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5. 如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点$A_1$，∠$A_1BC$的平分线与∠$A_1CD$的平分线交于点$A_2$，…，∠$A_{n-1}BC$的平分线与∠$A_{n-1}CD$的平分线交于点$A_n$，E为BA延长线上一动点，连结EC，∠AEC的平分线与∠ACE的平分线交于点M，设∠BAC=α. 下列结论正确的是（
A.∠$A_n = \frac{α}{2^{n-1}}$
B.∠$A_n = \frac{α}{2^{n+1}}$
C.∠$M - ∠A_1$的值为定值
D.∠$M + ∠A_1$的值为定值
D
）A.∠$A_n = \frac{α}{2^{n-1}}$
B.∠$A_n = \frac{α}{2^{n+1}}$
C.∠$M - ∠A_1$的值为定值
D.∠$M + ∠A_1$的值为定值
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先推导∠Aₙ的表达式，再推导∠M的表达式，最后判断选项。第一步：利用三角形外角性质，结合角平分线定义，先求∠A₁和∠BAC=α的关系，再类推得到∠Aₙ的通式，排除错误选项；第二步：利用三角形内角和定理，结合角平分线性质求∠M的表达式，再计算∠M与∠A₁的和、差，判断是否为定值即可。
【解析】
1. 推导∠Aₙ的表达式
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠ABC+∠BAC，即$∠ ACD - ∠ ABC = ∠ BAC = α$。
∵$BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$，
∴$∠ A_1BC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD=\frac{1}{2}∠ ACD$。
又
∵$∠ A_1CD$是$△ A_1BC$的外角，
∴$∠ A_1=∠ A_1CD - ∠ A_1BC=\frac{1}{2}(∠ ACD - ∠ ABC)=\frac{1}{2}α$。
同理类推可得$∠ A_2=\frac{1}{2}∠ A_1=\frac{α}{2^2}$，$∠ A_3=\frac{α}{2^3}$，……，$∠ A_n=\frac{α}{2^n}$，因此A、B选项错误。
2. 推导∠M的表达式
在$△ AEC$中，$∠ EAC + ∠ AEC + ∠ ACE = 180°$。
∵E在BA延长线上，
∴$∠ EAC=180° - ∠ BAC=180° - α$，则$∠ AEC + ∠ ACE=180° - ∠ EAC=α$。
∵EM平分$∠ AEC$，CM平分$∠ ACE$，
∴$∠ MEC=\frac{1}{2}∠ AEC$，$∠ MCE=\frac{1}{2}∠ ACE$。
在$△ MEC$中，$∠ M=180° - (∠ MEC + ∠ MCE)=180° - \frac{1}{2}(∠ AEC + ∠ ACE)=180° - \frac{1}{2}α$。
3. 判断∠M和∠A₁的和、差
$∠ M + ∠ A_1=(180° - \frac{1}{2}α) + \frac{1}{2}α=180°$，是固定值；
$∠ M - ∠ A_1=(180° - \frac{1}{2}α) - \frac{1}{2}α=180° - α$，值随α变化，不是定值。
因此C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查三角形内外角性质、角平分线的应用，解题核心是熟练掌握三角形内外角的数量关系，通过递推得到角的变化规律，结合内角和推导角平分线交点处的角的表达式。
【难度系数】
0.65
解题时先推导∠Aₙ的表达式，再推导∠M的表达式，最后判断选项。第一步：利用三角形外角性质，结合角平分线定义，先求∠A₁和∠BAC=α的关系，再类推得到∠Aₙ的通式，排除错误选项；第二步：利用三角形内角和定理，结合角平分线性质求∠M的表达式，再计算∠M与∠A₁的和、差，判断是否为定值即可。
【解析】
1. 推导∠Aₙ的表达式
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠ABC+∠BAC，即$∠ ACD - ∠ ABC = ∠ BAC = α$。
∵$BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$，
∴$∠ A_1BC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD=\frac{1}{2}∠ ACD$。
又
∵$∠ A_1CD$是$△ A_1BC$的外角，
∴$∠ A_1=∠ A_1CD - ∠ A_1BC=\frac{1}{2}(∠ ACD - ∠ ABC)=\frac{1}{2}α$。
同理类推可得$∠ A_2=\frac{1}{2}∠ A_1=\frac{α}{2^2}$，$∠ A_3=\frac{α}{2^3}$，……，$∠ A_n=\frac{α}{2^n}$，因此A、B选项错误。
2. 推导∠M的表达式
在$△ AEC$中，$∠ EAC + ∠ AEC + ∠ ACE = 180°$。
∵E在BA延长线上，
∴$∠ EAC=180° - ∠ BAC=180° - α$，则$∠ AEC + ∠ ACE=180° - ∠ EAC=α$。
∵EM平分$∠ AEC$，CM平分$∠ ACE$，
∴$∠ MEC=\frac{1}{2}∠ AEC$，$∠ MCE=\frac{1}{2}∠ ACE$。
在$△ MEC$中，$∠ M=180° - (∠ MEC + ∠ MCE)=180° - \frac{1}{2}(∠ AEC + ∠ ACE)=180° - \frac{1}{2}α$。
3. 判断∠M和∠A₁的和、差
$∠ M + ∠ A_1=(180° - \frac{1}{2}α) + \frac{1}{2}α=180°$，是固定值；
