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9.如图7，已知∠1=∠2，∠A=∠D，则下列推理正确的是（
A.∵∠1=∠2，∴AB//CD
B.∵∠1=∠2，∴BE//CF
C.∵∠A=∠D，∴AB//CD
D.∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3=∠4
C
）A.∵∠1=∠2，∴AB//CD
B.∵∠1=∠2，∴BE//CF
C.∵∠A=∠D，∴AB//CD
D.∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3=∠4
答案
9.C
解析
【分析】
解决这道题需要结合平行线的判定定理，逐个分析每个选项的推理是否成立：首先明确平行线的判定依据是同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时两直线平行，判断时要先确定相等的角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再看能否对应推出平行关系，最终判断推理是否正确。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被同一条截线所截形成的内错角或同位角，因此由∠1=∠2无法推出AB//CD，该选项推理错误。
B选项：若要推出BE//CF，需要BE、CF被BC所截的内错角∠3=∠4，仅已知∠1=∠2无法得到∠3=∠4，因此不能推出BE//CF，该选项推理错误。
C选项：∠A和∠D是直线AB、CD被直线AD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，由∠A=∠D可推出AB//CD，该选项推理正确。
D选项：仅已知∠1=∠2，没有其他条件能证明∠1=∠3、∠2=∠4，因此无法得出∠1=∠2=∠3=∠4，该选项推理错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定，内错角的识别
【点评】
本题核心是考查平行线判定定理的正确应用，解题的关键是准确区分不同角对应的截线和被截直线，避免因混淆角的位置关系错选。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要结合平行线的判定定理，逐个分析每个选项的推理是否成立：首先明确平行线的判定依据是同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时两直线平行，判断时要先确定相等的角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再看能否对应推出平行关系，最终判断推理是否正确。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被同一条截线所截形成的内错角或同位角，因此由∠1=∠2无法推出AB//CD，该选项推理错误。
B选项：若要推出BE//CF，需要BE、CF被BC所截的内错角∠3=∠4，仅已知∠1=∠2无法得到∠3=∠4，因此不能推出BE//CF，该选项推理错误。
C选项：∠A和∠D是直线AB、CD被直线AD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，由∠A=∠D可推出AB//CD，该选项推理正确。
D选项：仅已知∠1=∠2，没有其他条件能证明∠1=∠3、∠2=∠4，因此无法得出∠1=∠2=∠3=∠4，该选项推理错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定，内错角的识别
【点评】
本题核心是考查平行线判定定理的正确应用，解题的关键是准确区分不同角对应的截线和被截直线，避免因混淆角的位置关系错选。
【难度系数】
0.7
10.若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相 （
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交
B
）A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交
答案
10.B
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路推导：第一步，先回忆平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的；第二步，结合角平分线的定义，同位角的平分线会把两个相等的同位角各自分成两个相等的小角，因此得到的两个小角也是相等的；第三步，观察这两个小角的位置，它们是两条角平分线和截线形成的新的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，就能推出两条角平分线的位置关系。
【解析】
我们可以借助逻辑推导验证：
设两条平行线为$a// b$，第三条截线为$c$，截得的一组同位角为$∠1$和$∠2$，根据平行线的性质可得$∠1=∠2$。
设$∠1$的平分线为$m$，$∠2$的平分线为$n$，根据角平分线的定义，$m$将$∠1$分成两个大小为$\frac{1}{2}∠1$的角，$n$将$∠2$分成两个大小为$\frac{1}{2}∠2$的角，因此$\frac{1}{2}∠1=\frac{1}{2}∠2$。
这两个大小相等的角是直线$m$、$n$被直线$c$所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$m// n$，即一组同位角的平分线互相平行。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线相关性质与判定的基础综合题，结合角平分线的定义即可推导得出结论，是相交线与平行线章节的常考基础题型，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按以下思路推导：第一步，先回忆平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的；第二步，结合角平分线的定义，同位角的平分线会把两个相等的同位角各自分成两个相等的小角，因此得到的两个小角也是相等的；第三步，观察这两个小角的位置，它们是两条角平分线和截线形成的新的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，就能推出两条角平分线的位置关系。
