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7. 方程$x(x-1)=2$的两根为 （
A.$x_1=0,x_2=1$
B.$x_1=0,x_2=-1$
C.$x_1=1,x_2=2$
D.$x_1=-1,x_2=2$
D
）A.$x_1=0,x_2=1$
B.$x_1=0,x_2=-1$
C.$x_1=1,x_2=2$
D.$x_1=-1,x_2=2$
答案
7.D
解析
【分析】
拿到这道题首先要注意，不能直接令x=2或x-1=2求解，因为因式分解法解一元二次方程的前提是方程右边为0，依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”。所以解题第一步要先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解或者求根公式求解根，最后匹配选项即可。
【解析】
首先对原方程进行整理：
去括号得：$x^2 - x = 2$
移项化为一元二次方程一般式：$x^2 - x - 2 = 0$
对左边多项式十字相乘因式分解得：$(x - 2)(x + 1) = 0$
根据乘积为0的性质可得：$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
分别求解得：$x_1=2$，$x_2=-1$
对应选项可知答案为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查一元二次方程的求解，易错点是部分同学忽略因式分解法的适用条件，未将方程右边化为0就直接拆分因式导致错解，只要规范整理方程后再求解即可得分。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要注意，不能直接令x=2或x-1=2求解，因为因式分解法解一元二次方程的前提是方程右边为0，依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”。所以解题第一步要先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解或者求根公式求解根，最后匹配选项即可。
【解析】
首先对原方程进行整理：
去括号得：$x^2 - x = 2$
移项化为一元二次方程一般式：$x^2 - x - 2 = 0$
对左边多项式十字相乘因式分解得：$(x - 2)(x + 1) = 0$
根据乘积为0的性质可得：$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
分别求解得：$x_1=2$，$x_2=-1$
对应选项可知答案为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查一元二次方程的求解，易错点是部分同学忽略因式分解法的适用条件，未将方程右边化为0就直接拆分因式导致错解，只要规范整理方程后再求解即可得分。
【难度系数】
0.8
8. 我们规定一种新运算“★”，其意义为$a★b=a^2 - ab$，若$(x-2)★(1-x)=28$，则$x$的值为（
A.$x=-26$
B.$x_1=-4,x_2=11$
C.$x_1=2,x_2=-\dfrac{11}{2}$
D.$x_1=-2,x_2=\dfrac{11}{2}$
D
）A.$x=-26$
B.$x_1=-4,x_2=11$
C.$x_1=2,x_2=-\dfrac{11}{2}$
D.$x_1=-2,x_2=\dfrac{11}{2}$
答案
8.D
解析
【分析】
本题属于新定义运算结合一元二次方程求解的题型，解题思路如下：首先严格遵循新运算“★”的运算规则，将$(x-2)★(1-x)$转化为常规的整式运算表达式；其次对整式进行化简、整理得到标准形式的一元二次方程；最后选择合适的方法求解一元二次方程，匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据新运算规则$a★b=a^2 - ab$，可得：
$\begin{aligned}(x-2)★(1-x)&=(x-2)^2 - (x-2)(1-x)=28\\\mathrm{展开得：}&x^2 -4x +4 - (x - x^2 -2 + 2x)=28\\\mathrm{去括号得：}&x^2 -4x +4 +x^2 -3x +2=28\\\mathrm{合并同类项得：}&2x^2 -7x +6 =28\\\mathrm{移项整理为标准一元二次方程：}&2x^2 -7x -22=0\\\mathrm{十字相乘因式分解得：}&(2x - 11)(x + 2)=0\end{aligned}$
则$2x-11=0$或$x+2=0$，解得$x_1=\frac{11}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、整式化简、解一元二次方程
【点评】
本题的易错点在于去括号时的符号处理，以及新运算中a、b对应数值的替换，只要准确理解新运算规则，认真计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算结合一元二次方程求解的题型，解题思路如下：首先严格遵循新运算“★”的运算规则，将$(x-2)★(1-x)$转化为常规的整式运算表达式；其次对整式进行化简、整理得到标准形式的一元二次方程；最后选择合适的方法求解一元二次方程，匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据新运算规则$a★b=a^2 - ab$，可得：
$\begin{aligned}(x-2)★(1-x)&=(x-2)^2 - (x-2)(1-x)=28\\\mathrm{展开得：}&x^2 -4x +4 - (x - x^2 -2 + 2x)=28\\\mathrm{去括号得：}&x^2 -4x +4 +x^2 -3x +2=28\\\mathrm{合并同类项得：}&2x^2 -7x +6 =28\\\mathrm{移项整理为标准一元二次方程：}&2x^2 -7x -22=0\\\mathrm{十字相乘因式分解得：}&(2x - 11)(x + 2)=0\end{aligned}$
则$2x-11=0$或$x+2=0$，解得$x_1=\frac{11}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、整式化简、解一元二次方程
【点评】
本题的易错点在于去括号时的符号处理，以及新运算中a、b对应数值的替换，只要准确理解新运算规则，认真计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
9. 方程$x^2 - |2x - 1| - 4 = 0$的实数根的个数是 （
A.4
B.2
C.3
D.0
B
）A.4
B.2
C.3
D.0
答案
9.B
解析
【分析】
