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18. 若方程组 $\begin{cases}3x + 4y = 2, \\2x - y = 5\end{cases}$ 与方程组 $\begin{cases}\frac{a}{3}x - by = 4, \\ax + \frac{b}{2}y = 5\end{cases}$ 有相同的解，求 $a,b$ 的值。
答案
18. 解:解方程组$\begin{cases}3x+4y=2,\\2x-y=5,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2,\\y=-1.\end{cases}$ 将$\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}\frac{a}{3}x-by=4,\\ax+\frac{b}{2}y=5\end{cases}$中，得$\begin{cases}\frac{2}{3}a + b=4,\\2a-\frac{b}{2}=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=2.\end{cases}$
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明该解同时满足4个方程。解题思路分为两步：第一步先求解不含参数$a、b$的方程组，得到$x、y$的具体值；第二步将$x、y$代入含$a、b$的方程组，得到关于$a、b$的二元一次方程组，求解即可得到$a、b$的值。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}3x+4y=2,\\2x-y=5,\end{cases}$
由$2x-y=5$变形得$y=2x-5$，代入$3x+4y=2$中：
$3x+4(2x-5)=2$，整理得$11x=22$，解得$x=2$。
将$x=2$代入$y=2x-5$，得$y=2×2-5=-1$，即方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=-1.\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$代入第二个方程组$\begin{cases}\frac{a}{3}x-by=4,\\ax+\frac{b}{2}y=5\end{cases}$中，可得：
$\begin{cases}\frac{2}{3}a + b=4,\\2a-\frac{b}{2}=5,\end{cases}$
给第二个方程两边同乘2得$4a-b=10$，与$\frac{2}{3}a + b=4$相加：
$\frac{14}{3}a=14$，解得$a=3$。
将$a=3$代入$\frac{2}{3}a + b=4$，得$2+b=4$，解得$b=2$。
【答案】
$\begin{cases}a=3,\\b=2.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组同解，解二元一次方程组，代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的经典题型，核心是理解同解方程组的公共解满足所有方程，先求公共解再代入求参数是通用解法，解题时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.75
两个方程组有相同的解，说明该解同时满足4个方程。解题思路分为两步：第一步先求解不含参数$a、b$的方程组，得到$x、y$的具体值；第二步将$x、y$代入含$a、b$的方程组，得到关于$a、b$的二元一次方程组，求解即可得到$a、b$的值。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}3x+4y=2,\\2x-y=5,\end{cases}$
由$2x-y=5$变形得$y=2x-5$，代入$3x+4y=2$中：
$3x+4(2x-5)=2$，整理得$11x=22$，解得$x=2$。
将$x=2$代入$y=2x-5$，得$y=2×2-5=-1$，即方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=-1.\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$代入第二个方程组$\begin{cases}\frac{a}{3}x-by=4,\\ax+\frac{b}{2}y=5\end{cases}$中，可得：
$\begin{cases}\frac{2}{3}a + b=4,\\2a-\frac{b}{2}=5,\end{cases}$
给第二个方程两边同乘2得$4a-b=10$，与$\frac{2}{3}a + b=4$相加：
$\frac{14}{3}a=14$，解得$a=3$。
将$a=3$代入$\frac{2}{3}a + b=4$，得$2+b=4$，解得$b=2$。
【答案】
$\begin{cases}a=3,\\b=2.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组同解，解二元一次方程组，代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的经典题型，核心是理解同解方程组的公共解满足所有方程，先求公共解再代入求参数是通用解法，解题时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.75
19.若方程组$\begin{cases} m +5n=1+2a, \\6m +2n=3 -a \end{cases}$的解满足$m +n=3$，求$a$的值.
答案
19. 解:$\begin{cases}m+5n=1+2a①,\\6m+2n=3-a②,\end{cases}$ ①+②，得7(m+n)=a+4，$\therefore m+n=\frac{a+4}{7}.\because m+n=3$，$\therefore \frac{a+4}{7}=3$，解得$a=17$.$\therefore a$的值为17.