【解析】
我们可以借助逻辑推导验证：
设两条平行线为$a// b$，第三条截线为$c$，截得的一组同位角为$∠1$和$∠2$，根据平行线的性质可得$∠1=∠2$。
设$∠1$的平分线为$m$，$∠2$的平分线为$n$，根据角平分线的定义，$m$将$∠1$分成两个大小为$\frac{1}{2}∠1$的角，$n$将$∠2$分成两个大小为$\frac{1}{2}∠2$的角，因此$\frac{1}{2}∠1=\frac{1}{2}∠2$。
这两个大小相等的角是直线$m$、$n$被直线$c$所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$m// n$，即一组同位角的平分线互相平行。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线相关性质与判定的基础综合题，结合角平分线的定义即可推导得出结论，是相交线与平行线章节的常考基础题型，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
11.如图8，$DE// BC$，$EF// AB$，则图中和$∠ B$相等的角有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等。首先根据已知的两组平行关系，先直接找出与∠B相等的同位角，再通过平行线的内错角相等结合等量代换，找出间接与∠B相等的角，最后统计个数即可。
【解析】
1. 已知$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ B = ∠ ADE$；
2. 已知$EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ B = ∠ EFC$；
3. 已知$EF// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ADE = ∠ DEF$；
4. 结合$∠ B = ∠ ADE$，通过等量代换可得$∠ B = ∠ DEF$。
综上，和$∠ B$相等的角有$∠ ADE$、$∠ EFC$、$∠ DEF$，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、等量代换、同位角与内错角
【点评】
本题重点考查平行线性质的实际应用，解题时要结合图形按顺序找相等的角，避免漏数或多数，熟练掌握平行线的几类性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等。首先根据已知的两组平行关系，先直接找出与∠B相等的同位角，再通过平行线的内错角相等结合等量代换，找出间接与∠B相等的角，最后统计个数即可。
【解析】
1. 已知$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ B = ∠ ADE$；
2. 已知$EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ B = ∠ EFC$；
3. 已知$EF// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ADE = ∠ DEF$；
4. 结合$∠ B = ∠ ADE$，通过等量代换可得$∠ B = ∠ DEF$。
综上，和$∠ B$相等的角有$∠ ADE$、$∠ EFC$、$∠ DEF$，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、等量代换、同位角与内错角
【点评】
本题重点考查平行线性质的实际应用，解题时要结合图形按顺序找相等的角，避免漏数或多数，熟练掌握平行线的几类性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
12. 如图9，下列条件中，能判定$AB// CE$的是（
A.$∠ B=∠ ACE$
B.$∠ A=∠ ECD$
C.$∠ B=∠ ACB$
D.$∠ A=∠ ACE$
D
）A.$∠ B=∠ ACE$
B.$∠ A=∠ ECD$
C.$∠ B=∠ ACB$
D.$∠ A=∠ ACE$
答案
12.D
解析
【分析】
要判定$AB// CE$，需结合平行线的判定定理分析，首先确定待判定的两条直线$AB$、$CE$，再判断各选项中的角是不是两条直线被同一条截线所截形成的、符合判定条件的同位角、内错角或同旁内角，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据平行线的判定定理（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行）逐一分析选项：
A选项：$∠ B$和$∠ ACE$不是$AB$、$CE$被同一条直线所截形成的同位角或内错角，无法判定$AB// CE$，故A错误；
B选项：$∠ A$和$∠ ECD$不是$AB$、$CE$被同一条直线所截形成的同位角或内错角，无法判定$AB// CE$，故B错误；
C选项：$∠ B$和$∠ ACB$是$△ ABC$的内角，仅和直线$AB$、$BC$、$AC$相关，与$CE$无关，无法判定$AB// CE$，故C错误；
D选项：$∠ A$和$∠ ACE$是直线$AB$、$CE$被直线$AC$所截形成的内错角，当$∠ A=∠ ACE$时，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CE$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，解题的关键是准确识别被截直线与截线，明确角的位置关系，再结合判定定理判断即可。
【难度系数】
0.8
要判定$AB// CE$，需结合平行线的判定定理分析，首先确定待判定的两条直线$AB$、$CE$，再判断各选项中的角是不是两条直线被同一条截线所截形成的、符合判定条件的同位角、内错角或同旁内角，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据平行线的判定定理（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行）逐一分析选项：
