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7. 如图，已知∠B=∠BCD，∠BAC=90°，∠B+∠D=180°，∠ACB:∠ACD=1:2，则∠BAD的度数为
$112.5^{\circ}$
。答案
7. $112.5^{\circ}$
解析
解：设$∠ ACB = x$，则$∠ ACD = 2x$。
因为$∠ B = ∠ BCD$，$∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = x + 2x = 3x$，所以$∠ B = 3x$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，所以$∠ B + ∠ ACB = 90^{\circ}$，即$3x + x = 90^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$。
所以$∠ B = 3x = 67.5^{\circ}$，$∠ ACD = 2x = 45^{\circ}$。
因为$∠ B + ∠ D = 180^{\circ}$，所以$∠ D = 180^{\circ} - ∠ B = 112.5^{\circ}$。
在$△ ACD$中，$∠ CAD = 180^{\circ} - ∠ D - ∠ ACD = 180^{\circ} - 112.5^{\circ} - 45^{\circ} = 22.5^{\circ}$。
所以$∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 90^{\circ} + 22.5^{\circ} = 112.5^{\circ}$。
$112.5^{\circ}$
因为$∠ B = ∠ BCD$，$∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = x + 2x = 3x$，所以$∠ B = 3x$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，所以$∠ B + ∠ ACB = 90^{\circ}$，即$3x + x = 90^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$。
所以$∠ B = 3x = 67.5^{\circ}$，$∠ ACD = 2x = 45^{\circ}$。
因为$∠ B + ∠ D = 180^{\circ}$，所以$∠ D = 180^{\circ} - ∠ B = 112.5^{\circ}$。
在$△ ACD$中，$∠ CAD = 180^{\circ} - ∠ D - ∠ ACD = 180^{\circ} - 112.5^{\circ} - 45^{\circ} = 22.5^{\circ}$。
所以$∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 90^{\circ} + 22.5^{\circ} = 112.5^{\circ}$。
$112.5^{\circ}$
8. 如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与MD交于点N，当∠EOF=90°，∠ODC=30°时，人躺着最舒服，求此时∠AOE和∠ANM的度数。请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由。
解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面，
所以AB//CD。
因为∠ODC=30°(已知)，
所以∠BOD=∠ODC=30°(
因为∠AOE+∠EOF+
∠EOF=90°(已知)，
所以∠AOE=
因为DM//OE(已知)，
所以∠AND=∠AOE=
所以∠ANM=180°−∠AND=
解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面，
所以AB//CD。
因为∠ODC=30°(已知)，
所以∠BOD=∠ODC=30°(
两直线平行，内错角相等
)。因为∠AOE+∠EOF+
∠BOD
=180°(平角的定义)，∠EOF=90°(已知)，
所以∠AOE=
60
°(等式的基本性质)。因为DM//OE(已知)，
所以∠AND=∠AOE=
60
°(两直线平行，同位角相等
)。所以∠ANM=180°−∠AND=
120
°(平角的定义)。答案
8. 两直线平行，内错角相等 $∠BOD$ 60 60 两直线平行，同位角相等 120
解析
