登录
14. 如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，若$AB=15$，则正方形$ADEC$和正方形$BCFG$的面积和为（
A.225
B.200
C.150
D.无法计算
A
）A.225
B.200
C.150
D.无法计算
答案
14.A
解析
【分析】
解题时首先明确两个正方形的面积分别等于直角三角形两条直角边的平方，所求的面积和就是两条直角边的平方和。结合直角三角形的勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
正方形ADEC的边长为AC，因此它的面积$S_{ADEC}=AC^2$；
正方形BCFG的边长为BC，因此它的面积$S_{BCFG}=BC^2$；
两个正方形的面积和为$AC^2+BC^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
已知$AB=15$，代入得$AB^2=15^2=225$，即两个正方形的面积和为225。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题将正方形面积计算与勾股定理相结合，解题核心是把正方形面积和转化为直角三角形两条直角边的平方和，再借助勾股定理直接求解，属于基础类题型，熟练掌握勾股定理即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确两个正方形的面积分别等于直角三角形两条直角边的平方，所求的面积和就是两条直角边的平方和。结合直角三角形的勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
正方形ADEC的边长为AC，因此它的面积$S_{ADEC}=AC^2$；
正方形BCFG的边长为BC，因此它的面积$S_{BCFG}=BC^2$；
两个正方形的面积和为$AC^2+BC^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
已知$AB=15$，代入得$AB^2=15^2=225$，即两个正方形的面积和为225。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题将正方形面积计算与勾股定理相结合，解题核心是把正方形面积和转化为直角三角形两条直角边的平方和，再借助勾股定理直接求解，属于基础类题型，熟练掌握勾股定理即可快速作答。
【难度系数】
0.85
15.“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的.如图所示,是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”,其中四边形ABCD、四边形BEFG、四边形AHIG均为正方形.若$S_{□ AHIG}=20$，$AD=2$，则$S_{△ GFI}$等于（
A.2
B.3
C.4
D.$2\sqrt{5}$
C
）A.2
B.3
C.4
D.$2\sqrt{5}$
答案
15.C
解析
【分析】
首先梳理已知条件：图中三个四边形均为正方形，已知大正方形AHIG的面积为20，小正方形ABCD的边长AD=2，要求△GFI的面积。解题思路如下：第一步，根据正方形面积和边长的关系，先得到大正方形边长的平方（即直角三角形斜边的平方）和小正方形的边长；第二步，利用勾股定理求出中间正方形BEFG的边长；第三步，观察△GFI是直角三角形，结合出入相补原理或全等三角形的性质，求出△GFI另一条直角边的长度；第四步，用三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：
1.
∵ 四边形ABCD是正方形，AD=2
∴ AB=AD=2
2.
∵ 四边形AHIG是正方形，$ S_{□AHIG}=20 $
∴ 正方形AHIG的边长满足 $ AG^2=20 $
3. 在$ \mathrm{Rt}△ ABG $中，$ ∠ ABG=90° $，由勾股定理得：
$ AB^2 + BG^2 = AG^2 $
代入数值：$ 2^2 + BG^2 =20 $
解得 $ BG^2=16 $，即 $ BG=4 $
∵ 四边形BEFG是正方形
∴ $ FG=BG=4 $，且 $ ∠ GFI=90° $
4. 根据出入相补原理（或证明$ △ HEI ≌ △ IFG $），可得 $ FI=AB=2 $
5. 因此$ S_{△ GFI}=\frac{1}{2} × FG × FI = \frac{1}{2} × 4 × 2 =4 $
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题以中国古代数学家刘徽的“青朱出入图”为背景，将传统文化与数学知识结合，考查对勾股定理、正方形性质的理解和应用，解题的核心是利用勾股定理求出中间正方形的边长，再结合图形的等量关系得到三角形的边长，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：图中三个四边形均为正方形，已知大正方形AHIG的面积为20，小正方形ABCD的边长AD=2，要求△GFI的面积。解题思路如下：第一步，根据正方形面积和边长的关系，先得到大正方形边长的平方（即直角三角形斜边的平方）和小正方形的边长；第二步，利用勾股定理求出中间正方形BEFG的边长；第三步，观察△GFI是直角三角形，结合出入相补原理或全等三角形的性质，求出△GFI另一条直角边的长度；第四步，用三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：
1.
