登录
2.【问题情境】在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原. 某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究.
【方案设计】“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量$x(\mathrm{g})$，测量得到弹簧的长度$y(\mathrm{cm})$，且通过实验记录得到的数据如下表.
| 砝码的质量$x/\mathrm{g}$ | 0 | 50 | 100 |
| 200 | 250 | 300 | 400 | 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 弹簧的长度$y/\mathrm{cm}$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7.5 | 7.5 | 7.5 |
“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了如图所示的部分图象.
【问题解决】
(1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是
(2)①在弹性限度内，求弹簧的长度$y$与所挂砝码的质量$x$之间的函数表达式；
②当砝码的质量为$75\ \mathrm{g}$时，求弹簧的长度.
(3)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象.
(4)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量最好应不超过
【方案设计】“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量$x(\mathrm{g})$，测量得到弹簧的长度$y(\mathrm{cm})$，且通过实验记录得到的数据如下表.
| 砝码的质量$x/\mathrm{g}$ | 0 | 50 | 100 |
| 200 | 250 | 300 | 400 | 500 || --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 弹簧的长度$y/\mathrm{cm}$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7.5 | 7.5 | 7.5 |
“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了如图所示的部分图象.
【问题解决】
(1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是
砝码的质量x
.(2)①在弹性限度内，求弹簧的长度$y$与所挂砝码的质量$x$之间的函数表达式；
②当砝码的质量为$75\ \mathrm{g}$时，求弹簧的长度.
(3)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象.
(4)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量最好应不超过
250
$\mathrm{g}$.答案
2.(1)砝码的质量$x$
(2)解:①在弹性限度内,设弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的函数表达式为y=kx+b,
将(0,2),(50,3)代入,得
$\begin{cases} b=2,\\50k+b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\dfrac{1}{50},\\b=2. \end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{1}{50}x+2$.
②当x=75时,$y=\dfrac{1}{50}×75+2=3.5$.
答:当砝码的质量为75 g时,弹簧的长度为3.5 cm.
(3)解:如答图
.(4)250
解析
【分析】
(1) 根据自变量的定义，实验中主动改变的量为自变量，本实验中砝码质量$x$是主动调整的量，弹簧长度$y$随$x$的变化而变化，据此可直接判断自变量。
(2) ①弹性限度内弹簧长度与砝码质量符合一次函数关系，采用待定系数法，选取两组符合线性规律的已知点代入一次函数通式$y=kx+b$，解方程组求出$k$、$b$即可得到函数表达式；②将$x=75$代入①所求的函数表达式，计算即可得到对应弹簧长度。
(3) 补全图像时，先根据表格给出的所有坐标点在坐标系中描点，$x≤300$时按点的趋势连线，$x≥300$时沿$y=7.5$的水平线连线即可。
(4) 弹性限度内弹簧长度随砝码质量增加呈线性增长，当弹簧长度不再按线性规律增长、后续保持恒定值时，对应的临界质量就是弹性限度的最大砝码质量，观察表格数据即可找到该临界值。
【解析】
(1) 实验中砝码的质量$x$是主动改变的量，弹簧长度$y$随$x$的变化而变化，因此自变量是砝码的质量$x$。
(2) ①在弹性限度内，设弹簧的长度$y$与所挂砝码的质量$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$，将$(0,2)$、$(50,3)$代入得：
$\begin{cases} b=2\\50k+b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{50}\\b=2 \end{cases}$
因此弹性限度内$y$与$x$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{50}x+2$。
②将$x=75$代入$y=\dfrac{1}{50}x+2$，得：
$y=\dfrac{1}{50}×75+2=3.5$
即砝码质量为$75\ \mathrm{g}$时，弹簧长度为$3.5\ \mathrm{cm}$。
(3) 根据表格数据依次描出对应点，按规律连线即可，补全后的图像如答图：。
(4) 观察表格数据可知，当砝码质量超过$250\ \mathrm{g}$后，弹簧长度的变化不再符合线性规律，$300\ \mathrm{g}$及之后弹簧长度保持$7.5\ \mathrm{cm}$不再增长，说明已超出弹性限度，因此所挂砝码质量最好不超过$250\ \mathrm{g}$。
【答案】
(1) 砝码的质量$x$
(2) ①$y=\dfrac{1}{50}x+2$；②$\quantity{3.5}{cm}$
(3)
(4) $250$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，变量的识别
【点评】
本题结合物理弹簧弹力实验的真实情境，考查一次函数在实际问题中的应用，既要求学生掌握基础的函数概念和待定系数法的运算，也要求学生具备结合表格、图像分析数据的能力，体现了跨学科知识融合的考查方向，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.8
(1) 根据自变量的定义，实验中主动改变的量为自变量，本实验中砝码质量$x$是主动调整的量，弹簧长度$y$随$x$的变化而变化，据此可直接判断自变量。
(2) ①弹性限度内弹簧长度与砝码质量符合一次函数关系，采用待定系数法，选取两组符合线性规律的已知点代入一次函数通式$y=kx+b$，解方程组求出$k$、$b$即可得到函数表达式；②将$x=75$代入①所求的函数表达式，计算即可得到对应弹簧长度。
(3) 补全图像时，先根据表格给出的所有坐标点在坐标系中描点，$x≤300$时按点的趋势连线，$x≥300$时沿$y=7.5$的水平线连线即可。
(4) 弹性限度内弹簧长度随砝码质量增加呈线性增长，当弹簧长度不再按线性规律增长、后续保持恒定值时，对应的临界质量就是弹性限度的最大砝码质量，观察表格数据即可找到该临界值。
【解析】
(1) 实验中砝码的质量$x$是主动改变的量，弹簧长度$y$随$x$的变化而变化，因此自变量是砝码的质量$x$。
(2) ①在弹性限度内，设弹簧的长度$y$与所挂砝码的质量$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$，将$(0,2)$、$(50,3)$代入得：
$\begin{cases} b=2\\50k+b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{50}\\b=2 \end{cases}$
因此弹性限度内$y$与$x$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{50}x+2$。
②将$x=75$代入$y=\dfrac{1}{50}x+2$，得：
$y=\dfrac{1}{50}×75+2=3.5$
即砝码质量为$75\ \mathrm{g}$时，弹簧长度为$3.5\ \mathrm{cm}$。
(3) 根据表格数据依次描出对应点，按规律连线即可，补全后的图像如答图：
。(4) 观察表格数据可知，当砝码质量超过$250\ \mathrm{g}$后，弹簧长度的变化不再符合线性规律，$300\ \mathrm{g}$及之后弹簧长度保持$7.5\ \mathrm{cm}$不再增长，说明已超出弹性限度，因此所挂砝码质量最好不超过$250\ \mathrm{g}$。
【答案】
(1) 砝码的质量$x$
(2) ①$y=\dfrac{1}{50}x+2$；②$\quantity{3.5}{cm}$
(3)
(4) $250$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，变量的识别
【点评】
本题结合物理弹簧弹力实验的真实情境，考查一次函数在实际问题中的应用，既要求学生掌握基础的函数概念和待定系数法的运算，也要求学生具备结合表格、图像分析数据的能力，体现了跨学科知识融合的考查方向，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.8