解析
【分析】
题目给出含参数a的二元一次方程组，且已知方程组的解满足m+n=3，要求a的值。解题时无需分别求出m、n的具体值，先观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含(m+n)和a的等式，再将m+n=3整体代入，即可快速求出a的值，这种整体代入的方法比单独求解m、n更简便。
【解析】
解:$\begin{cases}m+5n=1+2a①,\\6m+2n=3-a②,\end{cases}$
①+②，左边相加得$m+5n+6m+2n=7m+7n=7(m+n)$，右边相加得$1+2a+3-a=a+4$，
即$7(m+n)=a+4$，
$\therefore m+n=\frac{a+4}{7}$。
$\because m+n=3$，
$\therefore \frac{a+4}{7}=3$，
两边同时乘7得$a+4=21$，
解得$a=17$。
【答案】
$a$的值为$\boxed{17}$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入法，等式的性质
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，解题关键是观察方程系数特点，利用整体思想构造出m+n的表达式，简化计算过程，避免单独求解未知数带来的繁琐运算，较好地考查了学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.75
题目给出含参数a的二元一次方程组，且已知方程组的解满足m+n=3，要求a的值。解题时无需分别求出m、n的具体值，先观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含(m+n)和a的等式，再将m+n=3整体代入，即可快速求出a的值，这种整体代入的方法比单独求解m、n更简便。
【解析】
解:$\begin{cases}m+5n=1+2a①,\\6m+2n=3-a②,\end{cases}$
①+②，左边相加得$m+5n+6m+2n=7m+7n=7(m+n)$，右边相加得$1+2a+3-a=a+4$，
即$7(m+n)=a+4$，
$\therefore m+n=\frac{a+4}{7}$。
$\because m+n=3$，
$\therefore \frac{a+4}{7}=3$，
两边同时乘7得$a+4=21$，
解得$a=17$。
【答案】
$a$的值为$\boxed{17}$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入法，等式的性质
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，解题关键是观察方程系数特点，利用整体思想构造出m+n的表达式，简化计算过程，避免单独求解未知数带来的繁琐运算，较好地考查了学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.75
20.如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图所示，求图中阴影部分的面积.
答案
20. 解:设小长方形的长为$x$,宽为$y$.则由图可得$\begin{cases}x+4y=22, \\x+2y-3y=7,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=10, \\y=3.\end{cases}$ $\therefore$ 阴影部分的面积为 $22×(7+3y)-9xy=22×(7+3×3)-9×10×3=82.$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可通过“大长方形ABCD的面积减去9个小长方形的总面积”求解，因此首先需要求出小长方形的长、宽，以及大长方形的宽。第一步先设小长方形的长为$x$，宽为$y$，观察图形找等量关系：①大长方形的长$BC=22$，对应1个小长方形的长加4个小长方形的宽，可得$x+4y=22$；②左侧标注的长度7，对应1个小长方形的长减去1个小长方形的宽（大长方形的宽方向上，小长方形的长加2个宽再减去3个宽等于7，化简得$x-y=7$）。联立两个方程解出$x$、$y$后，再求出大长方形的宽，最后通过面积差计算阴影面积即可。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$，宽为$y$。
根据图形中的等量关系列方程组：
$\begin{cases}x+4y=22 \\x+2y-3y=7\end{cases}$
化简第二个方程得$x-y=7$，即$x=y+7$，将其代入第一个方程：
$y+7+4y=22$
$5y=15$，解得$y=3$
把$y=3$代入$x=y+7$，得$x=10$
即$\begin{cases}x=10 \\y=3\end{cases}$
大长方形ABCD的宽为$7+3y=7+3×3=16$
阴影部分的面积 = 大长方形面积 - 9个小长方形的总面积，即：
$22×16-9×10×3=352-270=82$
【答案】
$82$
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题核心是通过观察图形挖掘小长方形长和宽的隐含等量关系，列方程组求出未知量后，利用面积差即可求得阴影部分面积，解题时需注意仔细观察图形，避免找错等量关系。
【难度系数】
0.65
要求阴影部分的面积，可通过“大长方形ABCD的面积减去9个小长方形的总面积”求解，因此首先需要求出小长方形的长、宽，以及大长方形的宽。第一步先设小长方形的长为$x$，宽为$y$，观察图形找等量关系：①大长方形的长$BC=22$，对应1个小长方形的长加4个小长方形的宽，可得$x+4y=22$；②左侧标注的长度7，对应1个小长方形的长减去1个小长方形的宽（大长方形的宽方向上，小长方形的长加2个宽再减去3个宽等于7，化简得$x-y=7$）。联立两个方程解出$x$、$y$后，再求出大长方形的宽，最后通过面积差计算阴影面积即可。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$，宽为$y$。
根据图形中的等量关系列方程组：
$\begin{cases}x+4y=22 \\x+2y-3y=7\end{cases}$
化简第二个方程得$x-y=7$，即$x=y+7$，将其代入第一个方程：
$y+7+4y=22$
$5y=15$，解得$y=3$
把$y=3$代入$x=y+7$，得$x=10$
即$\begin{cases}x=10 \\y=3\end{cases}$
大长方形ABCD的宽为$7+3y=7+3×3=16$
阴影部分的面积 = 大长方形面积 - 9个小长方形的总面积，即：
$22×16-9×10×3=352-270=82$
【答案】
$82$
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题核心是通过观察图形挖掘小长方形长和宽的隐含等量关系，列方程组求出未知量后，利用面积差即可求得阴影部分面积，解题时需注意仔细观察图形，避免找错等量关系。
【难度系数】
0.65
21.阅读材料:善于思考的小明同学在解方程组$\begin{cases}3(m+5)-2(n+3)=-1,\\3(m+5)+2(n+3)=7\end{cases}$时,采用了一种“整体换元”的解法:
解:把$m+5,n+3$看成一个整体,设$m+5=x,n+3=y$,
原方程组可化为$\begin{cases}3x-2y=-1,\\3x+2y=7,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}m+5=1,\\n+3=2.\end{cases}$
