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1. [2025南京鼓楼区期末]三角形的内切圆的圆心是（
A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三边上的高的交点
A
）A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三边上的高的交点
答案
1 A
2. [2026南京一中模拟] 已知$△ ABC$的内切圆$\odot O$切三角形的三边于点$D,E,F$,则$△ DEF$是 (
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
A
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
答案
2 A 如图,连接 OD,OF. $\because AB,AC$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore ∠ ADO = ∠ AFO = 90°$. 在四边形 $ADOF$ 中,$\because ∠ A + ∠ DOF + ∠ ADO + ∠ AFO = 360°, \therefore ∠ A + ∠ DOF = 360° - ∠ ADO - ∠ AFO = 180°, \therefore ∠ DOF = 180° - ∠ A. \because ∠ DEF = \frac{1}{2}∠ DOF, \therefore ∠ DEF = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A ＜ 90°, \therefore ∠ DEF$ 是锐角. 同理可得$∠ EDF$ 和$∠ DFE$ 都是锐角,$\therefore △ DEF$ 是锐角三角形.
3. [2026 常州花园中学期中] 已知△ABC的面积是54 cm²，周长是36 cm，则△ABC的内切圆半径是
3
cm.答案
3 设$△ ABC$ 的内切圆的半径为 $r$ cm. 由题意,得$\frac{1}{2} × 36 × r = 54$,解得 $r = 3$.
4. [2026无锡江阴月考]已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的两直角边$AC,BC$的长分别是一元二次方程$x^2 -7x +12=0$的两根，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆的半径为
1
。答案
4 解方程 $x^2 -7x + 12 = 0$,得 $x_1 = 3, x_2 = 4$. 不妨设 $AC = 3, BC = 4$ 则 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 5$. 设 $△ ABC$ 内切圆的半径为 $r$,则 $r = \frac{a + b - c}{2} = 1$,即 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的内切圆的半径为 1.
5.［2025 盐城市大丰区期中］如图，△ABC中，∠A=80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（
A.100°
B.160°
C.80°
D.130°
D
）A.100°
B.160°
C.80°
D.130°
答案
5 D $\because ∠ A = 80°, \therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 100°$.
$\because$ 点 $O$ 是 $△ ABC$ 的内心,$\therefore ∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 50°, \therefore ∠ BOC = 180° - 50° = 130°$.
得分要点
在一个锐角三角形中,顶角(本题中的$∠ A$)与两个底角的平分线相交所形成的角(本题中的$∠ BOC$)的关系为$∠ BOC = 90° + \frac{1}{2}∠ A$,二者知其一可求另一个,在选择、填空题中可以直接用这个结论.
$\because$ 点 $O$ 是 $△ ABC$ 的内心,$\therefore ∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 50°, \therefore ∠ BOC = 180° - 50° = 130°$.
得分要点
在一个锐角三角形中,顶角(本题中的$∠ A$)与两个底角的平分线相交所形成的角(本题中的$∠ BOC$)的关系为$∠ BOC = 90° + \frac{1}{2}∠ A$,二者知其一可求另一个,在选择、填空题中可以直接用这个结论.
6. [2026盐城阜宁期中]如图,将三角形纸片ABC沿EF折叠,点C恰好与△ABC的内心I重合,若∠ACB=40°,则∠EIA + ∠FIB= (
A.210°
B.220°
C.230°
D.240°
A
)A.210°
B.220°
C.230°
D.240°
答案
6 A 在$△ ABC$ 中,$\because ∠ ACB = 40°, \therefore ∠ BAC + ∠ ABC = 180° - ∠ ACB = 140°. \because △ ABC$ 沿 $EF$ 折叠,点 $C$ 恰好与 $△ ABC$ 的内心 $I$ 重合,$\therefore ∠ EIF = ∠ ACB = 40°, AI$ 平分 $∠ BAC, BI$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ IAB = \frac{1}{2}∠ BAC, ∠ IBA = \frac{1}{2}∠ ABC, \therefore ∠ IAB + ∠ IBA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 140° = 70°, \therefore ∠ AIB = 180° - (∠ IAB + ∠ IBA) = 110°, \therefore ∠ EIA + ∠ FIB = 360° - ∠ EIF - ∠ AIB = 210°$.
7. [2025无锡江阴期中]如图,点O是$△ ABC$外接圆的圆心,点I是$△ ABC$的内心,连接OB,IA.若$∠ CAI=35°$,则$∠ OBC$的度数为
20°
.答案
7 $20°$ 如图,连接 $OC$. $\because$ 点 $I$ 是 $△ ABC$ 的内心,$\therefore AI$ 平分 $∠ BAC. \because ∠ CAI = 35°, \therefore ∠ BAC = 2∠ CAI = 70°. \because$ 点 $O$ 是 $△ ABC$ 外接圆的圆心,$\therefore ∠ BOC = 2∠ BAC = 140°. \because OB = OC, \therefore ∠ OBC = ∠ OCB = \frac{1}{2} × (180° - ∠ BOC) = \frac{1}{2} × (180° - 140°) = 20°$.
8. 如图所示的网格由多个边长为1个单位长度的小正方形组成，点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为$(3,6),(-3,3),(7,-2)$，则$△ ABC$内心的坐标为
(2,3)
。答案
8 $(2,3)$ 如图,由点$A(3,6),B(-3,3),C(7,-2)$可建立如图所示的平面直角坐标系,由网格的特征可知,$BD$ 平分 $∠ ABC,CE$ 平分 $∠ ACB$,直线 $BD,CE$ 交于点 $I$,则点 $I$ 为 $△ ABC$ 的内心,$\therefore △ ABC$的内心 $I$ 的坐标为$(2,3)$.
9. 如图，BC为$△ ABC$的外接圆$\odot O$的直径，点M为$△ ABC$的内心，连接AM并延长交$\odot O$于点D，连接CD.
(1)求$∠ BCD$的度数.
(2)若$CD=4$，求DM的长.
(1)求$∠ BCD$的度数.
(2)若$CD=4$，求DM的长.
答案
9 解:(1)$\because BC$ 为 $△ ABC$ 的外接圆 $\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ BAC = 90°$.
$\because$ 点 $M$ 为 $△ ABC$ 的内心,
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 45°, \therefore ∠ BCD = ∠ BAD = 45°$.
(2)如图,连接 $CM$.
$\because$ 点 $M$ 为 $△ ABC$ 的内心,
$\therefore ∠ BAD = ∠ DAC, ∠ ACM = ∠ BCM$.
$\because ∠ BAD = ∠ BCD, \therefore ∠ DAC = ∠ BCD$.
$\because ∠ DMC = ∠ DAC + ∠ ACM, ∠ DCM = ∠ BCD + ∠ BCM$,
$\therefore ∠ DMC = ∠ DCM, \therefore CD = DM, \therefore DM = CD = 4$.
10. 如图,分别作出下列三角形的内切圆及内心.
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
答案
10 解:如图①~③,$\odot O$ 即为所求作的内切圆,点 $O$ 即所求作的内心.
