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1. 填一填。
(1)24÷1=(
24÷(
24 的因数有 1,2,(
(2)48以内5的倍数有(
(1)24÷1=(
24
) 24÷2=(12
)24÷(
3
)=(8
) 24÷(4
)=(6
)24 的因数有 1,2,(
3
),(4
),(6
),(8
),(12
),(24
),其中最大的因数是(24
),最小的因数是(1
)。(2)48以内5的倍数有(
5,10,15,20,25,30,35,40,45
)。答案
1.(1)24 12 3 8 4 6 3 4 6 8 12 24 24 1
(2)5,10,15,20,25,30,35,40,45
(2)5,10,15,20,25,30,35,40,45
解析
【分析】
本题分为两小问，分别考察因数和倍数的基础应用。(1)小问核心是找24的因数，思路为：根据因数定义，若整数a除以非零整数b，商是整数且无余数，b就是a的因数，我们可以从1开始依次用24除以自然数，若商为整数，那么除数和商都是24的因数，直到除数和商重复即可停止；同时要牢记，一个数的因数里，最小的因数是1，最大的因数是它本身。(2)小问是找48以内5的倍数，思路为：给5依次乘1、2、3……，所得积小于48的就是符合要求的数，也可以根据5的倍数个位是0或5的特点，从小到大列举出小于48的对应数字即可。
【解析】
(1) 依次计算除法算式：
$24÷1=24$，$24÷2=12$，$24÷3=8$，$24÷4=6$；
将所有能整除24的数按从小到大排序，得到24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，其中最大的因数是24本身，最小的因数是1。
(2) 依次计算5的倍数：
$5×1=5$，$5×2=10$，$5×3=15$，$5×4=20$，$5×5=25$，$5×6=30$，$5×7=35$，$5×8=40$，$5×9=45$，$5×10=50＞48$不符合要求，因此48以内5的倍数为5、10、15、20、25、30、35、40、45。
【答案】
(1)24 12 3 8 4 6 3 4 6 8 12 24 24 1
(2)5,10,15,20,25,30,35,40,45
【知识点】
因数的认识，倍数的认识，因数的特征
【点评】
本题属于因数与倍数模块的基础题，主要考查找一个数的因数、倍数的方法，以及因数的基本性质，熟练掌握相关基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，分别考察因数和倍数的基础应用。(1)小问核心是找24的因数，思路为：根据因数定义，若整数a除以非零整数b，商是整数且无余数，b就是a的因数，我们可以从1开始依次用24除以自然数，若商为整数，那么除数和商都是24的因数，直到除数和商重复即可停止；同时要牢记，一个数的因数里，最小的因数是1，最大的因数是它本身。(2)小问是找48以内5的倍数，思路为：给5依次乘1、2、3……，所得积小于48的就是符合要求的数，也可以根据5的倍数个位是0或5的特点，从小到大列举出小于48的对应数字即可。
【解析】
(1) 依次计算除法算式：
$24÷1=24$，$24÷2=12$，$24÷3=8$，$24÷4=6$；
将所有能整除24的数按从小到大排序，得到24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，其中最大的因数是24本身，最小的因数是1。
(2) 依次计算5的倍数：
$5×1=5$，$5×2=10$，$5×3=15$，$5×4=20$，$5×5=25$，$5×6=30$，$5×7=35$，$5×8=40$，$5×9=45$，$5×10=50＞48$不符合要求，因此48以内5的倍数为5、10、15、20、25、30、35、40、45。
【答案】
(1)24 12 3 8 4 6 3 4 6 8 12 24 24 1
(2)5,10,15,20,25,30,35,40,45
【知识点】
因数的认识，倍数的认识，因数的特征
【点评】
本题属于因数与倍数模块的基础题，主要考查找一个数的因数、倍数的方法，以及因数的基本性质，熟练掌握相关基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
(3)一个非零自然数a的最小因数是(
1
),最大因数是(a
),它的因数的个数是(有限
)(填“有限”或“无限”)的；a的最小倍数是(a
),它的倍数的个数是(无限
)(填“有限”或“无限”)的。答案
(3)1 a 有限 a 无限