遇到含绝对值的方程，首先需要通过分类讨论去掉绝对值符号，将方程转化为普通的一元二次方程求解。第一步先找绝对值内表达式的零点，确定分类讨论的分界点：令2x-1=0得x=1/2，因此分x≥1/2和x＜1/2两种情况讨论，每种情况下去掉绝对值后解一元二次方程，最后检验所得的根是否符合对应分类的x的取值范围，统计符合条件的实根个数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$2x-1≥0$，即$x≥\frac{1}{2}$时，原方程可化为：
$x^2-(2x-1)-4=0$
整理得：$x^2-2x-3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$
∵$x≥\frac{1}{2}$，
∴$x=-1$不符合要求，舍去，保留$x=3$。
2. 当$2x-1＜0$，即$x＜\frac{1}{2}$时，原方程可化为：
$x^2+(2x-1)-4=0$
整理得：$x^2+2x-5=0$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=2,c=-5$），得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-5)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2}=-1\pm\sqrt{6}$
∵$x＜\frac{1}{2}$，$\sqrt{6}\approx2.45$，故$-1+\sqrt{6}\approx1.45＞\frac{1}{2}$，不符合要求，舍去；$-1-\sqrt{6}\approx-3.45＜\frac{1}{2}$，保留。
综上，符合条件的实根为$x=3$和$x=-1-\sqrt{6}$，共2个。
【答案】
B
【知识点】
绝对值化简，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是通过分类讨论去掉绝对值，易错点是求解一元二次方程后忽略检验根是否符合对应分类的取值范围，导致多算不符合要求的根，误选根个数更多的选项。
【难度系数】
0.7
遇到含绝对值的方程，首先需要通过分类讨论去掉绝对值符号，将方程转化为普通的一元二次方程求解。第一步先找绝对值内表达式的零点，确定分类讨论的分界点：令2x-1=0得x=1/2，因此分x≥1/2和x＜1/2两种情况讨论，每种情况下去掉绝对值后解一元二次方程，最后检验所得的根是否符合对应分类的x的取值范围，统计符合条件的实根个数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$2x-1≥0$，即$x≥\frac{1}{2}$时，原方程可化为：
$x^2-(2x-1)-4=0$
整理得：$x^2-2x-3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$
∵$x≥\frac{1}{2}$，
∴$x=-1$不符合要求，舍去，保留$x=3$。
2. 当$2x-1＜0$，即$x＜\frac{1}{2}$时，原方程可化为：
$x^2+(2x-1)-4=0$
整理得：$x^2+2x-5=0$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=2,c=-5$），得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-5)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2}=-1\pm\sqrt{6}$
∵$x＜\frac{1}{2}$，$\sqrt{6}\approx2.45$，故$-1+\sqrt{6}\approx1.45＞\frac{1}{2}$，不符合要求，舍去；$-1-\sqrt{6}\approx-3.45＜\frac{1}{2}$，保留。
综上，符合条件的实根为$x=3$和$x=-1-\sqrt{6}$，共2个。
【答案】
B
【知识点】
绝对值化简，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是通过分类讨论去掉绝对值，易错点是求解一元二次方程后忽略检验根是否符合对应分类的取值范围，导致多算不符合要求的根，误选根个数更多的选项。
【难度系数】
0.7
10. 若最简二次根式$\sqrt{x^2 + 5x}$与$\sqrt{2x + 10}$能够合并成一项，则$x$的值为
2
。答案
10.2
解析
【分析】
解题需明确两个核心依据：①能够合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等；②二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，且需满足最简二次根式的要求。解题时先根据同类二次根式的性质列一元二次方程，求解后对根逐一检验，舍去不符合条件的增根即可。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{x^2 + 5x}$与$\sqrt{2x + 10}$能够合并，
∴二者是同类二次根式，被开方数相等，可得方程：
$x^2 + 5x = 2x + 10$
移项整理得：$x^2 + 3x - 10 = 0$
因式分解得：$(x+5)(x-2)=0$
解得：$x_1=-5$，$x_2=2$
对根进行检验：
当$x=-5$时，$x^2+5x=0$，$2x+10=0$，此时根式化简结果为0，不属于二次根式，不符合题意，舍去；
当$x=2$时，$x^2+5x=14$，$2x+10=14$，$\sqrt{14}$是最简二次根式，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
同类二次根式，最简二次根式，一元二次方程的解法
【点评】
本题易错点是解出方程后忽略检验步骤，容易误将$x=-5$作为有效解，解题时要牢记二次根式的相关限制条件，避免漏验增根。
【难度系数】
0.6
解题需明确两个核心依据：①能够合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等；②二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，且需满足最简二次根式的要求。解题时先根据同类二次根式的性质列一元二次方程，求解后对根逐一检验，舍去不符合条件的增根即可。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{x^2 + 5x}$与$\sqrt{2x + 10}$能够合并，
∴二者是同类二次根式，被开方数相等，可得方程：
$x^2 + 5x = 2x + 10$
移项整理得：$x^2 + 3x - 10 = 0$
因式分解得：$(x+5)(x-2)=0$
解得：$x_1=-5$，$x_2=2$