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}m=-4,\\n=-1.\end{cases}$
请仿照小明同学的方法,用“整体换元”法解方程组$\begin{cases}3(x+y)-4(x-y)=5,\\\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{6}=0.\end{cases}$
解:把$m+5,n+3$看成一个整体,设$m+5=x,n+3=y$,
原方程组可化为$\begin{cases}3x-2y=-1,\\3x+2y=7,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}m+5=1,\\n+3=2.\end{cases}$
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}m=-4,\\n=-1.\end{cases}$
请仿照小明同学的方法,用“整体换元”法解方程组$\begin{cases}3(x+y)-4(x-y)=5,\\\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{6}=0.\end{cases}$
答案
21. 解:设 $x+y=m,x-y=n$,原方程组可化为$\begin{cases}3m-4n=5,\\\frac{m}{2}+\frac{n}{6}=0,\end{cases}$即 $\begin{cases}3m-4n=5①,\\3m+n=0②,\end{cases}$ ② - ①, 得$n=-1$. 把 $n=-1$ 代入 ②, 得 $m=\frac{1}{3}$,
$\therefore\begin{cases}n=-1,\\m=\frac{1}{3}.\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}x+y=\frac{1}{3},\\x-y=-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{3},\\y=\frac{2}{3}.\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}n=-1,\\m=\frac{1}{3}.\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}x+y=\frac{1}{3},\\x-y=-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{3},\\y=\frac{2}{3}.\end{cases}$
解析
【分析】
观察待解方程组的结构，发现两个方程中都反复出现$x+y$和$x-y$两个整体，可仿照例题采用整体换元法简化计算：第一步，设$x+y=m$，$x-y=n$，将原方程组转化为关于$m$、$n$的二元一次方程组；第二步，先化简有分母的方程，再用加减消元法求解$m$、$n$的值；第三步，将$m$、$n$还原为$x+y$和$x-y$，得到关于$x$、$y$的简单二元一次方程组，求解即可得到原方程组的解。
【解析】
设$x+y=m$，$x-y=n$，原方程组可化为：
$\begin{cases}3m-4n=5,\\\frac{m}{2}+\frac{n}{6}=0,\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘6去分母，整理得$\begin{cases}3m-4n=5&①,\\3m+n=0&②,\end{cases}$
用②$-$①，得：$(3m+n)-(3m-4n)=0-5$，即$5n=-5$，解得$n=-1$。
把$n=-1$代入②，得$3m-1=0$，解得$m=\frac{1}{3}$。
$\therefore\begin{cases}m=\frac{1}{3},\\n=-1,\end{cases}$即$\begin{cases}x+y=\frac{1}{3},\\x-y=-1,\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=-\frac{2}{3}$，解得$x=-\frac{1}{3}$，
把$x=-\frac{1}{3}$代入$x+y=\frac{1}{3}$，得$-\frac{1}{3}+y=\frac{1}{3}$，解得$y=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-\frac{1}{3},\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$
【知识点】
1.整体换元法
2.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是整体思想在解方程组中的典型应用，通过观察方程结构选取合适的整体换元，能够简化方程组形式，降低计算难度，解题时需注意换元后含分母的方程要先去分母再求解，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
观察待解方程组的结构，发现两个方程中都反复出现$x+y$和$x-y$两个整体，可仿照例题采用整体换元法简化计算：第一步，设$x+y=m$，$x-y=n$，将原方程组转化为关于$m$、$n$的二元一次方程组；第二步，先化简有分母的方程，再用加减消元法求解$m$、$n$的值；第三步，将$m$、$n$还原为$x+y$和$x-y$，得到关于$x$、$y$的简单二元一次方程组，求解即可得到原方程组的解。
【解析】
设$x+y=m$，$x-y=n$，原方程组可化为：
$\begin{cases}3m-4n=5,\\\frac{m}{2}+\frac{n}{6}=0,\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘6去分母，整理得$\begin{cases}3m-4n=5&①,\\3m+n=0&②,\end{cases}$
用②$-$①，得：$(3m+n)-(3m-4n)=0-5$，即$5n=-5$，解得$n=-1$。
把$n=-1$代入②，得$3m-1=0$，解得$m=\frac{1}{3}$。
$\therefore\begin{cases}m=\frac{1}{3},\\n=-1,\end{cases}$即$\begin{cases}x+y=\frac{1}{3},\\x-y=-1,\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=-\frac{2}{3}$，解得$x=-\frac{1}{3}$，
把$x=-\frac{1}{3}$代入$x+y=\frac{1}{3}$，得$-\frac{1}{3}+y=\frac{1}{3}$，解得$y=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-\frac{1}{3},\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$
【知识点】
1.整体换元法
2.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是整体思想在解方程组中的典型应用，通过观察方程结构选取合适的整体换元，能够简化方程组形式，降低计算难度，解题时需注意换元后含分母的方程要先去分母再求解，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