解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面，
所以AB//CD。
因为∠ODC=30°(已知)，
所以∠BOD=∠ODC=30°(两直线平行，内错角相等)。
因为∠AOE+∠EOF+∠BOD=180°(平角的定义)，
∠EOF=90°(已知)，
所以∠AOE=60°(等式的基本性质)。
因为DM//OE(已知)，
所以∠AND=∠AOE=60°(两直线平行，同位角相等)。
所以∠ANM=180°−∠AND=120°(平角的定义)。
所以AB//CD。
因为∠ODC=30°(已知)，
所以∠BOD=∠ODC=30°(两直线平行，内错角相等)。
因为∠AOE+∠EOF+∠BOD=180°(平角的定义)，
∠EOF=90°(已知)，
所以∠AOE=60°(等式的基本性质)。
因为DM//OE(已知)，
所以∠AND=∠AOE=60°(两直线平行，同位角相等)。
所以∠ANM=180°−∠AND=120°(平角的定义)。
9. 如图，在五边形ABCDE中，∠CDE=80°，为了保证AE//BC，则∠BCD+∠AED应等于(
A.100°
B.260°
C.280°
D.275°
C
)。A.100°
B.260°
C.280°
D.275°
答案
9. C
解析
解：连接CE。
在△CDE中，∠CDE=80°，
∴∠DCE+∠DEC=180°-80°=100°。
∵AE//BC，
∴∠BCE+∠AEC=180°。
∠BCD+∠AED=(∠BCE+∠DCE)+(∠AEC+∠DEC)
=∠BCE+∠AEC+∠DCE+∠DEC
=180°+100°=280°。
答案：C
在△CDE中，∠CDE=80°，
∴∠DCE+∠DEC=180°-80°=100°。
∵AE//BC，
∴∠BCE+∠AEC=180°。
∠BCD+∠AED=(∠BCE+∠DCE)+(∠AEC+∠DEC)
=∠BCE+∠AEC+∠DCE+∠DEC
=180°+100°=280°。
答案：C
10. 如图，交通标志表示的“箭头”图形中，AB//CD//EF//GH，FI//BE，GD//HI，∠B=∠D=45°，则图中∠I的度数是(
A.90°
B.85°
C.80°
D.75°
A
)。A.90°
B.85°
C.80°
D.75°
答案
10. A
解析
过点I作IJ//FI，交BE于点J。
∵AB//CD//EF//GH，∠B=∠D=45°，
∴∠BEF=∠B=45°，∠DGH=∠D=45°。
∵FI//BE，GD//HI，
∴∠IFIJ=∠BEF=45°，∠HIJ=∠DGH=45°。
∴∠I=∠IFIJ+∠HIJ=45°+45°=90°。
A
∵AB//CD//EF//GH，∠B=∠D=45°，
∴∠BEF=∠B=45°，∠DGH=∠D=45°。
∵FI//BE，GD//HI，
∴∠IFIJ=∠BEF=45°，∠HIJ=∠DGH=45°。
∴∠I=∠IFIJ+∠HIJ=45°+45°=90°。
A
11. 一副直角三角板，∠BAC=∠EDF=90°，∠F=45°，∠B=60°，按图中所示位置摆放，点D在边AB上。若EF//BC，则∠ADF的度数为
$15^{\circ}$
。答案
11. $15^{\circ}$
解析
解：在直角三角板$ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，则$∠ C=180^{\circ}-∠ BAC-∠ B=30^{\circ}$。
因为$EF// BC$，所以$∠ E=∠ C=30^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
在直角三角板$EDF$中，$∠ EDF = 90^{\circ}$，$∠ F = 45^{\circ}$，则$∠ E=180^{\circ}-∠ EDF-∠ F=45^{\circ}$，与前面推出的$∠ E = 30^{\circ}$矛盾，说明此处应为$∠ E = 45^{\circ}$，$∠ F = 45^{\circ}$（等腰直角三角板），则$∠ E = 45^{\circ}$。
因为$EF// BC$，所以$∠ ADE=∠ E=45^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
在直角三角板$ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，则$∠ ADB = 180^{\circ}-∠ B - ∠ BAC=30^{\circ}$（此处应为$∠ ADB$在$△ ABD$中，$∠ ADB=180^{\circ}-∠ B - ∠ BAD$，但$∠ BAD = 90^{\circ}$，所以$∠ ADB=30^{\circ}$）。
