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5.校长有紧急情况要打电话通知31位教师,如果每分钟通知一人,被通知到的老师随后立即通知其他没有接到电话的人至少要多少分钟?用如图所示的方法试一试。
| 第几分钟 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 新接到电话的人数 | 1 | 2 | | | | … |
| 接到电话的总人数 | 1 | 3 | | | | … |
| 知道紧急情况的总人数 | 2 | 4 | | | | … |
| 规律 | 1个2相乘 | 2个2相乘 | | | | … |
我发现:到第n分钟,知道紧急情况的总人数就是n个(
答:打电话通知31位教师,至少要(
| 第几分钟 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 新接到电话的人数 | 1 | 2 | | | | … |
| 接到电话的总人数 | 1 | 3 | | | | … |
| 知道紧急情况的总人数 | 2 | 4 | | | | … |
| 规律 | 1个2相乘 | 2个2相乘 | | | | … |
我发现:到第n分钟,知道紧急情况的总人数就是n个(
2
)相乘,接到电话通知的总人数就是比知道紧急情况的总人数少(1
)人。答:打电话通知31位教师,至少要(
5
)分钟。答案
5.
2 1 5
2 1 5
解析
【分析】
我们先从题目给出的前2分钟的数据找规律：第1分钟知道紧急情况的总人数是2，也就是1个2相乘，接到通知的教师人数是2-1=1；第2分钟知道紧急情况的总人数是4，也就是2个2相乘，接到通知的教师人数是4-1=3。可以发现，每过1分钟，所有已经知道消息的人（包括校长）都会各通知1个没接到通知的人，所以知道总人数每分钟都会翻倍。按照这个规律，到第n分钟时，知道总人数就是n个2相乘，接到通知的教师人数需要减去校长，就是总知道人数减1。现在要通知31位教师，我们只需要找到最小的n，让“n个2相乘减1”等于31即可。
【解析】
1. 推导规律：
观察已知数据：
第1分钟：知道总人数=2（1个2相乘），接到教师人数=2-1=1
第2分钟：知道总人数=4（2个2相乘），接到教师人数=4-1=3
第3分钟：知道总人数=8（3个2相乘），接到教师人数=8-1=7
第4分钟：知道总人数=16（4个2相乘），接到教师人数=16-1=15
第5分钟：知道总人数=32（5个2相乘），接到教师人数=32-1=31
由此可得：到第n分钟，知道紧急情况的总人数就是n个2相乘，接到电话通知的总人数比知道紧急情况的总人数少1人。
2. 计算所需时间：
需要通知31位教师，也就是接到通知的总人数要达到31，当n=5时，5个2相乘减1=32-1=31，刚好满足要求，所以至少需要5分钟。
【答案】
2 1 5
【知识点】
打电话问题规律、找规律推理、乘方初步应用
【点评】
本题核心是理解通知类问题的倍增规律，解题的关键是明确每一分钟所有知晓消息的人员都会参与通知，总知晓人数呈指数级增长，掌握该规律后即可快速求解不同人数下的最短通知时间。
【难度系数】
0.7
我们先从题目给出的前2分钟的数据找规律：第1分钟知道紧急情况的总人数是2，也就是1个2相乘，接到通知的教师人数是2-1=1；第2分钟知道紧急情况的总人数是4，也就是2个2相乘，接到通知的教师人数是4-1=3。可以发现，每过1分钟，所有已经知道消息的人（包括校长）都会各通知1个没接到通知的人，所以知道总人数每分钟都会翻倍。按照这个规律，到第n分钟时，知道总人数就是n个2相乘，接到通知的教师人数需要减去校长，就是总知道人数减1。现在要通知31位教师，我们只需要找到最小的n，让“n个2相乘减1”等于31即可。
【解析】
1. 推导规律：
观察已知数据：
第1分钟：知道总人数=2（1个2相乘），接到教师人数=2-1=1
第2分钟：知道总人数=4（2个2相乘），接到教师人数=4-1=3
第3分钟：知道总人数=8（3个2相乘），接到教师人数=8-1=7
第4分钟：知道总人数=16（4个2相乘），接到教师人数=16-1=15
第5分钟：知道总人数=32（5个2相乘），接到教师人数=32-1=31
由此可得：到第n分钟，知道紧急情况的总人数就是n个2相乘，接到电话通知的总人数比知道紧急情况的总人数少1人。
2. 计算所需时间：
需要通知31位教师，也就是接到通知的总人数要达到31，当n=5时，5个2相乘减1=32-1=31，刚好满足要求，所以至少需要5分钟。
【答案】
2 1 5
【知识点】
打电话问题规律、找规律推理、乘方初步应用
【点评】
本题核心是理解通知类问题的倍增规律，解题的关键是明确每一分钟所有知晓消息的人员都会参与通知，总知晓人数呈指数级增长，掌握该规律后即可快速求解不同人数下的最短通知时间。
【难度系数】
0.7
6. 小明喝一杯纯牛奶，分四次喝完。第一次喝了这杯纯牛奶的$\frac{1}{6}$，加满水后，第二次喝了一杯的$\frac{1}{3}$，再次加满水后，第三次喝了半杯；继续加满水，第四次全部喝完，小明喝的纯牛奶多，还是水多？
答案
6. 纯牛奶:1杯 水:$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=1$(杯)
小明喝的纯牛奶和水一样多。
小明喝的纯牛奶和水一样多。
解析
【分析】