对根进行检验：
当$x=-5$时，$x^2+5x=0$，$2x+10=0$，此时根式化简结果为0，不属于二次根式，不符合题意，舍去；
当$x=2$时，$x^2+5x=14$，$2x+10=14$，$\sqrt{14}$是最简二次根式，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
同类二次根式，最简二次根式，一元二次方程的解法
【点评】
本题易错点是解出方程后忽略检验步骤，容易误将$x=-5$作为有效解，解题时要牢记二次根式的相关限制条件，避免漏验增根。
【难度系数】
0.6
11. 对于实数$a,b$,定义运算“※”如下:$a※b=a^2-ab$,例如$2※3=2^2-2×3=-2$,若$(x-1)※(2x-1)=-6$,则$x$的值为
3或-2
.答案
11.3或-2
解析
【分析】
解题第一步需明确新运算“※”的规则：$a※b$等于第一个数的平方减去两个数的乘积。我们把$(x-1)$看作定义中的$a$，$(2x-1)$看作定义中的$b$，代入运算公式即可得到关于$x$的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后求解一元二次方程就能得到$x$的值。
【解析】
根据题中定义的运算规则$a※b=a^2-ab$，可得：
$(x-1)※(2x-1)=(x-1)^2 - (x-1)(2x-1) = -6$
展开并整理方程：
先展开左边的式子：
$(x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - 3x + 1) = -6$
去括号：
$x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + 3x - 1 = -6$
合并同类项：
$-x^2 + x = -6$
移项化为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x - 3)(x + 2) = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=-2$，两个值均符合题意。
【答案】
3或-2
【知识点】
新定义运算，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为熟悉的代数方程求解，侧重考查知识迁移能力和一元二次方程的解法熟练度。
【难度系数】
0.7
解题第一步需明确新运算“※”的规则：$a※b$等于第一个数的平方减去两个数的乘积。我们把$(x-1)$看作定义中的$a$，$(2x-1)$看作定义中的$b$，代入运算公式即可得到关于$x$的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后求解一元二次方程就能得到$x$的值。
【解析】
根据题中定义的运算规则$a※b=a^2-ab$，可得：
$(x-1)※(2x-1)=(x-1)^2 - (x-1)(2x-1) = -6$
展开并整理方程：
先展开左边的式子：
$(x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - 3x + 1) = -6$
去括号：
$x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + 3x - 1 = -6$
合并同类项：
$-x^2 + x = -6$
移项化为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x - 3)(x + 2) = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=-2$，两个值均符合题意。
【答案】
3或-2
【知识点】
新定义运算，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为熟悉的代数方程求解，侧重考查知识迁移能力和一元二次方程的解法熟练度。
【难度系数】
0.7
12. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 + 3x - 2 = 0$；
(2) $3x^2 + 1 = 2\sqrt{3}x$；
(3) $3t^2 + 2t + 1 = 0$；
(4) $-2y^2 + 3y = -2$。
(1) $x^2 + 3x - 2 = 0$；
(2) $3x^2 + 1 = 2\sqrt{3}x$；
(3) $3t^2 + 2t + 1 = 0$；
(4) $-2y^2 + 3y = -2$。
答案
12.(1) $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$,$x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 无实数根
(4) $y_1=2$,$y_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 无实数根
(4) $y_1=2$,$y_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算得到方程的根，若$\Delta＜0$直接判定无实数根即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 3x - 2 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=3$，$c=-2$。
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×1×(-2) = 9+8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×1}$，即得两个实数根。
(2) 先移项整理为一般形式：$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$，其中$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4×3×1 = 12-12=0$，方程有两个相等的实数根。
代入求根公式：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{3}\pm0}{2×3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，即得两个相等的实数根。
(3) 方程$3t^2 + 2t + 1 = 0$为一般形式，其中$a=3$，$b=2$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = 2^2 - 4×3×1 = 4-12=-8＜0$，因此方程无实数根。
