三、解答题(共65分)
8. (16分)(2024·盐城模拟)如图,在四边形ABCD中,$AB// CD$,$∠ 1=∠ 2$,$AD=EC$.
(1)求证:$△ ABD≌ △ EDC$;
(2)若$AB=2$,$BE=3$,求$CD$的长.

8.(1)证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ ABD=∠ EDC$.
在$△ ABD$和$△ EDC$中,$\begin{cases} ∠ ABD=∠ EDC,\\ ∠ 1=∠ 2,\\ AD=EC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EDC(\mathrm{AAS})$.
(2)解:$\because △ ABD≌△ EDC$,
$\therefore AB=DE=2,BD=CD$,
$\therefore CD=BD=DE+BE=2+3=5$.

9.(16分)如图,两根长12 m的绳子,一端系在旗杆上的同一位置,另一端分别固定在地面上的两个木桩上(点B,D,C在同一条直线上,绳结处的误差忽略不计),现在只有一把卷尺,如何来检验旗杆是否垂直于地面?请说明理由.

9.解:用卷尺测量出$BD,CD$的长度,看它们是否相等,若$BD=CD$,则$AD⊥ BC$.
理由:在$△ ABD$和$△ ACD$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ BD=CD,\\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADB=∠ ADC$.
又$∠ ADB+∠ ADC=180°,\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$,即$AD⊥ BC$.

10.(16分)如图,有两个长度相等的滑梯 BC 和 EF,左边滑梯 BC 的高 AC 与右边滑梯 EF 水平方向的长度 DF 相等,两滑梯的倾斜角$∠ ABC$和$∠ DFE$有什么关系?请说明理由.

10.解:$∠ ABC$和$∠ DFE$互余.理由如下:
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$\begin{cases} BC=EF,\\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ ABC=∠ DEF$.
又$∠ DEF+∠ DFE=90°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ DFE=90°$.
即两滑梯的倾斜角$∠ ABC$和$∠ DFE$互余.

11.(17分)如图,点 D,E 分别在 AB,AC 上,$∠ ADC=∠ AEB=90°$,BE,CD 相交于点 O,$OB=OC$.求证:$∠ 1=∠ 2$.

11.证明:$\because ∠ ADC=∠ AEB=90°,\therefore ∠ BDC=∠ CEB=90°$.
在$△ DOB$和$△ EOC$中,$\begin{cases} ∠ BDO=∠ CEO,\\ ∠ DOB=∠ EOC,\\ OB=OC, \end{cases}$
$\therefore △ DOB≌△ EOC(\mathrm{AAS}),\therefore OD=OE$.
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$\begin{cases} OA=OA,\\ DO=EO, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}),\therefore ∠ 1=∠ 2$.