A选项：$∠ B$和$∠ ACE$不是$AB$、$CE$被同一条直线所截形成的同位角或内错角，无法判定$AB// CE$，故A错误；
B选项：$∠ A$和$∠ ECD$不是$AB$、$CE$被同一条直线所截形成的同位角或内错角，无法判定$AB// CE$，故B错误；
C选项：$∠ B$和$∠ ACB$是$△ ABC$的内角，仅和直线$AB$、$BC$、$AC$相关，与$CE$无关，无法判定$AB// CE$，故C错误；
D选项：$∠ A$和$∠ ACE$是直线$AB$、$CE$被直线$AC$所截形成的内错角，当$∠ A=∠ ACE$时，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CE$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，解题的关键是准确识别被截直线与截线，明确角的位置关系，再结合判定定理判断即可。
【难度系数】
0.8
13.如图10，D是BC延长线上一点，CE//AB.如果∠A=63°，∠ACD=87°，那么∠B=
24°
.答案
13. 24°
解析
【分析】
解题有两种常见思路：思路一：观察图形可知∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接代入已知的∠A和∠ACD的度数，即可求出∠B；思路二：结合CE//AB的条件，利用平行线的内错角相等先求∠ACE的度数，再求出∠ECD的度数，最后根据平行线同位角相等得到∠B的度数。两种方法都可快速求解，这里选用更简便的外角性质求解。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ACD = ∠A + ∠B，
已知∠A=63°，∠ACD=87°，
∴∠B = ∠ACD - ∠A = 87° - 63° = 24°。
【答案】
24°
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查三角形外角性质的直接应用，熟练记忆相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
解题有两种常见思路：思路一：观察图形可知∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接代入已知的∠A和∠ACD的度数，即可求出∠B；思路二：结合CE//AB的条件，利用平行线的内错角相等先求∠ACE的度数，再求出∠ECD的度数，最后根据平行线同位角相等得到∠B的度数。两种方法都可快速求解，这里选用更简便的外角性质求解。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ACD = ∠A + ∠B，
已知∠A=63°，∠ACD=87°，
∴∠B = ∠ACD - ∠A = 87° - 63° = 24°。
【答案】
24°
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查三角形外角性质的直接应用，熟练记忆相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
14.如图11，直线AB过点C，∠2=80°，∠D=50°，∠1=∠3，AB//DE吗？为什么？
答案
14. AB//DE,理由略.
解析
【分析】
要判断AB与DE是否平行，需结合平行线的判定定理分析对应角的关系。首先观察到点C在直线AB上，∠1、∠2、∠3共同组成平角，和为180°，结合已知∠2的度数和∠1=∠3的条件，可先计算出∠1的度数，再对比∠1与∠D的大小，若二者相等则满足内错角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
解：$AB// DE$，理由如下：
∵ 点C在直线AB上，根据平角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$
又
∵ $∠ 2=80°$，$∠ 1=∠ 3$
∴ $∠ 1 = (180° - ∠ 2)÷2 = (180° - 80°)÷2 = 50°$
已知$∠ D=50°$
∴ $∠ 1 = ∠ D$（等量代换）
∴ $AB// DE$（内错角相等，两直线平行）
【答案】
$AB// DE$
【知识点】
平角的定义；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用题，解题核心是先利用平角的性质求出相关角的度数，再结合平行线的判定定理推导结论，侧重考查基础概念和定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断AB与DE是否平行，需结合平行线的判定定理分析对应角的关系。首先观察到点C在直线AB上，∠1、∠2、∠3共同组成平角，和为180°，结合已知∠2的度数和∠1=∠3的条件，可先计算出∠1的度数，再对比∠1与∠D的大小，若二者相等则满足内错角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
解：$AB// DE$，理由如下：
∵ 点C在直线AB上，根据平角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$
又
∵ $∠ 2=80°$，$∠ 1=∠ 3$
∴ $∠ 1 = (180° - ∠ 2)÷2 = (180° - 80°)÷2 = 50°$
已知$∠ D=50°$
∴ $∠ 1 = ∠ D$（等量代换）
∴ $AB// DE$（内错角相等，两直线平行）
【答案】
$AB// DE$
【知识点】
平角的定义；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用题，解题核心是先利用平角的性质求出相关角的度数，再结合平行线的判定定理推导结论，侧重考查基础概念和定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
15.如图12，∠1=∠C，BE⊥DF于点P.