因为$∠ EDF = 90^{\circ}$，即$∠ ADE+∠ ADF+∠ FDB = 90^{\circ}$，而$∠ ADB = ∠ FDB = 30^{\circ}$，$∠ ADE = 45^{\circ}$，所以$∠ ADF=90^{\circ}-∠ ADE-∠ FDB=90^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$。
$15^{\circ}$
因为$EF// BC$，所以$∠ E=∠ C=30^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
在直角三角板$EDF$中，$∠ EDF = 90^{\circ}$，$∠ F = 45^{\circ}$，则$∠ E=180^{\circ}-∠ EDF-∠ F=45^{\circ}$，与前面推出的$∠ E = 30^{\circ}$矛盾，说明此处应为$∠ E = 45^{\circ}$，$∠ F = 45^{\circ}$（等腰直角三角板），则$∠ E = 45^{\circ}$。
因为$EF// BC$，所以$∠ ADE=∠ E=45^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
在直角三角板$ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$∠ B = 60^{\circ}$，则$∠ ADB = 180^{\circ}-∠ B - ∠ BAC=30^{\circ}$（此处应为$∠ ADB$在$△ ABD$中，$∠ ADB=180^{\circ}-∠ B - ∠ BAD$，但$∠ BAD = 90^{\circ}$，所以$∠ ADB=30^{\circ}$）。
因为$∠ EDF = 90^{\circ}$，即$∠ ADE+∠ ADF+∠ FDB = 90^{\circ}$，而$∠ ADB = ∠ FDB = 30^{\circ}$，$∠ ADE = 45^{\circ}$，所以$∠ ADF=90^{\circ}-∠ ADE-∠ FDB=90^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$。
$15^{\circ}$
12. 如图，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC。
（1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+24°，求∠C的度数。
（1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+24°，求∠C的度数。
答案
12. 解：(1) $AB // CD$。理由如下：
因为 $∠AGE$ 与 $∠DGC$ 是对顶角，
所以 $∠AGE = ∠DGC$。
又因为 $∠A = ∠AGE$，$∠D = ∠DGC$，
所以 $∠A = ∠D$。
所以 $AB // CD$。
(2) 因为 $∠1$ 与 $∠AHB$ 是对顶角，
所以 $∠1 = ∠AHB$。
又因为 $∠2 + ∠1 = 180^{\circ}$，
所以 $∠2 + ∠AHB = 180^{\circ}$。
所以 $CE // FB$。
所以 $∠BEC + ∠B = 180^{\circ}$。
又因为 $∠BEC = 2∠B + 24^{\circ}$，
所以 $2∠B + 24^{\circ} + ∠B = 180^{\circ}$。
所以 $∠B = 52^{\circ}$。
所以 $∠BEC = 128^{\circ}$。
又因为 $AB // CD$，
所以 $∠BEC + ∠C = 180^{\circ}$。
所以 $∠C = 52^{\circ}$。
因为 $∠AGE$ 与 $∠DGC$ 是对顶角，
所以 $∠AGE = ∠DGC$。
又因为 $∠A = ∠AGE$，$∠D = ∠DGC$，
所以 $∠A = ∠D$。
所以 $AB // CD$。
(2) 因为 $∠1$ 与 $∠AHB$ 是对顶角，
所以 $∠1 = ∠AHB$。
又因为 $∠2 + ∠1 = 180^{\circ}$，
所以 $∠2 + ∠AHB = 180^{\circ}$。
所以 $CE // FB$。
所以 $∠BEC + ∠B = 180^{\circ}$。
又因为 $∠BEC = 2∠B + 24^{\circ}$，
所以 $2∠B + 24^{\circ} + ∠B = 180^{\circ}$。
所以 $∠B = 52^{\circ}$。
所以 $∠BEC = 128^{\circ}$。
又因为 $AB // CD$，
所以 $∠BEC + ∠C = 180^{\circ}$。
所以 $∠C = 52^{\circ}$。
