13. 如图，AB//CD，点P和点Q分别位于AB和CD上。过点P作线段PM，过点Q作线段QN，∠1=∠2。



（1）如图1，试说明：PM//QN；
（2）如图2，连接PQ，∠MPQ的平分线PE与∠DQP的平分线QE交于点E，若∠1=30°，求∠PEQ的度数；
（3）在（2）的条件下，若M是平面内直线PQ右侧一动点，请直接写出∠PEQ与∠1的数量关系。

13. 解：(1) 如图，延长 $PM$ 交 $CD$ 于点 $G$。

因为 $AB // CD$，
所以 $∠1 = ∠PGQ$（两直线平行，内错角相等）。
因为 $∠1 = ∠2$，
所以 $∠2 = ∠PGQ$（等量代换）。
所以 $PM // QN$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 因为 $AB // CD$，
所以 $∠1 + ∠QPM + ∠PQD = 180^{\circ}$。
因为 $∠MPQ$ 的平分线 $PE$ 与 $∠DQP$ 的平分线 $QE$ 交于点 $E$，
所以 $∠QPM = 2∠QPE$，$∠PQD = 2∠PQE$。
所以 $∠1 + 2∠QPE + 2∠PQE = 180^{\circ}$。
因为 $∠1 = 30^{\circ}$，
所以 $∠QPE + ∠PQE = \frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$。
所以 $∠PEQ = 180^{\circ} - ∠QPE - ∠PQE = 105^{\circ}$。
(3) $∠PEQ = 90^{\circ} + \frac{1}{2}∠1$。

【分析】
本题是平行线相关的综合几何题，解题思路分步梳理：
1. 第（1）问要证明PM//QN，已知AB//CD和∠1=∠2，我们可以通过延长PM交CD于点G构造内错角，先利用AB//CD的性质得到∠1和∠PGQ相等，再通过等量代换得到∠2=∠PGQ，就可以用内错角相等的判定定理证明PM平行QN。
2. 第（2）问求∠PEQ的度数，首先利用AB//CD，得到同旁内角∠BPQ + ∠PQD = 180°，而∠BPQ恰好是∠1 + ∠MPQ，代入后得到∠1 + ∠MPQ + ∠PQD = 180°，再结合角平分线的定义，把∠MPQ替换为2∠QPE，∠PQD替换为2∠PQE，代入已知∠1=30°，算出∠QPE+∠PQE的和，最后用三角形内角和为180°即可求出∠PEQ的度数。
3. 第（3）问推导一般数量关系，只需要把第（2）问里的∠1=30°替换为变量∠1，整体代换推导即可得到通用的角度关系。
【解析】
（1）延长PM交CD于点G，
∵ AB // CD，
∴ ∠1 = ∠PGQ（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠2 = ∠PGQ（等量代换），
∴ PM // QN（内错角相等，两直线平行）。
（2）
∵ AB // CD，
∴ ∠BPQ + ∠PQD = 180°，即∠1 + ∠MPQ + ∠PQD = 180°，
∵ PE平分∠MPQ，QE平分∠DQP，
∴ ∠MPQ = 2∠QPE，∠PQD = 2∠PQE，
代入得：∠1 + 2∠QPE + 2∠PQE = 180°，
∵ ∠1 = 30°，
∴ 2(∠QPE + ∠PQE) = 180° - 30° = 150°，
∴ ∠QPE + ∠PQE = 75°，
在△PEQ中，∠PEQ = 180° - (∠QPE + ∠PQE) = 180° - 75° = 105°。
（3）将∠1作为变量代入第（2）步的推导：
∠1 + 2∠QPE + 2∠PQE = 180°，
则∠QPE + ∠PQE = (180° - ∠1)/2，
∴ ∠PEQ = 180° - (180° - ∠1)/2 = 90° + 1/2∠1。
【答案】

(1) 证明过程如上，PM//QN成立；(2) ∠PEQ的度数为105°；(3) ∠PEQ = 90° + 1/2∠1
【知识点】
平行线判定与性质，角平分线定义，三角形内角和
【点评】
本题是平行线章节的经典综合题，设置了递进式的三个小问，从基础平行证明到角度定量计算，再到一般规律推导，既考察了平行线性质与判定的核心知识点，也渗透了整体代换、从特殊到一般的数学思想，辅助线构造的思路也能锻炼学生的几何转化能力，整体难度适中，是巩固平行线相关知识的典型题型。
【难度系数】
0.6