(4) 先移项整理为一般形式：$2y^2 - 3y - 2 = 0$（两边同乘$-1$简化计算），其中$a=2$，$b=-3$，$c=-2$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-2) = 9+16=25＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$y = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3\pm5}{4}$，计算即得两个实数根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$,$x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 无实数根
(4) $y_1=2$,$y_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式，公式法解方程
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的应用，解题核心是严格遵循解题步骤，特别注意移项时的符号变化，以及判别式的正确计算，避免因粗心导致的运算错误。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算得到方程的根，若$\Delta＜0$直接判定无实数根即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 3x - 2 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=3$，$c=-2$。
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×1×(-2) = 9+8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×1}$，即得两个实数根。
(2) 先移项整理为一般形式：$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$，其中$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4×3×1 = 12-12=0$，方程有两个相等的实数根。
代入求根公式：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{3}\pm0}{2×3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，即得两个相等的实数根。
(3) 方程$3t^2 + 2t + 1 = 0$为一般形式，其中$a=3$，$b=2$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = 2^2 - 4×3×1 = 4-12=-8＜0$，因此方程无实数根。
(4) 先移项整理为一般形式：$2y^2 - 3y - 2 = 0$（两边同乘$-1$简化计算），其中$a=2$，$b=-3$，$c=-2$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-2) = 9+16=25＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$y = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3\pm5}{4}$，计算即得两个实数根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$,$x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 无实数根
(4) $y_1=2$,$y_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式，公式法解方程
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的应用，解题核心是严格遵循解题步骤，特别注意移项时的符号变化，以及判别式的正确计算，避免因粗心导致的运算错误。
【难度系数】
0.7
13. 已知菱形的两对角线长分别为$(2m-2)\mathrm{cm},(m-2)\mathrm{cm}$，若该菱形的面积是$30\ \mathrm{cm}^2$，求它的周长。
答案
13.解:由题意,得$(2m-2)(m-2)=60$,解得$m_1=7$,$m_2=-4$(不合题意,舍去).
则$2m-2=12$,$m-2=5$,$\therefore$ 该菱形的边长为$6.5\ \mathrm{cm}$,周长为$26\ \mathrm{cm}$.
则$2m-2=12$,$m-2=5$,$\therefore$ 该菱形的边长为$6.5\ \mathrm{cm}$,周长为$26\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，据此建立关于m的一元二次方程；第二步，求解一元二次方程，结合对角线长度为正数的实际意义舍去不合理的根；第三步，代入m的有效值得到两条对角线的长度，再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，用勾股定理计算菱形的边长；第四步，用边长乘4得到菱形周长。
【解析】
解：根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为两条对角线长），结合题意列方程：
$\frac{1}{2}(2m-2)(m-2)=30$
整理得：$(2m-2)(m-2)=60$
展开并化简：
$2m^2 - 6m + 4 = 60$
$m^2 - 3m - 28 = 0$
因式分解得：$(m-7)(m+4)=0$
解得$m_1=7$，$m_2=-4$
∵对角线长度为正数，即$2m-2＞0$且$m-2＞0$，得$m＞2$
∴$m=-4$不合题意，舍去
将$m=7$代入，得两条对角线长分别为：
$2m-2=2×7-2=12\ \mathrm{cm}$，$m-2=7-2=5\ \mathrm{cm}$
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴对角线一半的长度分别为$6\ \mathrm{cm}$和$2.5\ \mathrm{cm}$
由勾股定理得菱形边长为：$\sqrt{6^2 + 2.5^2}=\sqrt{36+6.25}=\sqrt{42.25}=6.5\ \mathrm{cm}$
∴菱形周长为：$4×6.5=26\ \mathrm{cm}$
【答案】
