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1.“$x＞4$”是“$x＞2$”的（
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件
D.充分不必要条件
D
）A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件
D.充分不必要条件
答案
1.D 当$x＞4$时，必有$x＞2$；当$x＞2$时，不一定有$x＞4$。
故“$x＞4$”是“$x＞2$”的充分不必要条件。
故“$x＞4$”是“$x＞2$”的充分不必要条件。
2.(天津卷)已知$a,b\in\mathbf{R}$，“$a^2=b^2$”是“$a^2 + b^2=2ab$”的（
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
）A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
2.B 由$a^2=b^2$，得$a=\pm b$。当$a=-b≠0$时，$a^2+b^2=2ab$不成立，故“$a^2=b^2$”不是“$a^2+b^2=2ab$”的充分条件。
由$a^2+b^2=2ab$，得$(a-b)^2=0$，即$a=b$。当$a=b$时，显然$a^2=b^2$成立，故“$a^2=b^2$”是“$a^2+b^2=2ab$”的必要条件。
故“$a^2=b^2$”是“$a^2+b^2=2ab$”的必要不充分条件。
由$a^2+b^2=2ab$，得$(a-b)^2=0$，即$a=b$。当$a=b$时，显然$a^2=b^2$成立，故“$a^2=b^2$”是“$a^2+b^2=2ab$”的必要条件。
故“$a^2=b^2$”是“$a^2+b^2=2ab$”的必要不充分条件。
3.(多选)下列命题为真命题的是 (
A.“$x＞4$”是“$x＜5$”的既不充分也不必要条件
B.“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要不充分条件
C.“一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根”的充要条件是“$\Delta =b^2-4ac≥0$”
D.若集合 $A⊆B$,则“$x∈A$”是“$x∈B$”的充分不必要条件
ABC
)A.“$x＞4$”是“$x＜5$”的既不充分也不必要条件
B.“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要不充分条件
C.“一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根”的充要条件是“$\Delta =b^2-4ac≥0$”
D.若集合 $A⊆B$,则“$x∈A$”是“$x∈B$”的充分不必要条件
答案
3.ABC $x＞4Rightarrow x＜5$，且$x＜5Rightarrow x＞4$，所以“$x＞4$”是“$x＜5$”的既不充分也不必要条件，故A正确。
因为两个三角形相似$Rightarrow$两个三角形全等，但两个三角形全等$⇒$两个三角形相似，所以“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要不充分条件，故B正确。
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根，则$\Delta=b^2-4ac≥0$，反之亦然，故C正确。
当集合$A=B$时，应为充要条件，故D错误。
因为两个三角形相似$Rightarrow$两个三角形全等，但两个三角形全等$⇒$两个三角形相似，所以“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要不充分条件，故B正确。
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根，则$\Delta=b^2-4ac≥0$，反之亦然，故C正确。
当集合$A=B$时，应为充要条件，故D错误。
4.若命题$p:x＜1$是命题$q:x＜2m-1,m∈R$的充要条件，则$m$的值是
1
.答案
4.1 因为$p$是$q$的充要条件，所以$2m-1=1$，解得$m=1$。
5.设$x\in\mathbf{R}$,则“$|x|＜3$”的一个充分不必要条件是
0＜x＜3（答案不唯一）
.(写出一个满足条件的答案即可)答案
5.0＜x＜3(答案不唯一) 由$|x|＜3$，得$-3＜x＜3$，
问题转化为求$\{x∣ -3＜x＜3\}$的真子集，
则“$0＜x＜3$”是“$|x|＜3$”的一个充分不必要条件。
问题转化为求$\{x∣ -3＜x＜3\}$的真子集，
则“$0＜x＜3$”是“$|x|＜3$”的一个充分不必要条件。
6.(教材改编题)求证：“关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个根为2”的充要条件是“$4a + 2b + c = 0$”.