解析
【分析】
拿到这道题我们可以结合因数、倍数的基础性质逐步思考：首先解决因数相关的问题，回忆因数的定义，所有非零自然数都能被1整除，因此最小的因数是1；而一个数除以比自身大的数时商不是整数，不可能是它的因数，所以最大因数是它本身；所有数的因数都可以逐个列举出来，因此个数是有限的。再解决倍数相关的问题，一个数的倍数是它乘1、2、3……得到的，乘1得到的就是最小的倍数，也就是它本身；因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数是无限的。
【解析】
1. 求非零自然数a的最小因数：1能整除所有非零自然数，且不存在比1更小的正整数因数，因此最小因数是1；
2. 求a的最大因数：$a÷ a=1$，商为整数且无余数，大于a的数无法整除a，因此最大因数是a；
3. 判断因数的个数：任意非零自然数的因数都可以全部列举出来，比如4的因数是1、2、4，因此因数的个数是有限的；
4. 求a的最小倍数：a的1倍为$a×1=a$，不存在更小的正整数倍数，因此最小倍数是a；
5. 判断倍数的个数：a的倍数可表示为$a×1、a×2、a×3······$，自然数的个数是无限的，因此倍数的个数是无限的。
【答案】
1；a；有限；a；无限
【知识点】
因数的特征；倍数的特征
【点评】
本题是对因数和倍数基础性质的考查，属于概念类基础题，熟练掌握相关定义和性质就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
拿到这道题我们可以结合因数、倍数的基础性质逐步思考：首先解决因数相关的问题，回忆因数的定义，所有非零自然数都能被1整除，因此最小的因数是1；而一个数除以比自身大的数时商不是整数，不可能是它的因数，所以最大因数是它本身；所有数的因数都可以逐个列举出来，因此个数是有限的。再解决倍数相关的问题，一个数的倍数是它乘1、2、3……得到的，乘1得到的就是最小的倍数，也就是它本身；因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数是无限的。
【解析】
1. 求非零自然数a的最小因数：1能整除所有非零自然数，且不存在比1更小的正整数因数，因此最小因数是1；
2. 求a的最大因数：$a÷ a=1$，商为整数且无余数，大于a的数无法整除a，因此最大因数是a；
3. 判断因数的个数：任意非零自然数的因数都可以全部列举出来，比如4的因数是1、2、4，因此因数的个数是有限的；
4. 求a的最小倍数：a的1倍为$a×1=a$，不存在更小的正整数倍数，因此最小倍数是a；
5. 判断倍数的个数：a的倍数可表示为$a×1、a×2、a×3······$，自然数的个数是无限的，因此倍数的个数是无限的。
【答案】
1；a；有限；a；无限
【知识点】
因数的特征；倍数的特征
【点评】
本题是对因数和倍数基础性质的考查，属于概念类基础题，熟练掌握相关定义和性质就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
(4)2,4,6,8,10,…,98,100 这列数中,每个数都是(
2
)的倍数,第12个数是(24
)。答案
(4)2 24
解析
【分析】
首先观察这列数的特征：2、4、6、8……都是能被2整除的偶数，由此可判断每个数都是2的倍数。再推导数列的排列规律：第1个数是2×1=2，第2个数是2×2=4，第3个数是2×3=6，可总结出第n个数就是2乘n，按照这个规律就能算出第12个数的数值。
【解析】
1. 判断倍数：观察数列中的数2、4、6、8、10…均为偶数，所有偶数都能被2整除，因此每个数都是2的倍数。
2. 计算第12个数：
观察数列可发现规律：第1个数为2×1=2，第2个数为2×2=4，第3个数为2×3=6……即第n个数=2×n。
代入n=12，可得第12个数为2×12=24。
【答案】
2；24
【知识点】
偶数的特征；数列找规律
【点评】
本题考查对偶数特点的掌握和简单数列规律的推导，核心是发现数列中每个数和它的序数之间的倍数关系，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
首先观察这列数的特征：2、4、6、8……都是能被2整除的偶数，由此可判断每个数都是2的倍数。再推导数列的排列规律：第1个数是2×1=2，第2个数是2×2=4，第3个数是2×3=6，可总结出第n个数就是2乘n，按照这个规律就能算出第12个数的数值。
【解析】
1. 判断倍数：观察数列中的数2、4、6、8、10…均为偶数，所有偶数都能被2整除，因此每个数都是2的倍数。
2. 计算第12个数：