∵ 四边形ABCD是正方形，AD=2
∴ AB=AD=2
2.
∵ 四边形AHIG是正方形，$ S_{□AHIG}=20 $
∴ 正方形AHIG的边长满足 $ AG^2=20 $
3. 在$ \mathrm{Rt}△ ABG $中，$ ∠ ABG=90° $，由勾股定理得：
$ AB^2 + BG^2 = AG^2 $
代入数值：$ 2^2 + BG^2 =20 $
解得 $ BG^2=16 $，即 $ BG=4 $
∵ 四边形BEFG是正方形
∴ $ FG=BG=4 $，且 $ ∠ GFI=90° $
4. 根据出入相补原理（或证明$ △ HEI ≌ △ IFG $），可得 $ FI=AB=2 $
5. 因此$ S_{△ GFI}=\frac{1}{2} × FG × FI = \frac{1}{2} × 4 × 2 =4 $
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题以中国古代数学家刘徽的“青朱出入图”为背景，将传统文化与数学知识结合，考查对勾股定理、正方形性质的理解和应用，解题的核心是利用勾股定理求出中间正方形的边长，再结合图形的等量关系得到三角形的边长，难度适中。
【难度系数】
0.7
16.已知$\sqrt{6}-1$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$3a+2b$的值为
$2\sqrt{6}-1$
.答案
16.$2\sqrt{6}-1$
解析
【分析】
解题思路如下：首先需要估算无理数$\sqrt{6}$的取值范围，找到它介于哪两个相邻整数之间；再通过不等式变形得到$\sqrt{6}-1$的取值范围，从而确定它的整数部分$a$；接着根据“小数部分=原数-整数部分”的关系求出小数部分$b$；最后将$a$、$b$代入$3a+2b$计算即可得到结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{6}$的范围
因为$4＜6＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$。
第二步：求$\sqrt{6}-1$的范围，确定整数部分$a$
对不等式$2＜\sqrt{6}＜3$两边同时减1，得$2-1＜\sqrt{6}-1＜3-1$，即$1＜\sqrt{6}-1＜2$，因此$\sqrt{6}-1$的整数部分$a=1$。
第三步：求小数部分$b$
根据小数部分的定义，小数部分=原数-整数部分，所以$b=(\sqrt{6}-1)-a=(\sqrt{6}-1)-1=\sqrt{6}-2$。
第四步：代入计算$3a+2b$
将$a=1$，$b=\sqrt{6}-2$代入式子：
$3a+2b=3×1 + 2×(\sqrt{6}-2)=3 + 2\sqrt{6} - 4=2\sqrt{6}-1$。
【答案】
$2\sqrt{6}-1$
【知识点】
无理数的大小估算；代数式求值；整数与小数部分的定义
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是准确判断无理数的整数部分，掌握“小数部分为原数减去整数部分”的规律，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先需要估算无理数$\sqrt{6}$的取值范围，找到它介于哪两个相邻整数之间；再通过不等式变形得到$\sqrt{6}-1$的取值范围，从而确定它的整数部分$a$；接着根据“小数部分=原数-整数部分”的关系求出小数部分$b$；最后将$a$、$b$代入$3a+2b$计算即可得到结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{6}$的范围
因为$4＜6＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$。
第二步：求$\sqrt{6}-1$的范围，确定整数部分$a$
对不等式$2＜\sqrt{6}＜3$两边同时减1，得$2-1＜\sqrt{6}-1＜3-1$，即$1＜\sqrt{6}-1＜2$，因此$\sqrt{6}-1$的整数部分$a=1$。
第三步：求小数部分$b$
根据小数部分的定义，小数部分=原数-整数部分，所以$b=(\sqrt{6}-1)-a=(\sqrt{6}-1)-1=\sqrt{6}-2$。
第四步：代入计算$3a+2b$
将$a=1$，$b=\sqrt{6}-2$代入式子：
$3a+2b=3×1 + 2×(\sqrt{6}-2)=3 + 2\sqrt{6} - 4=2\sqrt{6}-1$。
【答案】
$2\sqrt{6}-1$
【知识点】
无理数的大小估算；代数式求值；整数与小数部分的定义
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是准确判断无理数的整数部分，掌握“小数部分为原数减去整数部分”的规律，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
17.如图所示,四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交BC于E点(不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)求证:BE=DC.
