1. (2024昆明期末)如图，$BF = CE$，$AE\perp BC$于点$E$，$DF\perp BC$于点$F$，要根据“HL”判定$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle DCF$，则需添加的一个条件是().

A.$AB = DC$
B.$\angle A=\angle D$
C.$\angle B=\angle C$
D.$AE = CF$

A

∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°。∵BF=CE，∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF。要根据“HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF，需添加斜边AB=DC。

2. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle C=\angle C' = 90^{\circ}$，$AB = A'B'$，$AD$与$A'D'$分别为边$BC$，$B'C'$上的中线，且$CD = C'D'$. 求证：$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$.

在$\triangle ACD$和$\triangle A'C'D'$中，
$\begin{cases}CD = C'D' ,\\\angle ACD=\angle A'C'D'=90^{\circ},\\AD = A'D'(因为AB = A'B'，CD = C'D'，根据直角三角形斜边中线定理，斜边中线等于斜边一半，所以AD = A'D').\end{cases}$
所以$\triangle ACD\cong\triangle A'C'D'(HL)$。
所以$AC = A'C'$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B',\\AC = A'C'.\end{cases}$
所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle A'B'C'(HL)$。

3. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是().

A.一个锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等

C

A选项，一个锐角和斜边对应相等，加上直角相等，可以利用AAS（或结合直角特性用HL的推导思路，但本质是AAS情况在直角中的特殊应用体现，因为已知斜边和一个锐角，另一个锐角也固定了）判定两个直角三角形全等；B选项，两条直角边对应相等，再加上直角相等，根据SAS可以判定两个直角三角形全等；C选项，两个锐角对应相等，只能说明两个三角形相似，不能判定全等；D选项，斜边和一条直角边对应相等，根据HL定理可以判定两个直角三角形全等。

4. 如图，$CD\perp AD$于点$D$，$CB\perp AB$于点$B$，$AB = AD$. 求证：$CD = CB$.

连接 $AC$。
因为 $CD \perp AD$，$CB \perp AB$，
所以 $\angle ADC = \angle ABC = 90°$。
在 $Rt \triangle ADC$ 和 $Rt \triangle ABC$ 中，
$AC = AC$（公共边），
$AB = AD$（已知）。
根据直角三角形全等的 $HL$ 定理，
$Rt \triangle ADC \cong Rt \triangle ABC$。
所以 $CD = CB$。

5. 如图，已知$BC\perp CA$于点$C$，$ED\perp AB$于点$D$，$BD = BC$，$AE = 8\ cm$，$DE = 6\ cm$，则$AC$等于().

A.$10\ cm$
B.$12\ cm$
C.$14\ cm$
D.$16\ cm$

C

连接BE。
∵ED⊥AB，BC⊥CA，∴∠BDE=∠BCE=90°。
在Rt△BDE和Rt△BCE中，BD=BC，BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴DE=CE。
∵DE=6cm，∴CE=6cm。
∵AE=8cm，且A、E、C三点共线，
∴AC=AE+EC=8+6=14cm。

6. (2025昭通期末)如图，$\angle D=\angle BED=\angle ACB = 90^{\circ}$，能保证$Rt\triangle ADC\cong Rt\triangle CEB$成立的条件有().
①$AC = BC$；②$AD = CE$；③$AC = 2AD$；④$CD = BE$.


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

∵∠D=∠E=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等），同理∠ACD=∠CBE。
①AC=BC：在Rt△ADC和Rt△CEB中，∠D=∠E=90°，∠CAD=∠BCE，AC=BC，由AAS可证全等；
②AD=CE：在Rt△ADC和Rt△CEB中，∠D=∠E=90°，AD=CE，∠CAD=∠BCE，由ASA可证全等；
③AC=2AD：仅涉及△ADC的边，无法建立与△CEB的关系，不能证全等；
④CD=BE：在Rt△ADC和Rt△CEB中，∠D=∠E=90°，CD=BE，∠ACD=∠CBE，由ASA可证全等。
综上，①②④可保证全等，共3个条件。

7. 如图，在正方形网格中，点$A$，$B$，$C$，$D$均在格点上，则$\angle ACD+\angle BDC=$.

45°

设每个小正方形边长为1，连接相关格点，利用勾股定理计算得：$CD=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{5}$等。构造直角三角形，通过“HL”定理证明全等，将$∠ACD$转移，可得$∠ACD + ∠BDC = 45°$。

8. (易错题)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 10\ cm$，$BC = 5\ cm$，一条线段$PQ = AB$，$P$，$Q$两点分别在$AC$和$AC$的垂线$AX$上移动，则当$AP=\_\_\_\_\_cm$时，才能使$\triangle ABC$和$\triangle APQ$全等.

5或10

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=10\ cm$，$BC=5\ cm$，则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}\ cm$。$AX\perp AC$，故$\angle PAQ=90^{\circ}$，$\triangle APQ$为直角三角形，直角边为$AP$、$AQ$，斜边为$PQ$。已知$PQ=AB=5\sqrt{5}\ cm$，要使$\triangle ABC$与$\triangle APQ$全等，分两种情况：
1. 当$AP=BC=5\ cm$时，$AQ=AC=10\ cm$，由$SAS$（$AP=BC$，$\angle PAQ=\angle C=90^{\circ}$，$AQ=AC$）可得$\triangle APQ\cong\triangle CBA$；
2. 当$AP=AC=10\ cm$时，$AQ=BC=5\ cm$，由$HL$（斜边$PQ=AB$，直角边$AP=AC$）可得$\triangle APQ\cong\triangle ACB$。
综上，$AP=5\ cm$或$10\ cm$。