解题时我们可以先抓不变量简化问题：整个过程中没有额外添加纯牛奶，最开始的1杯纯牛奶最后被全部喝完，因此喝的纯牛奶总量就是1杯，无需逐次计算每次喝的牛奶量。再看水的量：每次喝完后都加满水再继续喝，最后全部喝完，说明加进去的水最后也都被喝完了，只要把三次加的水量相加就能得到喝的总水量，最后和纯牛奶的量比较大小即可。
【解析】
1. 计算喝的纯牛奶总量：
一开始有1杯纯牛奶，过程中没有添加纯牛奶，四次喝完后纯牛奶全部喝完，所以喝的纯牛奶是1杯。
2. 计算喝的水的总量：
每次加的水量就是每次喝完后空缺的部分：
第一次加的水量：$\frac{1}{6}$杯
第二次加的水量：$\frac{1}{3}$杯
第三次加的水量：$\frac{1}{2}$杯
总水量 = $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$
通分计算：$\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{6}{6}=1$（杯）
3. 比较大小：1杯纯牛奶 = 1杯水
【答案】
小明喝的纯牛奶和水一样多。
【知识点】
1. 分数的意义
2. 异分母分数加法
【点评】
本题解题关键是抓住纯牛奶总量为1杯的不变量，避免逐次计算每次喝的牛奶和水的占比的复杂运算，能锻炼学生抓取核心条件、简化问题的思维能力。
【难度系数】
0.65
解题时我们可以先抓不变量简化问题：整个过程中没有额外添加纯牛奶，最开始的1杯纯牛奶最后被全部喝完，因此喝的纯牛奶总量就是1杯，无需逐次计算每次喝的牛奶量。再看水的量：每次喝完后都加满水再继续喝，最后全部喝完，说明加进去的水最后也都被喝完了，只要把三次加的水量相加就能得到喝的总水量，最后和纯牛奶的量比较大小即可。
【解析】
1. 计算喝的纯牛奶总量：
一开始有1杯纯牛奶，过程中没有添加纯牛奶，四次喝完后纯牛奶全部喝完，所以喝的纯牛奶是1杯。
2. 计算喝的水的总量：
每次加的水量就是每次喝完后空缺的部分：
第一次加的水量：$\frac{1}{6}$杯
第二次加的水量：$\frac{1}{3}$杯
第三次加的水量：$\frac{1}{2}$杯
总水量 = $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$
通分计算：$\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{6}{6}=1$（杯）
3. 比较大小：1杯纯牛奶 = 1杯水
【答案】
小明喝的纯牛奶和水一样多。
【知识点】
1. 分数的意义
2. 异分母分数加法
【点评】
本题解题关键是抓住纯牛奶总量为1杯的不变量，避免逐次计算每次喝的牛奶和水的占比的复杂运算，能锻炼学生抓取核心条件、简化问题的思维能力。
【难度系数】
0.65
7. 魔术师表演“天女散花”节目。他先将一大张纸对折后撕开，再将撕开的纸叠在一起对折后又撕开……假设像这样连续撕了10次后，将所撕纸片撒满舞台，此时舞台上一共有多少张纸片？
答案
7. $2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024$(张)
解析
【分析】
我们可以先从撕纸次数较少的情况入手找规律：撕1次时，1张纸对折撕开得到2张，数量是原来的2倍；撕2次时，把得到的2张叠在一起对折撕开，总数量是2×2=4张，还是上一次的2倍。由此可知，每撕1次，纸片的总数量就会变成之前的2倍，所以撕几次，总数量就是几个2相乘。现在要算撕10次的总数量，只需要计算10个2相乘的结果即可。
【解析】
先找撕纸数量的规律：
撕1次后，纸片数量：2张
撕2次后，纸片数量：2×2=4（张）
撕3次后，纸片数量：2×2×2=8（张）
……
规律：撕n次后，纸片总数量为n个2相乘。
那么撕10次后，总数量为10个2相乘：
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024（张）
【答案】
1024张
【知识点】
数字规律探究、整数连乘计算
【点评】
本题结合趣味魔术场景出题，趣味性较强，解题关键是发现每撕1次纸片数量变为原来2倍的规律，既考查了找规律的能力，也考查了整数连乘的计算能力，能引导学生学会用数学思维解决生活中的趣味问题。
【难度系数】
0.7
我们可以先从撕纸次数较少的情况入手找规律：撕1次时，1张纸对折撕开得到2张，数量是原来的2倍；撕2次时，把得到的2张叠在一起对折撕开，总数量是2×2=4张，还是上一次的2倍。由此可知，每撕1次，纸片的总数量就会变成之前的2倍，所以撕几次，总数量就是几个2相乘。现在要算撕10次的总数量，只需要计算10个2相乘的结果即可。
【解析】
先找撕纸数量的规律：
撕1次后，纸片数量：2张
撕2次后，纸片数量：2×2=4（张）
撕3次后，纸片数量：2×2×2=8（张）
……
规律：撕n次后，纸片总数量为n个2相乘。
那么撕10次后，总数量为10个2相乘：
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024（张）
【答案】
1024张
【知识点】
数字规律探究、整数连乘计算
【点评】
本题结合趣味魔术场景出题，趣味性较强，解题关键是发现每撕1次纸片数量变为原来2倍的规律，既考查了找规律的能力，也考查了整数连乘的计算能力，能引导学生学会用数学思维解决生活中的趣味问题。
【难度系数】
0.7