答案
证明：充分性：若$4a+2b+c=0$，则$a·2^2+b·2+c=0$，
即$x=2$满足方程$ax^2+bx+c=0$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为2。
必要性：若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为2，则$x=2$满足方程，代入，得$4a+2b+c=0$。
综上，“关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为2”的充要条件是“$4a+2b+c=0$”。
即$x=2$满足方程$ax^2+bx+c=0$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为2。
必要性：若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为2，则$x=2$满足方程，代入，得$4a+2b+c=0$。
综上，“关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为2”的充要条件是“$4a+2b+c=0$”。
7.(多选)“集合$A=\{(x,y)|x^2+2y^2 ＜ a, x\in\mathbf{N}, y\in\mathbf{N}\}$只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（
A.$1 ＜ a ＜ \dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{7}{4} ＜ a ≤ 2$
C.$1≤ a ＜ 3$
D.$\dfrac{3}{2} ＜ a ＜ \dfrac{7}{4}$
ABD
）A.$1 ＜ a ＜ \dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{7}{4} ＜ a ≤ 2$
C.$1≤ a ＜ 3$
D.$\dfrac{3}{2} ＜ a ＜ \dfrac{7}{4}$
答案
7.ABD 集合$A=\{(x,y)∣ x^2+2y^2＜a,x\in\mathbf{N},y\in\mathbf{N}\}$只有3个真子集，即集合A中只有2个元素(集合A的真子集包含空集，所以去掉空集后还有2个真子集，所以集合A中只有2个元素)。
因为$x\in\mathbf{N},y\in\mathbf{N}$，
当$x=0,y=0$时，$x^2+2y^2=0$，
当$x=1,y=0$时，$x^2+2y^2=1$，
当$x=0,y=1$时，$x^2+2y^2=2$，
所以$A=\{(x,y)∣ x^2+2y^2＜a,x\in\mathbf{N},y\in\mathbf{N}\}=\{(0,0),(1,0)\}$，
则$a$的取值范围为$1＜a≤2$，
所以A，B，D正确，C不正确。
因为$x\in\mathbf{N},y\in\mathbf{N}$，
当$x=0,y=0$时，$x^2+2y^2=0$，
当$x=1,y=0$时，$x^2+2y^2=1$，
当$x=0,y=1$时，$x^2+2y^2=2$，
所以$A=\{(x,y)∣ x^2+2y^2＜a,x\in\mathbf{N},y\in\mathbf{N}\}=\{(0,0),(1,0)\}$，
则$a$的取值范围为$1＜a≤2$，
所以A，B，D正确，C不正确。
8.已知$p:x-2＞0,q:ax-4＞0$,其中$a\in\mathbb{R}$.
(1)若$p$是$q$的充分不必要条件,求实数$a$的取值范围;
(2)若$p$是$q$的必要不充分条件,求实数$a$的取值范围.
(提示:(1)由$p$是$q$的充分不必要条件,得$p$所对应的集合真包含于$q$所对应的集合,据此列出不等式组求解.(2)由$p$是$q$的必要不充分条件,得$q$所对应的集合真包含于$p$所对应的集合,同时由于$q$中含参数,故需注意讨论$q$所对应的集合为$∅$时是否符合题意)
答案 P08
(1)若$p$是$q$的充分不必要条件,求实数$a$的取值范围;
(2)若$p$是$q$的必要不充分条件,求实数$a$的取值范围.
(提示:(1)由$p$是$q$的充分不必要条件,得$p$所对应的集合真包含于$q$所对应的集合,据此列出不等式组求解.(2)由$p$是$q$的必要不充分条件,得$q$所对应的集合真包含于$p$所对应的集合,同时由于$q$中含参数,故需注意讨论$q$所对应的集合为$∅$时是否符合题意)
答案 P08
答案
解：由$x-2＞0$，得$x＞2$。设$p:x-2＞0$所对应的集合为$A=\{x∣ x＞2\}$，$q:ax-4＞0$所对应的集合为$B=\{x∣ ax-4＞0\}$。
(1)若$p$是$q$的充分不必要条件，则$A⊂neqq B$。
由题意，得$\begin{cases}a＞0,\\\frac{4}{a}＜2,\end{cases}$（若$a＜0$，则$B=\{x∣ x＜\frac{4}{a}\}$，不符合题意）解得$a＞2$，
故实数$a$的取值范围为$\{a∣ a＞2\}$。
(2)若$p$是$q$的必要不充分条件，则$B⊂neqq A$。分类讨论：
①当$a=0$时，$B=∅$，符合题意；
②当$a＞0$时，根据题意，得$\frac{4}{a}＞2$，解得$0＜a＜2$；
③当$a＜0$时，$B=\{x∣ x＜\frac{4}{a}\}$，不符合题意。
综上所述，实数$a$的取值范围为$\{a∣ 0≤ a＜2\}$。
(1)若$p$是$q$的充分不必要条件，则$A⊂neqq B$。
由题意，得$\begin{cases}a＞0,\\\frac{4}{a}＜2,\end{cases}$（若$a＜0$，则$B=\{x∣ x＜\frac{4}{a}\}$，不符合题意）解得$a＞2$，
故实数$a$的取值范围为$\{a∣ a＞2\}$。
(2)若$p$是$q$的必要不充分条件，则$B⊂neqq A$。分类讨论：
①当$a=0$时，$B=∅$，符合题意；
②当$a＞0$时，根据题意，得$\frac{4}{a}＞2$，解得$0＜a＜2$；
③当$a＜0$时，$B=\{x∣ x＜\frac{4}{a}\}$，不符合题意。
综上所述，实数$a$的取值范围为$\{a∣ 0≤ a＜2\}$。