$26\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，既考查了菱形的相关性质，又考查了一元二次方程的求解，解题时需注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步，回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，据此建立关于m的一元二次方程；第二步，求解一元二次方程，结合对角线长度为正数的实际意义舍去不合理的根；第三步，代入m的有效值得到两条对角线的长度，再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，用勾股定理计算菱形的边长；第四步，用边长乘4得到菱形周长。
【解析】
解：根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为两条对角线长），结合题意列方程：
$\frac{1}{2}(2m-2)(m-2)=30$
整理得：$(2m-2)(m-2)=60$
展开并化简：
$2m^2 - 6m + 4 = 60$
$m^2 - 3m - 28 = 0$
因式分解得：$(m-7)(m+4)=0$
解得$m_1=7$，$m_2=-4$
∵对角线长度为正数，即$2m-2＞0$且$m-2＞0$，得$m＞2$
∴$m=-4$不合题意，舍去
将$m=7$代入，得两条对角线长分别为：
$2m-2=2×7-2=12\ \mathrm{cm}$，$m-2=7-2=5\ \mathrm{cm}$
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴对角线一半的长度分别为$6\ \mathrm{cm}$和$2.5\ \mathrm{cm}$
由勾股定理得菱形边长为：$\sqrt{6^2 + 2.5^2}=\sqrt{36+6.25}=\sqrt{42.25}=6.5\ \mathrm{cm}$
∴菱形周长为：$4×6.5=26\ \mathrm{cm}$
【答案】
$26\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，既考查了菱形的相关性质，又考查了一元二次方程的求解，解题时需注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
14. 先化简,再求值:$(\dfrac{x+3}{x^2 -x}-\dfrac{x}{x^2 -2x +1})÷\dfrac{2x -3}{x}$,其中$x$满足$x^2 -2x -4=0$.
答案
14.解:原式$=[\dfrac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^2}-\dfrac{x^2}{x(x-1)^2}]·\dfrac{x}{2x-3}=\dfrac{x^2+2x-3-x^2}{x(x-1)^2}·\dfrac{x}{2x-3}=\dfrac{1}{x^2-2x+1}$. $\because x^2-2x-4=0$,$\therefore x^2-2x=4$. $\therefore$ 原式$=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}$.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步先化简分式，首先对括号内两个分式的分母进行因式分解，找到最简公分母完成通分，计算括号内的减法，再将除法运算转化为乘法运算，通过约分得到最简形式；第二步结合已知的一元二次方程，不需要求解x的具体值，利用整体代入的方法，把$x^2-2x$看作整体代入化简后的式子计算结果，能避免解一元二次方程带来的复杂运算。
【解析】
先对原式中分式的分母因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，再将除法转为乘法：
原式$=[\dfrac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^2}-\dfrac{x· x}{x(x-1)^2}]·\dfrac{x}{2x-3}$
计算括号内分子的运算：$(x+3)(x-1)-x^2=x^2+2x-3-x^2=2x-3$，代入得：
$=\dfrac{2x-3}{x(x-1)^2}·\dfrac{x}{2x-3}$
约分后得：$\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{x^2-2x+1}$
由$x^2-2x-4=0$，移项可得$x^2-2x=4$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}$
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式混合运算，整体代入求值，因式分解
【点评】
本题重点考查分式的四则混合运算和整体代入的数学思想，解题时无需解出x的具体值，通过整体代入可大幅简化计算，运算过程中要注意通分、约分的正确性，避免出现符号或计算失误。
【难度系数】
0.6
本题属于分式化简求值类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步先化简分式，首先对括号内两个分式的分母进行因式分解，找到最简公分母完成通分，计算括号内的减法，再将除法运算转化为乘法运算，通过约分得到最简形式；第二步结合已知的一元二次方程，不需要求解x的具体值，利用整体代入的方法，把$x^2-2x$看作整体代入化简后的式子计算结果，能避免解一元二次方程带来的复杂运算。
【解析】
先对原式中分式的分母因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，再将除法转为乘法：
原式$=[\dfrac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^2}-\dfrac{x· x}{x(x-1)^2}]·\dfrac{x}{2x-3}$
计算括号内分子的运算：$(x+3)(x-1)-x^2=x^2+2x-3-x^2=2x-3$，代入得：
$=\dfrac{2x-3}{x(x-1)^2}·\dfrac{x}{2x-3}$
约分后得：$\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{x^2-2x+1}$
由$x^2-2x-4=0$，移项可得$x^2-2x=4$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}$
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式混合运算，整体代入求值，因式分解
【点评】
本题重点考查分式的四则混合运算和整体代入的数学思想，解题时无需解出x的具体值，通过整体代入可大幅简化计算，运算过程中要注意通分、约分的正确性，避免出现符号或计算失误。
【难度系数】
0.6