$∠ M - ∠ A_1=(180° - \frac{1}{2}α) - \frac{1}{2}α=180° - α$，值随α变化，不是定值。
因此C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查三角形内外角性质、角平分线的应用，解题核心是熟练掌握三角形内外角的数量关系，通过递推得到角的变化规律，结合内角和推导角平分线交点处的角的表达式。
【难度系数】
0.65
6. 在$△ ABC$中，$AB=8$，$BC=2$，则$AC$的长可能为
8
.（只写一个）答案
6.8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确）
解析
【分析】
解决这道题的核心是运用三角形三边关系确定第三边AC的取值范围。首先回忆三角形三边的性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知三角形两条边AB、BC的长度，把数值代入三边关系的不等式，就能求出AC的取值范围，最后在范围内任选一个数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：第三边大于其余两边之差，小于其余两边之和，可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
将$AB=8$，$BC=2$代入得：
$8 - 2 ＜ AC ＜ 8 + 2$
即 $6 ＜ AC ＜ 10$
因此只要取大于6且小于10的数都符合要求，例如取8。
【答案】
8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确计算出第三边的取值范围，注意取值范围不包含6和10两个端点，避免填错。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是运用三角形三边关系确定第三边AC的取值范围。首先回忆三角形三边的性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知三角形两条边AB、BC的长度，把数值代入三边关系的不等式，就能求出AC的取值范围，最后在范围内任选一个数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：第三边大于其余两边之差，小于其余两边之和，可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
将$AB=8$，$BC=2$代入得：
$8 - 2 ＜ AC ＜ 8 + 2$
即 $6 ＜ AC ＜ 10$
因此只要取大于6且小于10的数都符合要求，例如取8。
【答案】
8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确计算出第三边的取值范围，注意取值范围不包含6和10两个端点，避免填错。
【难度系数】
0.9
7. 如图，$AB// CD$，$BE⊥ AC$于点E. 若$∠ C=132°$，则$∠ ABE$的度数为
$42°$
.答案
7.$42°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据AB平行于CD的条件，利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，求出∠A的度数；第二步，由BE垂直AC可得△ABE是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，结合已经求出的∠A的度数，即可算出∠ABE的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，
∴ ∠A + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠C = 132°，
∴ ∠A = 180° - 132° = 48°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AEB = 90°（垂直的定义），
在Rt△ABE中，∠A + ∠ABE = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠ABE = 90° - 48° = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的核心是先借助平行线的性质推导得到∠A的度数，再结合直角的性质完成角度运算，掌握平行线和垂直的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据AB平行于CD的条件，利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，求出∠A的度数；第二步，由BE垂直AC可得△ABE是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，结合已经求出的∠A的度数，即可算出∠ABE的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，
∴ ∠A + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠C = 132°，
∴ ∠A = 180° - 132° = 48°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AEB = 90°（垂直的定义），
在Rt△ABE中，∠A + ∠ABE = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠ABE = 90° - 48° = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的核心是先借助平行线的性质推导得到∠A的度数，再结合直角的性质完成角度运算，掌握平行线和垂直的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 如图，AD、CE为等边$△ ABC$的两条高，且AD与CE相交于点P，则图中的直角三角形共有