(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交BC于E点(不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)求证:BE=DC.
答案
17.(1)解:如图所示,AE即为所求.
(2)证明:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC,AB=DC. \therefore ∠ DAE=∠ BEA$.
$\because AE$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ BAE=∠ DAE. \therefore ∠ BEA=∠ BAE$.
$\therefore AB=BE. \therefore BE=DC$.
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作角平分线，操作时以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAD内部的交点与A连接并延长，交BC于点E，即可得到所求角平分线。
(2) 第二问要证BE=DC，可结合平行四边形性质推导：首先由平行四边形对边相等可得AB=DC，只需证明BE=AB即可完成等量代换；结合AE是角平分线可得∠BAE=∠DAE，再由平行四边形对边平行可得AD//BC，推出内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后得到∠BAE=∠BEA，根据等角对等边可得AB=BE，最终推导出BE=DC。
【解析】
(1) 按角平分线的尺规作图方法操作，保留作图痕迹，得到的AE即为∠BAD的平分线。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=DC，
∴ ∠DAE=∠BEA（两直线平行，内错角相等）。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BEA=∠BAE，
∴ AB=BE，
∴ BE=DC。
【答案】
(1)解:如图所示,AE即为所求.
(2)证明:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC,AB=DC. \therefore ∠ DAE=∠ BEA$.
$\because AE$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ BAE=∠ DAE. \therefore ∠ BEA=∠ BAE$.
$\therefore AB=BE. \therefore BE=DC$.
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 平行四边形的性质
3. 等角对等边
【点评】
本题是几何基础题，既考察了尺规作图的基本操作能力，也考察了平行四边形、等腰三角形相关性质的应用，解题时只要熟练掌握基础几何性质，理清角、边之间的等量关系，就能顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问为尺规作角平分线，操作时以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAD内部的交点与A连接并延长，交BC于点E，即可得到所求角平分线。
(2) 第二问要证BE=DC，可结合平行四边形性质推导：首先由平行四边形对边相等可得AB=DC，只需证明BE=AB即可完成等量代换；结合AE是角平分线可得∠BAE=∠DAE，再由平行四边形对边平行可得AD//BC，推出内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后得到∠BAE=∠BEA，根据等角对等边可得AB=BE，最终推导出BE=DC。
【解析】
(1) 按角平分线的尺规作图方法操作，保留作图痕迹，得到的AE即为∠BAD的平分线。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=DC，
∴ ∠DAE=∠BEA（两直线平行，内错角相等）。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BEA=∠BAE，
∴ AB=BE，
∴ BE=DC。
【答案】
(1)解:如图所示,AE即为所求.
(2)证明:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC,AB=DC. \therefore ∠ DAE=∠ BEA$.
$\because AE$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ BAE=∠ DAE. \therefore ∠ BEA=∠ BAE$.
$\therefore AB=BE. \therefore BE=DC$.
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 平行四边形的性质
3. 等角对等边
【点评】
本题是几何基础题，既考察了尺规作图的基本操作能力，也考察了平行四边形、等腰三角形相关性质的应用，解题时只要熟练掌握基础几何性质，理清角、边之间的等量关系，就能顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
