD、OE、OF，由（1）可知三者均为3，三个小三角形的底之和刚好是△ABC的周长，结合三角形面积公式即可计算出总面积。
【解析】
(1) $OD=OE$，理由如下：
因为 $O$ 为$∠ ABC,∠ ACB$ 的平分线的交点,$OD⊥ AB$,$OE⊥ AC,OF⊥ BC$，
根据角平分线的性质可得 $OD=OF,OF=OE$，所以 $OD=OE$。
(2) 如图,连接 $OA$。
由(1),得 $OD=OE=OF=3$。
因为 $S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· OD+\dfrac{1}{2}AC· OE+\dfrac{1}{2}BC· OF=\dfrac{1}{2}×3×(AB+AC+BC)=\dfrac{3}{2}(AB+AC+BC)$。
因为$△ ABC$ 的周长是 28,所以 $AB+AC+BC=28$，
所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{3}{2}×28=42$。
【答案】
(1) $OD=OE$，理由见解析；
(2) $△ ABC$的面积为42。
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题，解题关键是熟练运用角平分线的性质得到O点到三角形三边的距离相等，再通过分割法将大三角形面积转化为三个等高小三角形的面积和，结合周长条件即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12（2025宜兴月考）如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，$∠ BAD=100°$，$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$E$，过点$E$作$EF ⊥ AB$，垂足为$F$，且$∠ AEF=50°$，连接$DE$。
（1）求证：$DE$平分$∠ ADC$；
（2）若$AB=7$，$AD=4$，$CD=8$，且$S_{△ ACD}=15$，求$△ ABE$的面积。
（1）求证：$DE$平分$∠ ADC$；
（2）若$AB=7$，$AD=4$，$CD=8$，且$S_{△ ACD}=15$，求$△ ABE$的面积。
答案
12. （1）证明:如图,过点 $E$ 作 $EG⊥ AD$ 于点 $G$,$EH⊥ BC$ 于点 $H$.
因为 $EF⊥ AB,∠ AEF=50°$,
所以 $∠ FAE=90°-50°=40°$,
因为 $∠ BAD=100°$,所以 $∠ CAD=180°-100°-40°=40°$,
所以 $∠ FAE=∠ CAD=40°$,即 $AC$ 为$∠ DAF$ 的平分线.
又 $EF⊥ AB,EG⊥ AD$,所以 $EF=EG$.
因为 $BE$ 是$∠ ABC$ 的平分线,
所以 $EF=EH$,所以 $EG=EH$,
所以点 $E$ 在$∠ ADC$ 的平分线上,即 $DE$ 平分$∠ ADC$.
（2）解:设 $EG=x$,则 $EF=EH=EG=x$.
因为 $S_{△ ACD}=15,AD=4,CD=8$,
所以 $\dfrac{1}{2}AD· EG+\dfrac{1}{2}CD· EH=15$,
即 $4x+8x=30$,解得 $x=\dfrac{5}{2}$,所以 $EF=\dfrac{5}{2}$,
所以 $S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}AB· EF=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{5}{2}=\dfrac{35}{4}$.
解析
【分析】
（1）要证明$DE$平分$∠ADC$，根据角平分线的判定定理，只需证明点$E$到$AD$和$DC$的距离相等。因此过$E$作$EG⊥AD$于$G$，$EH⊥BC$于$H$，结合已知的$EF⊥AB$，先通过角度计算推出$AC$是$∠DAF$的角平分线，利用角平分线的性质得$EF=EG$；再由$BE$是$∠ABC$的平分线，得$EF=EH$，等量代换得$EG=EH$，即可证明结论。
（2）求$△ABE$的面积，已知$AB$的长度，只需求出$AB$边上的高$EF$即可。$△ACD$可拆分为$△ADE$和$△CDE$，两个三角形的高分别是$EG$和$EH$，由（1）知$EF=EG=EH$，设其为$x$，根据$△ACD$的面积列方程求解$x$，再代入三角形面积公式计算$△ABE$的面积即可。
【解析】
（1）证明:如图,过点 $E$ 作 $EG⊥ AD$ 于点 $G$,$EH⊥ BC$ 于点 $H$.