6
个.答案
8.6
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确直角三角形的判定标准：有一个角是直角的三角形为直角三角形。首先结合等边三角形高的性质，得到图中的4个直角：AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，CE⊥AB可得∠CEA=∠CEB=90°。接下来按照一定顺序逐个找出包含这些直角的三角形，注意不要重复计数，也不要漏掉两条高交点P形成的小直角三角形。
【解析】
已知AD、CE是等边△ABC的高，因此：
1. AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°，包含这两个直角的三角形有：△ABD、△ACD、△CDP；
2. CE⊥AB，即∠CEA=∠CEB=90°，包含这两个直角的三角形有：△ACE、△BCE、△AEP。
对上述三角形去重后计数，总共有6个直角三角形。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形的判定；等边三角形的性质；几何计数
【点评】
本题属于基础几何计数类题目，解题的核心是先确定所有直角的位置，再按固定顺序计数，能有效避免漏数和重复计数的问题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确直角三角形的判定标准：有一个角是直角的三角形为直角三角形。首先结合等边三角形高的性质，得到图中的4个直角：AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，CE⊥AB可得∠CEA=∠CEB=90°。接下来按照一定顺序逐个找出包含这些直角的三角形，注意不要重复计数，也不要漏掉两条高交点P形成的小直角三角形。
【解析】
已知AD、CE是等边△ABC的高，因此：
1. AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°，包含这两个直角的三角形有：△ABD、△ACD、△CDP；
2. CE⊥AB，即∠CEA=∠CEB=90°，包含这两个直角的三角形有：△ACE、△BCE、△AEP。
对上述三角形去重后计数，总共有6个直角三角形。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形的判定；等边三角形的性质；几何计数
【点评】
本题属于基础几何计数类题目，解题的核心是先确定所有直角的位置，再按固定顺序计数，能有效避免漏数和重复计数的问题。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线$BO$、$CO$交于点$O$，若$∠ O=m°$，则$∠ A$的度数是
$2m-180$
$°$(用含$m$的代数式表示).答案
9.$(2m-180)$
解析
【分析】
解题时可先利用三角形内角和定理，在△OBC中求出∠OBC与∠OCB的和；再结合角平分线的定义，推导得到∠ABC与∠ACB的和；最后在△ABC中再次利用三角形内角和定理，就能用含m的代数式表示出∠A的度数。
【解析】
解：在△OBC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ OBC + ∠ OCB = 180° - ∠ O = 180° - m°$
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴$∠ ABC = 2∠ OBC$，$∠ ACB = 2∠ OCB$
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ OBC + ∠ OCB) = 2×(180° - m°) = 360° - 2m°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - (360° - 2m°) = 2m° - 180°$
【答案】
$(2m-180)$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线性质的基础综合题，解题核心是利用角平分线的倍分关系关联两个三角形的内角，属于三角形章节的常考基础题型，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时可先利用三角形内角和定理，在△OBC中求出∠OBC与∠OCB的和；再结合角平分线的定义，推导得到∠ABC与∠ACB的和；最后在△ABC中再次利用三角形内角和定理，就能用含m的代数式表示出∠A的度数。
【解析】
解：在△OBC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ OBC + ∠ OCB = 180° - ∠ O = 180° - m°$
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴$∠ ABC = 2∠ OBC$，$∠ ACB = 2∠ OCB$
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ OBC + ∠ OCB) = 2×(180° - m°) = 360° - 2m°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - (360° - 2m°) = 2m° - 180°$
【答案】