观察数列可发现规律：第1个数为2×1=2，第2个数为2×2=4，第3个数为2×3=6……即第n个数=2×n。
代入n=12，可得第12个数为2×12=24。
【答案】
2；24
【知识点】
偶数的特征；数列找规律
【点评】
本题考查对偶数特点的掌握和简单数列规律的推导，核心是发现数列中每个数和它的序数之间的倍数关系，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
(5)3★□是5的倍数，□里有(
2
)种填法。答案
(5)2
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆5的倍数的特征，本题中只需要判断个位数字是否符合5的倍数的要求即可，和其他数位的数字无关，所以只要找出所有符合要求的个位数字，数出个数就是填法的数量。
【解析】
根据5的倍数的特征：个位上是0或5的整数都是5的倍数。本题中需要填写的是数的个位□，所以□里可以填0或者5，一共2种填法。
【答案】
2
【知识点】
5的倍数的特征
【点评】
本题是基础概念应用题，熟练掌握常见数的倍数特征是解题的关键，只要准确记忆特征就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆5的倍数的特征，本题中只需要判断个位数字是否符合5的倍数的要求即可，和其他数位的数字无关，所以只要找出所有符合要求的个位数字，数出个数就是填法的数量。
【解析】
根据5的倍数的特征：个位上是0或5的整数都是5的倍数。本题中需要填写的是数的个位□，所以□里可以填0或者5，一共2种填法。
【答案】
2
【知识点】
5的倍数的特征
【点评】
本题是基础概念应用题，熟练掌握常见数的倍数特征是解题的关键，只要准确记忆特征就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
(1)如图,如果在几何体上面添一个小正方体,且从上面看到的图形不变,有(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)种摆法。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
(1)D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心要求：添一个小正方体后从上面看到的图形不变。我们需要先确定原几何体从上面看能看到的正方形数量，这些正方形对应的就是底层小正方体的位置，要让俯视图不变，新增的小正方体只能放在这些已有底层小正方体的正上方，有几个这样的位置就有几种摆法。
【解析】
第一步：观察原几何体，底层一共有4个小正方体，从上面看可以看到4个独立的小正方形，对应这4个底层小正方体的顶部位置。
第二步：当新增的小正方体放在任意一个底层小正方体的正上方时，从上方观察，新增的正方体会和原来该位置的正方形重合，不会改变从上面看到的图形。
第三步：一共有4个可以摆放的位置，因此共有4种摆法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
俯视图的认识，立体图形拼摆
【点评】
本题主要考察空间想象能力和对三视图中俯视图的理解，解题的关键是明确“俯视图不变”的摆放规则，即新增小正方体只能放在原有底层小正方体的正上方，数清楚原有底层的小正方体数量即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确核心要求：添一个小正方体后从上面看到的图形不变。我们需要先确定原几何体从上面看能看到的正方形数量，这些正方形对应的就是底层小正方体的位置，要让俯视图不变，新增的小正方体只能放在这些已有底层小正方体的正上方，有几个这样的位置就有几种摆法。
【解析】
第一步：观察原几何体，底层一共有4个小正方体，从上面看可以看到4个独立的小正方形，对应这4个底层小正方体的顶部位置。
第二步：当新增的小正方体放在任意一个底层小正方体的正上方时，从上方观察，新增的正方体会和原来该位置的正方形重合，不会改变从上面看到的图形。
第三步：一共有4个可以摆放的位置，因此共有4种摆法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
俯视图的认识，立体图形拼摆
【点评】
本题主要考察空间想象能力和对三视图中俯视图的理解，解题的关键是明确“俯视图不变”的摆放规则，即新增小正方体只能放在原有底层小正方体的正上方，数清楚原有底层的小正方体数量即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(2)下面有4组几何体,从左面看与其他三组不同的是(
