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18. (本小题满分$7$分)
如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 5$,$AD = 20$,$BM:MC = 1:2$,$DE\perp AM于点E$. 求$DE$的长.
如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 5$,$AD = 20$,$BM:MC = 1:2$,$DE\perp AM于点E$. 求$DE$的长.
12
答案
12
解析
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$BC=AD=20$，$AB=CD=5$，$\angle B=90°$。
∵$BM:MC=1:2$，$BM+MC=BC=20$，
∴$BM=\frac{1}{3}×20=\frac{20}{3}$。
在$Rt\triangle ABM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{5^2+\left(\frac{20}{3}\right)^2}=\sqrt{25+\frac{400}{9}}=\sqrt{\frac{225+400}{9}}=\sqrt{\frac{625}{9}}=\frac{25}{3}$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAE=\angle AMB$。
∵$DE\perp AM$，
∴$\angle AED=\angle B=90°$，
∴$\triangle ADE\sim\triangle MAB$。
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AM}$，即$\frac{DE}{5}=\frac{20}{\frac{25}{3}}$，
解得$DE=5×20×\frac{3}{25}=12$。
答：$DE$的长为$12$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$BC=AD=20$，$AB=CD=5$，$\angle B=90°$。
∵$BM:MC=1:2$，$BM+MC=BC=20$，
∴$BM=\frac{1}{3}×20=\frac{20}{3}$。
在$Rt\triangle ABM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{5^2+\left(\frac{20}{3}\right)^2}=\sqrt{25+\frac{400}{9}}=\sqrt{\frac{225+400}{9}}=\sqrt{\frac{625}{9}}=\frac{25}{3}$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAE=\angle AMB$。
∵$DE\perp AM$，
∴$\angle AED=\angle B=90°$，
∴$\triangle ADE\sim\triangle MAB$。
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AM}$，即$\frac{DE}{5}=\frac{20}{\frac{25}{3}}$，
解得$DE=5×20×\frac{3}{25}=12$。
答：$DE$的长为$12$。
19. (本小题满分$9$分)
如图,已知$AB// CD$,$AF = BF$,$EC = EB$,能否得到$OC^{2}= OF\cdot OD$？请说明理由.
解:能.理由如下:
∵AF = BF,EC = EB,
∴∠A = ∠B = ∠OCF.
∵CD // AB,
∴∠D = ∠A.
∴∠D = ∠OCF.又
∵∠COF = ∠COD,
∴△COF∽△DOC,
∴$\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OF}{OC}$,即$OC^{2}=OF\cdot OD$.
如图,已知$AB// CD$,$AF = BF$,$EC = EB$,能否得到$OC^{2}= OF\cdot OD$？请说明理由.
解:能.理由如下:
∵AF = BF,EC = EB,
∴∠A = ∠B = ∠OCF.
∵CD // AB,
∴∠D = ∠A.
∴∠D = ∠OCF.又
∵∠COF = ∠COD,
∴△COF∽△DOC,
∴$\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OF}{OC}$,即$OC^{2}=OF\cdot OD$.
答案
解:能.理由如下:
∵AF = BF,EC = EB,
∴∠A = ∠B = ∠OCF.
∵CD // AB,
∴∠D = ∠A.
∴∠D = ∠OCF.又
∵∠COF = ∠COD,
∴△COF∽△DOC,
∴$\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OF}{OC}$,即$OC^{2}=OF\cdot OD$.
∵AF = BF,EC = EB,
∴∠A = ∠B = ∠OCF.
∵CD // AB,
∴∠D = ∠A.
∴∠D = ∠OCF.又
∵∠COF = ∠COD,
∴△COF∽△DOC,
∴$\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OF}{OC}$,即$OC^{2}=OF\cdot OD$.