$(2m-180)$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线性质的基础综合题，解题核心是利用角平分线的倍分关系关联两个三角形的内角，属于三角形章节的常考基础题型，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在同一平面内，线段$AM ⊥$射线$MN$，垂足为点$M$，线段$BC ⊥$射线$MN$，垂足为点$C$. 若点$P$是射线$MN$上一点，连结$PA$、$PB$，记$∠ PBC = α$，$∠ PAM = β$，且$0° ＜ ∠ APB ＜ 180°$，则$∠ APB =$
$180°+α-β$或$180°-α+β$或$180°-α-β$
（用含$α$、$β$的代数式表示$∠ APB$）.答案
10.$180°+α-β$或$180°-α+β$或$180°-α-β$
解析
【分析】
首先由$AM⊥MN$、$BC⊥MN$可得$AM// BC$，由于点$P$是射线$MN$上的动点，位置不固定，因此需分三种情况讨论：①点$P$在点$C$的上方（靠近$N$一侧）；②点$P$在线段$MC$之间；③点$P$在点$M$的下方。每种情况结合平行线的性质进行角的转化，再通过角的和差关系即可表示出$∠ APB$。
【解析】
$\because AM⊥ MN$，$BC⊥ MN$，
$\therefore ∠ AMN=∠ BCN=90°$，
$\therefore AM// BC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
分三种情况讨论：
1. 当点$P$在点$C$的上方（靠近$N$一侧）时：
过点$P$作$PE// AM$，
$\because AM// BC$，$\therefore PE// BC$，
由平行线的性质可得$∠ PAM + ∠ APE = 180°$，$∠ PBC + ∠ BPE = 180°$，
$\therefore ∠ APE=180°-β$，$∠ BPE=180°-α$，
$\therefore ∠ APB=∠ APE + ∠ BPE - 180° = (180°-β)+(180°-α)-180°=180°-α-β$。
2. 当点$P$在线段$MC$之间时：
过点$P$作$PE// AM$，同理得$PE// BC$，
由平行线性质得$∠ PAM=∠ APE=β$，$∠ PBC + ∠ BPE=180°$，
$\therefore ∠ BPE=180°-α$，
$\therefore ∠ APB=∠ APE + ∠ BPE=β + 180°-α=180°-α+β$。
3. 当点$P$在点$M$的下方时：
过点$P$作$PE// AM$，同理得$PE// BC$，
由平行线性质得$∠ PBC=∠ BPE=α$，$∠ PAM + ∠ APE=180°$，
$\therefore ∠ APE=180°-β$，
$\therefore ∠ APB=∠ BPE + ∠ APE=α + 180°-β=180°+α-β$。
综上，$∠ APB$的度数为$180°+α-β$或$180°-α+β$或$180°-α-β$。
【答案】
$180°+α-β$或$180°-α+β$或$180°-α-β$
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，角的和差计算
【点评】
本题是动点背景下的角度计算问题，解题的关键是根据动点的位置进行分类讨论，结合平行线的性质实现角度的转化，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.55
首先由$AM⊥MN$、$BC⊥MN$可得$AM// BC$，由于点$P$是射线$MN$上的动点，位置不固定，因此需分三种情况讨论：①点$P$在点$C$的上方（靠近$N$一侧）；②点$P$在线段$MC$之间；③点$P$在点$M$的下方。每种情况结合平行线的性质进行角的转化，再通过角的和差关系即可表示出$∠ APB$。
【解析】
$\because AM⊥ MN$，$BC⊥ MN$，
$\therefore ∠ AMN=∠ BCN=90°$，
$\therefore AM// BC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
分三种情况讨论：
1. 当点$P$在点$C$的上方（靠近$N$一侧）时：
过点$P$作$PE// AM$，
$\because AM// BC$，$\therefore PE// BC$，
由平行线的性质可得$∠ PAM + ∠ APE = 180°$，$∠ PBC + ∠ BPE = 180°$，
$\therefore ∠ APE=180°-β$，$∠ BPE=180°-α$，
$\therefore ∠ APB=∠ APE + ∠ BPE - 180° = (180°-β)+(180°-α)-180°=180°-α-β$。
2. 当点$P$在线段$MC$之间时：
过点$P$作$PE// AM$，同理得$PE// BC$，
由平行线性质得$∠ PAM=∠ APE=β$，$∠ PBC + ∠ BPE=180°$，
$\therefore ∠ BPE=180°-α$，
$\therefore ∠ APB=∠ APE + ∠ BPE=β + 180°-α=180°-α+β$。
3. 当点$P$在点$M$的下方时：
过点$P$作$PE// AM$，同理得$PE// BC$，
由平行线性质得$∠ PBC=∠ BPE=α$，$∠ PAM + ∠ APE=180°$，
$\therefore ∠ APE=180°-β$，
$\therefore ∠ APB=∠ BPE + ∠ APE=α + 180°-β=180°+α-β$。
综上，$∠ APB$的度数为$180°+α-β$或$180°-α+β$或$180°-α-β$。
【答案】
$180°+α-β$或$180°-α+β$或$180°-α-β$
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，角的和差计算
【点评】
本题是动点背景下的角度计算问题，解题的关键是根据动点的位置进行分类讨论，结合平行线的性质实现角度的转化，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.55