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要判断AB和CD的位置关系，我们可以从已知条件出发，首先观察到∠AGE和∠DGC是对顶角，根据对顶角相等得到二者相等，结合题目给出的∠A=∠AGE、∠D=∠DGC，通过等量代换就能得到内错角∠A=∠D，即可推出AB和CD平行。第二问计算∠C的度数，已知∠2+∠1=180°，先利用对顶角相等把∠1替换为∠AHB，得到同旁内角互补，推出CE平行FB，再根据平行线的性质得到∠BEC和∠B互补，代入题目给出的∠BEC和∠B的数量关系，解出∠B的度数，最后结合第一问得到的AB//CD，再次利用平行线同旁内角互补的性质，就能算出∠C的度数。
【解析】
(1) $AB// CD$，理由如下：
∵ ∠AGE与∠DGC是对顶角，
∴ $∠AGE = ∠DGC$，
又
∵ $∠A = ∠AGE$，$∠D = ∠DGC$，
∴ 等量代换得 $∠A = ∠D$，
根据内错角相等，两直线平行，可得 $AB// CD$。
(2) 求解过程如下：
∵ ∠1与∠AHB是对顶角，
∴ $∠1 = ∠AHB$，
又
∵ $∠2 + ∠1 = 180°$，
∴ 等量代换得 $∠2 + ∠AHB = 180°$，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得 $CE// FB$，
∴ 两直线平行，同旁内角互补，即 $∠BEC + ∠B = 180°$，
将 $∠BEC = 2∠B + 24°$ 代入上式：
$2∠B + 24° + ∠B = 180°$，
整理得 $3∠B = 156°$，解得 $∠B = 52°$，
∴ $∠BEC = 2×52° +24° = 128°$，
又
∵ 已证 $AB// CD$，
∴ 两直线平行，同旁内角互补，即 $∠BEC + ∠C = 180°$，
∴ $∠C = 180° - 128° = 52°$。
【答案】
(1) $AB// CD$，理由如上；(2) $∠ C=52°$
【知识点】
对顶角相等；平行线判定；平行线性质
【点评】
本题是平行线模块的基础综合题，解题逻辑清晰，先通过对顶角性质完成角度等量代换推导平行关系，再利用平行线的性质建立角度数量关系求解，需要注意区分平行线判定和性质的使用场景：由角的关系推导平行用判定，由平行推导角的关系用性质。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问要判断AB和CD的位置关系，我们可以从已知条件出发，首先观察到∠AGE和∠DGC是对顶角，根据对顶角相等得到二者相等，结合题目给出的∠A=∠AGE、∠D=∠DGC，通过等量代换就能得到内错角∠A=∠D，即可推出AB和CD平行。第二问计算∠C的度数，已知∠2+∠1=180°，先利用对顶角相等把∠1替换为∠AHB，得到同旁内角互补，推出CE平行FB，再根据平行线的性质得到∠BEC和∠B互补，代入题目给出的∠BEC和∠B的数量关系，解出∠B的度数，最后结合第一问得到的AB//CD，再次利用平行线同旁内角互补的性质，就能算出∠C的度数。
【解析】
(1) $AB// CD$，理由如下：
∵ ∠AGE与∠DGC是对顶角，
∴ $∠AGE = ∠DGC$，
又
∵ $∠A = ∠AGE$，$∠D = ∠DGC$，
∴ 等量代换得 $∠A = ∠D$，
根据内错角相等，两直线平行，可得 $AB// CD$。
(2) 求解过程如下：
∵ ∠1与∠AHB是对顶角，
∴ $∠1 = ∠AHB$，
又
∵ $∠2 + ∠1 = 180°$，
∴ 等量代换得 $∠2 + ∠AHB = 180°$，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得 $CE// FB$，
∴ 两直线平行，同旁内角互补，即 $∠BEC + ∠B = 180°$，
将 $∠BEC = 2∠B + 24°$ 代入上式：
$2∠B + 24° + ∠B = 180°$，
整理得 $3∠B = 156°$，解得 $∠B = 52°$，
∴ $∠BEC = 2×52° +24° = 128°$，
又
∵ 已证 $AB// CD$，
∴ 两直线平行，同旁内角互补，即 $∠BEC + ∠C = 180°$，
∴ $∠C = 180° - 128° = 52°$。
【答案】
(1) $AB// CD$，理由如上；(2) $∠ C=52°$
【知识点】
对顶角相等；平行线判定；平行线性质
【点评】
本题是平行线模块的基础综合题，解题逻辑清晰，先通过对顶角性质完成角度等量代换推导平行关系，再利用平行线的性质建立角度数量关系求解，需要注意区分平行线判定和性质的使用场景：由角的关系推导平行用判定，由平行推导角的关系用性质。
【难度系数】
0.6