(1)若∠2=55°,请求出∠B的度数；
(2)若∠2+∠D=90°,试说明AB//CD.
(1)若∠2=55°,请求出∠B的度数；
(2)若∠2+∠D=90°,试说明AB//CD.
答案
15. (1)∠B=55° (2)略
解析
【分析】
（1）先根据已知∠1=∠C，利用同位角相等判定CF//BE；再由平行线的性质得到∠B与∠BFC互补，同时∠2与∠BFC是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可推出∠B=∠2，代入∠2的度数就能求出∠B。
（2）要证明AB//CD，可证明内错角∠2=∠C。先由BE⊥DF和CF//BE推出∠CFD=90°，可得∠C与∠D互余，结合已知∠2与∠D互余，根据同角的余角相等得到∠2=∠C，即可判定AB//CD。
【解析】
（1）解：
∵ ∠1=∠C（已知）
∴ CF//BE（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠B + ∠BFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ 点A、F、B共线
∴ ∠2 + ∠BFC = 180°（邻补角的定义）
∴ ∠B=∠2（同角的补角相等）
又
∵ ∠2=55°（已知）
∴ ∠B=55°
（2）证明：
∵ BE⊥DF（已知）
∴ ∠BPD=90°（垂直的定义）
由（1）得CF//BE
∴ ∠CFD=∠BPD=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠C + ∠D = 90°（直角三角形两锐角互余）
∵ ∠2 + ∠D = 90°（已知）
∴ ∠2=∠C（同角的余角相等）
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行）
【答案】
(1)∠B=55° (2)略
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 余角补角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是相交线与平行线的常规题型，主要考查对平行线性质和判定的灵活运用能力，解题时需理清角之间的位置和数量关系，结合余角、补角的性质推导即可。
【难度系数】
0.7
（1）先根据已知∠1=∠C，利用同位角相等判定CF//BE；再由平行线的性质得到∠B与∠BFC互补，同时∠2与∠BFC是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可推出∠B=∠2，代入∠2的度数就能求出∠B。
（2）要证明AB//CD，可证明内错角∠2=∠C。先由BE⊥DF和CF//BE推出∠CFD=90°，可得∠C与∠D互余，结合已知∠2与∠D互余，根据同角的余角相等得到∠2=∠C，即可判定AB//CD。
【解析】
（1）解：
∵ ∠1=∠C（已知）
∴ CF//BE（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠B + ∠BFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ 点A、F、B共线
∴ ∠2 + ∠BFC = 180°（邻补角的定义）
∴ ∠B=∠2（同角的补角相等）
又
∵ ∠2=55°（已知）
∴ ∠B=55°
（2）证明：
∵ BE⊥DF（已知）
∴ ∠BPD=90°（垂直的定义）
由（1）得CF//BE
∴ ∠CFD=∠BPD=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠C + ∠D = 90°（直角三角形两锐角互余）
∵ ∠2 + ∠D = 90°（已知）
∴ ∠2=∠C（同角的余角相等）
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行）
【答案】
(1)∠B=55° (2)略
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 余角补角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是相交线与平行线的常规题型，主要考查对平行线性质和判定的灵活运用能力，解题时需理清角之间的位置和数量关系，结合余角、补角的性质推导即可。
【难度系数】
0.7
