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1. 二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 3 $ 图象的顶点坐标是( )
A.$ (1,3) $
B.$ (1,-3) $
C.$ (-1,3) $
D.$ (-1,-3) $
A.$ (1,3) $
B.$ (1,-3) $
C.$ (-1,3) $
D.$ (-1,-3) $
答案
A
解析
二次函数顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
对于函数$y=(x - 1)^2 + 3$，其中$h = 1$，$k = 3$，所以顶点坐标是$(1,3)$。
A
对于函数$y=(x - 1)^2 + 3$，其中$h = 1$，$k = 3$，所以顶点坐标是$(1,3)$。
A
2. 将二次函数 $ y = 2(x - 1)^2 + 2 $ 的图象向左平移 2 个单位长度得到的新图象为( )
A.$ y = 2(x - 1)^2 + 4 $
B.$ y = 2(x - 1)^2 $
C.$ y = 2(x - 3)^2 + 2 $
D.$ y = 2(x + 1)^2 + 2 $
A.$ y = 2(x - 1)^2 + 4 $
B.$ y = 2(x - 1)^2 $
C.$ y = 2(x - 3)^2 + 2 $
D.$ y = 2(x + 1)^2 + 2 $
答案
D
解析
二次函数平移规律：向左平移$h$个单位，自变量$x$加上$h$。
原函数$y = 2(x - 1)^2 + 2$向左平移$2$个单位，得$y = 2(x - 1 + 2)^2 + 2 = 2(x + 1)^2 + 2$。
D
原函数$y = 2(x - 1)^2 + 2$向左平移$2$个单位，得$y = 2(x - 1 + 2)^2 + 2 = 2(x + 1)^2 + 2$。
D
3. 二次函数 $ y = -2(x - 1)^2 $ 的图象大致是( )
]
]
答案
B
解析
二次函数$y = -2(x - 1)^2$，
因为二次项系数$-2\lt0$，所以抛物线开口向下，
顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$，顶点坐标为$(h,k)$，此函数中$h = 1$，$k = 0$，所以顶点坐标为$(1,0)$，
图象大致是B。
因为二次项系数$-2\lt0$，所以抛物线开口向下，
顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$，顶点坐标为$(h,k)$，此函数中$h = 1$，$k = 0$，所以顶点坐标为$(1,0)$，
图象大致是B。
4. 二次函数 $ y = a(x + m)^2 + n $ 的图象如图所示,则一次函数 $ y = mx + n $ 的图象经过( )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
]
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
]
答案
C
解析
解：由二次函数$y = a(x + m)^2 + n$的顶点式可知，其顶点坐标为$(-m, n)$。
观察图象，抛物线开口向上，顶点在第四象限，因此顶点的横坐标$-m＞0$，纵坐标$n＜0$，即$m＜0$，$n＜0$。
对于一次函数$y = mx + n$，因为$m＜0$，$n＜0$，所以其图象经过第二、三、四象限。
答案：C
观察图象，抛物线开口向上，顶点在第四象限，因此顶点的横坐标$-m＞0$，纵坐标$n＜0$，即$m＜0$，$n＜0$。
对于一次函数$y = mx + n$，因为$m＜0$，$n＜0$，所以其图象经过第二、三、四象限。
答案：C
5. 已知二次函数 $ y = -(x - 2)^2 + c $ 过点 $ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $,假设 $ |x_1 - 2| ＞ |x_2 - 2| $,则 $ y_1,y_2 $ 的大小关系是______.
答案
y₁ ＜ y₂
解析
二次函数$y=-(x - 2)^2 + c$的开口向下，对称轴为直线$x=2$。对于抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越小。因为$|x_1 - 2|＞|x_2 - 2|$，所以$y_1＜y_2$。
$y_1＜y_2$
$y_1＜y_2$
6. 指出下面函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及 $ y $ 随 $ x $ 的变化情况.
(1) $ y = 2(x + 3)^2 + 5 $；
(2) $ y = -3(x - 1)^2 - 2 $.
(1) $ y = 2(x + 3)^2 + 5 $；
(2) $ y = -3(x - 1)^2 - 2 $.
答案
(1) 对于函数 $y = 2(x + 3)^2 + 5$：
开口方向：向上（因为 $a = 2 ＞ 0$）；
对称轴：$x = -3$；
顶点坐标：$(-3, 5)$；
最值：最小值为 5，无最大值；
$y$ 随 $x$ 的变化情况：当 $x ＜ -3$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小；当 $x ＞ -3$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
(2) 对于函数 $y = -3(x - 1)^2 - 2$：
开口方向：向下（因为 $a = -3 ＜ 0$）；
对称轴：$x = 1$；
顶点坐标：$(1, -2)$；
最值：最大值为 -2，无最小值；
$y$ 随 $x$ 的变化情况：当 $x ＜ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大；当 $x ＞ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小。
开口方向：向上（因为 $a = 2 ＞ 0$）；
对称轴：$x = -3$；
顶点坐标：$(-3, 5)$；
最值：最小值为 5，无最大值；
$y$ 随 $x$ 的变化情况：当 $x ＜ -3$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小；当 $x ＞ -3$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
(2) 对于函数 $y = -3(x - 1)^2 - 2$：
开口方向：向下（因为 $a = -3 ＜ 0$）；
对称轴：$x = 1$；
顶点坐标：$(1, -2)$；
最值：最大值为 -2，无最小值；
$y$ 随 $x$ 的变化情况：当 $x ＜ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大；当 $x ＞ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小。
7. 将抛物线 $ y = ax^2 $ 先向右平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度后,所得抛物线经过 $ (1,-5) $,求 $ a $ 的值.
答案
a=-2
解析
抛物线$y = ax^2$向右平移2个单位长度，得到$y = a(x - 2)^2$；再向下平移3个单位长度，得到$y = a(x - 2)^2 - 3$。
因为所得抛物线经过$(1, -5)$，所以将$x = 1$，$y = -5$代入$y = a(x - 2)^2 - 3$，得：
$\begin{aligned}-5&=a(1 - 2)^2 - 3\\-5&=a(-1)^2 - 3\\-5&=a - 3\\a&=-5 + 3\\a&=-2\end{aligned}$
$a=-2$
因为所得抛物线经过$(1, -5)$，所以将$x = 1$，$y = -5$代入$y = a(x - 2)^2 - 3$，得：
$\begin{aligned}-5&=a(1 - 2)^2 - 3\\-5&=a(-1)^2 - 3\\-5&=a - 3\\a&=-5 + 3\\a&=-2\end{aligned}$
$a=-2$
8. 已知抛物线的顶点为 $ (4,-8) $,并且经过点 $ (6,-4) $,试确定此抛物线所表示的函数的解析式.
答案
y=(x-4)²-8
解析
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2 - 8$。
因为抛物线经过点$(6,-4)$，将$x=6$，$y=-4$代入解析式得：
$-4 = a(6 - 4)^2 - 8$
$-4 = a×2^2 - 8$
$-4 = 4a - 8$
$4a = 4$
$a = 1$
所以抛物线的解析式为$y=(x - 4)^2 - 8$。
因为抛物线经过点$(6,-4)$，将$x=6$，$y=-4$代入解析式得：
$-4 = a(6 - 4)^2 - 8$
$-4 = a×2^2 - 8$
$-4 = 4a - 8$
$4a = 4$
$a = 1$
所以抛物线的解析式为$y=(x - 4)^2 - 8$。