因为 $EF⊥ AB,∠ AEF=50°$,
所以 $∠ FAE=90°-50°=40°$,
因为 $∠ BAD=100°$,所以 $∠ CAD=180°-100°-40°=40°$,
所以 $∠ FAE=∠ CAD=40°$,即 $AC$ 为$∠ DAF$ 的平分线.
又 $EF⊥ AB,EG⊥ AD$,所以 $EF=EG$.
因为 $BE$ 是$∠ ABC$ 的平分线,
所以 $EF=EH$,所以 $EG=EH$,
所以点 $E$ 在$∠ ADC$ 的平分线上,即 $DE$ 平分$∠ ADC$.
（2）解:设 $EG=x$,则 $EF=EH=EG=x$.
因为 $S_{△ ACD}=15,AD=4,CD=8$,
所以 $\dfrac{1}{2}AD· EG+\dfrac{1}{2}CD· EH=15$,
即 $4x+8x=30$,解得 $x=\dfrac{5}{2}$,所以 $EF=\dfrac{5}{2}$,
所以 $S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}AB· EF=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{5}{2}=\dfrac{35}{4}$.
【答案】
（1）$DE$平分$∠ADC$，证明成立；（2）$\dfrac{35}{4}$
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线相关定理的应用，解题核心是合理添加辅助线构造点到角两边的距离，利用角平分线的性质实现线段等量转化，第二问通过拆分三角形面积建立方程求解高，渗透了转化思想和方程思想。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$DE$平分$∠ADC$，根据角平分线的判定定理，只需证明点$E$到$AD$和$DC$的距离相等。因此过$E$作$EG⊥AD$于$G$，$EH⊥BC$于$H$，结合已知的$EF⊥AB$，先通过角度计算推出$AC$是$∠DAF$的角平分线，利用角平分线的性质得$EF=EG$；再由$BE$是$∠ABC$的平分线，得$EF=EH$，等量代换得$EG=EH$，即可证明结论。
（2）求$△ABE$的面积，已知$AB$的长度，只需求出$AB$边上的高$EF$即可。$△ACD$可拆分为$△ADE$和$△CDE$，两个三角形的高分别是$EG$和$EH$，由（1）知$EF=EG=EH$，设其为$x$，根据$△ACD$的面积列方程求解$x$，再代入三角形面积公式计算$△ABE$的面积即可。
【解析】
（1）证明:如图,过点 $E$ 作 $EG⊥ AD$ 于点 $G$,$EH⊥ BC$ 于点 $H$.
因为 $EF⊥ AB,∠ AEF=50°$,
所以 $∠ FAE=90°-50°=40°$,
因为 $∠ BAD=100°$,所以 $∠ CAD=180°-100°-40°=40°$,
所以 $∠ FAE=∠ CAD=40°$,即 $AC$ 为$∠ DAF$ 的平分线.
又 $EF⊥ AB,EG⊥ AD$,所以 $EF=EG$.
因为 $BE$ 是$∠ ABC$ 的平分线,
所以 $EF=EH$,所以 $EG=EH$,
所以点 $E$ 在$∠ ADC$ 的平分线上,即 $DE$ 平分$∠ ADC$.
（2）解:设 $EG=x$,则 $EF=EH=EG=x$.
因为 $S_{△ ACD}=15,AD=4,CD=8$,
所以 $\dfrac{1}{2}AD· EG+\dfrac{1}{2}CD· EH=15$,
即 $4x+8x=30$,解得 $x=\dfrac{5}{2}$,所以 $EF=\dfrac{5}{2}$,
所以 $S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}AB· EF=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{5}{2}=\dfrac{35}{4}$.
【答案】
（1）$DE$平分$∠ADC$，证明成立；（2）$\dfrac{35}{4}$
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线相关定理的应用，解题核心是合理添加辅助线构造点到角两边的距离，利用角平分线的性质实现线段等量转化，第二问通过拆分三角形面积建立方程求解高，渗透了转化思想和方程思想。
【难度系数】
0.6