C
)。答案
(2)C
解析
【分析】
这道题考查从左面观察几何体的能力，解题时首先要明确：从左面观察几何体时，看到的正方形层数对应几何体的上下层数，看到的正方形列数对应几何体的前后排数。我们只需要依次分析四个选项从左面看到的平面图形，再对比找出和其他三个不一样的即可。
【解析】
我们逐个判断各选项的左视图：
1. 观察选项A：从左面看，下层有2个正方形（对应几何体前后两排的小正方体），上层靠左有1个正方形，形状为下层2个、上层左1个的组合图形。
2. 观察选项B：从左面看，同样下层有2个正方形，上层靠左有1个正方形，和A的左视图一致。
3. 观察选项C：从左面看，只有上下两层，每层各1个正方形，是竖直排列的2个正方形，和A、B的左视图不同。
4. 观察选项D：从左面看，下层有2个正方形，上层靠左有1个正方形，和A、B的左视图一致。
因此从左面看与其他三组不同的是C。
【答案】
C
【知识点】
1. 左视图识别
2. 观察物体
【点评】
本题属于观察物体的基础题型，核心是明确不同观察角度下平面图形和几何体结构的对应关系，只要按照方法逐个分析各选项的左视图，就能顺利得出答案，主要锻炼学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
这道题考查从左面观察几何体的能力，解题时首先要明确：从左面观察几何体时，看到的正方形层数对应几何体的上下层数，看到的正方形列数对应几何体的前后排数。我们只需要依次分析四个选项从左面看到的平面图形，再对比找出和其他三个不一样的即可。
【解析】
我们逐个判断各选项的左视图：
1. 观察选项A：从左面看，下层有2个正方形（对应几何体前后两排的小正方体），上层靠左有1个正方形，形状为下层2个、上层左1个的组合图形。
2. 观察选项B：从左面看，同样下层有2个正方形，上层靠左有1个正方形，和A的左视图一致。
3. 观察选项C：从左面看，只有上下两层，每层各1个正方形，是竖直排列的2个正方形，和A、B的左视图不同。
4. 观察选项D：从左面看，下层有2个正方形，上层靠左有1个正方形，和A、B的左视图一致。
因此从左面看与其他三组不同的是C。
【答案】
C
【知识点】
1. 左视图识别
2. 观察物体
【点评】
本题属于观察物体的基础题型，核心是明确不同观察角度下平面图形和几何体结构的对应关系，只要按照方法逐个分析各选项的左视图，就能顺利得出答案，主要锻炼学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
(3)由6个小正方体摆成的几何体,从左面看到的图形是
,从前面看到的图形是
,这个几何体是(
,从前面看到的图形是,这个几何体是(C
)。答案
(3)C
解析
【分析】
遇到这类根据两个方向的视图匹配几何体的题目，我们可以用排除法逐步筛选：首先明确观察规则，从前面看几何体时，能看到几何体的列数和每列的最高层数；从左面看几何体时，能看到几何体的行数和每行的最高层数。我们先通过题目给出的正面视图，排除不符合正面观察结果的选项，再用左面视图筛选剩余的选项，就能快速锁定正确答案。
【解析】
我们按两步筛选：
1. 核对正面视图：逐一观察各选项从前面看到的形状，和题目给出的正面视图对比，排除不符合要求的选项；
2. 核对左面视图：对第一步筛选后剩下的选项，再观察从左面看到的形状，和题目给出的左面视图对比，发现只有选项C同时满足正面、左面两个方向的观察结果。
【答案】
C
【知识点】
观察立体图形、视图判断
【点评】
本题考查对立体图形不同方向视图的识别能力，用排除法逐步验证两个方向的视图是否符合要求即可，解题时要细心观察每列、每层的小正方体数量，避免看错。
【难度系数】
0.7
遇到这类根据两个方向的视图匹配几何体的题目，我们可以用排除法逐步筛选：首先明确观察规则，从前面看几何体时，能看到几何体的列数和每列的最高层数；从左面看几何体时，能看到几何体的行数和每行的最高层数。我们先通过题目给出的正面视图，排除不符合正面观察结果的选项，再用左面视图筛选剩余的选项，就能快速锁定正确答案。
【解析】
我们按两步筛选：
1. 核对正面视图：逐一观察各选项从前面看到的形状，和题目给出的正面视图对比，排除不符合要求的选项；
2. 核对左面视图：对第一步筛选后剩下的选项，再观察从左面看到的形状，和题目给出的左面视图对比，发现只有选项C同时满足正面、左面两个方向的观察结果。
【答案】
C
【知识点】
观察立体图形、视图判断
【点评】
本题考查对立体图形不同方向视图的识别能力，用排除法逐步验证两个方向的视图是否符合要求即可，解题时要细心观察每列、每层的小正方体数量，避免看错。
【难度系数】
0.7
