1. 在正方形网格中，∠AOB的位置如图，到∠AOB两边距离相等的点应是().

A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q

C

根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上。在正方形网格中，通过观察各点到OA、OB两边的垂直距离（即横向和纵向格数）：点P到OA、OB的距离均为2个单位长度，符合距离相等条件。

2. 如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC = 3 cm，当PD = cm时，点P在∠AOB的平分线上.

$3$

根据角的平分线的判定定理，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。
已知$PC\perp OA$于点$C$，$PD\perp OB$于点$D$，$PC = 3cm$，当$PD = 3cm$时，点$P$到$\angle AOB$两边的距离相等，所以点$P$在$\angle AOB$的平分线上。

3. 如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB = DC，BE = CF. 求证：AD是∠BAC的平分线.

证明：
因为$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
所以$\angle E = \angle DFC = 90°$。
在$Rt\triangle BED$和$Rt\triangle CFD$中，
$ \begin{cases} DB = DC, \\ BE = CF. \end{cases} $
所以$Rt\triangle BED \cong Rt\triangle CFD (HL)$，
所以$DE = DF$。
又因为$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
所以$AD$是$\angle BAC$的平分线。

4. (2024昆明期末)如图，在△ABC中，∠B = 90°，DE⊥AC于点E，DF//AC交AB于点F. 若DE = DB，则下列结论：①AB = AE；②AD平分∠BAC；③∠C + ∠AFD = 180°；④△BDF≌△ECD. 其中正确的有().

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

结论②：∵∠B=90°，∴DB⊥AB（D在BC上），又DE⊥AC且DE=DB，由角平分线判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上）知AD平分∠BAC，②正确。
结论①：在△ABD和△AED中，∠ABD=∠AED=90°，∠BAD=∠EAD（AD平分∠BAC），AD=AD，∴△ABD≌△AED（AAS），∴AB=AE，①正确。
结论③：∵DF//AC，∴∠AFD+∠BAC=180°（同旁内角互补）。∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°，则∠AFD=180°-∠BAC=180°-(90°-∠C)=90°+∠C，∴∠C+∠AFD=90°+2∠C≠180°（除非∠C=45°，非普遍情况），③错误。
结论④：△BDF中∠B=90°，△ECD中∠DEC=90°，虽∠BDF=∠C（DF//AC，同位角）且BD=DE，但对应边DF≠CD（除非∠C=45°），故△BDF与△ECD不全等，④错误。
综上，正确的有①②，共2个。

5. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H.
(1)若PH = 8 cm，求点P到直线BC的距离；
(2)求证：点P在∠HAC的平分线上.

(1) 过点P作PQ⊥BC于点Q。
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PQ⊥BC，
∴PH=PQ（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵PH=8cm，
∴PQ=8cm，即点P到直线BC的距离为8cm。
(2) 证明：过点P作PQ⊥BC于点Q。
∵CP平分△ABC的外角∠ACE，PD⊥AC，PQ⊥CE，
∴PD=PQ（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PQ⊥BC，
∴PH=PQ（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∴PH=PD。
∵PH⊥AH，PD⊥AC，
∴点P到∠HAC两边的距离相等，
∴点P在∠HAC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。

6. 如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有().

A.1种选择
B.2种选择
C.3种选择
D.4种选择

D

三条公路两两相交（不交于同一点）形成三角形，到三条公路距离相等的点为三角形的内心（1个，内角平分线交点）和三个旁心（每个旁心为一个内角平分线与另两个外角平分线交点，共3个），共4个点。