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1. (教材练习变式)下列实数中,是无理数的是 (
A.0
B.$-1.5$
C.$π$
D.$\dfrac{22}{7}$
C
)A.0
B.$-1.5$
C.$π$
D.$\dfrac{22}{7}$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断选项中的无理数，首先需明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型有含π的数、开方开不尽的数、无限不循环的小数。我们只需逐个分析每个选项的类别，即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 0是整数，整数属于有理数，故A不符合题意；
B. $-1.5$是有限小数，可化为$-\dfrac{3}{2}$，属于分数，是有理数，故B不符合题意；
C. $π$是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意；
D. $\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数（它只是$π$的近似值，本身是无限循环小数），故D不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义、有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对有理数和无理数概念的区分能力，熟记常见的无理数类型即可快速作答，是数的分类模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断选项中的无理数，首先需明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型有含π的数、开方开不尽的数、无限不循环的小数。我们只需逐个分析每个选项的类别，即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 0是整数，整数属于有理数，故A不符合题意；
B. $-1.5$是有限小数，可化为$-\dfrac{3}{2}$，属于分数，是有理数，故B不符合题意；
C. $π$是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意；
D. $\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数（它只是$π$的近似值，本身是无限循环小数），故D不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义、有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对有理数和无理数概念的区分能力，熟记常见的无理数类型即可快速作答，是数的分类模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 估计$3+\sqrt{10}$的值应在 （
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
C
）A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
答案
2. C 解析:$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$,即$3＜\sqrt{10}＜4$,$\therefore 6＜3+\sqrt{10}＜7$.
解析
【分析】
要估算含有无理数的式子的取值范围，核心是先确定式子中无理数部分$\sqrt{10}$的取值范围。根据算术平方根的性质，正数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大，因此我们可以先找到和10相邻的两个完全平方数，通过这两个完全平方数的算术平方根确定$\sqrt{10}$的范围，再给范围的两端同时加上3，就能得到$3+\sqrt{10}$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
首先找出与10相邻的两个正完全平方数：9和16，可得$9＜10＜16$。
根据算术平方根的性质，对不等式三边同时开平方，得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，化简后为$3＜\sqrt{10}＜4$。
再给不等式三边同时加3，得$3+3＜3+\sqrt{10}＜3+4$，计算得$6＜3+\sqrt{10}＜7$，因此$3+\sqrt{10}$的值在6和7之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的性质；不等式的基本性质
【点评】
本题是估算类基础题型，解题关键是先确定式子中无理数部分的取值范围，再通过简单的不等式运算得到整个式子的范围，熟记常见的完全平方数可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要估算含有无理数的式子的取值范围，核心是先确定式子中无理数部分$\sqrt{10}$的取值范围。根据算术平方根的性质，正数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大，因此我们可以先找到和10相邻的两个完全平方数，通过这两个完全平方数的算术平方根确定$\sqrt{10}$的范围，再给范围的两端同时加上3，就能得到$3+\sqrt{10}$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
首先找出与10相邻的两个正完全平方数：9和16，可得$9＜10＜16$。
根据算术平方根的性质，对不等式三边同时开平方，得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，化简后为$3＜\sqrt{10}＜4$。
再给不等式三边同时加3，得$3+3＜3+\sqrt{10}＜3+4$，计算得$6＜3+\sqrt{10}＜7$，因此$3+\sqrt{10}$的值在6和7之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的性质；不等式的基本性质
【点评】
本题是估算类基础题型，解题关键是先确定式子中无理数部分的取值范围，再通过简单的不等式运算得到整个式子的范围，熟记常见的完全平方数可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 如图,下列各数中,数轴上点 A 表示的可能是
(
A.4 的算术平方根
B.4 的立方根
C.8 的算术平方根
D.8 的立方根
(
C
)A.4 的算术平方根
B.4 的立方根
C.8 的算术平方根
D.8 的立方根
答案
3. C 解析:根据数轴可知点 A 的位置在 2 和3之间,且靠近 3,而$\sqrt{4}=2$,$\sqrt[3]{4}＜2$,$2＜\sqrt{8}＜3$,$\sqrt[3]{8}=2$,只有 8的算术平方根符合题意.
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定点A的取值范围，可知点A在2和3之间且靠近3；接下来分别计算或估算每个选项对应数值的大小，判断哪个数值符合该范围，即可得到正确答案。
【解析】
首先根据数轴可得，点A表示的数满足$2＜A＜3$，且A接近3。
逐一分析选项：
选项A：4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$，不符合$2＜A＜3$的范围；
选项B：4的立方根为$\sqrt[3]{4}$，因为$\sqrt[3]{8}=2$，所以$\sqrt[3]{4}＜\sqrt[3]{8}=2$，小于2，不符合范围；
选项C：8的算术平方根为$\sqrt{8}$，因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，所以$2＜\sqrt{8}＜3$，且$\sqrt{8}\approx2.828$，接近3，符合点A的范围；
选项D：8的立方根为$\sqrt[3]{8}=2$，不符合$2＜A＜3$的范围。
综上，只有8的算术平方根符合题意。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；算术平方根；立方根
【点评】
本题结合数轴考查了开方运算和无理数的大小估算，属于基础题型，熟练掌握算术平方根、立方根的计算方法以及无理数的估算技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴确定点A的取值范围，可知点A在2和3之间且靠近3；接下来分别计算或估算每个选项对应数值的大小，判断哪个数值符合该范围，即可得到正确答案。
【解析】
首先根据数轴可得，点A表示的数满足$2＜A＜3$，且A接近3。
逐一分析选项：
选项A：4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$，不符合$2＜A＜3$的范围；
选项B：4的立方根为$\sqrt[3]{4}$，因为$\sqrt[3]{8}=2$，所以$\sqrt[3]{4}＜\sqrt[3]{8}=2$，小于2，不符合范围；
选项C：8的算术平方根为$\sqrt{8}$，因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，所以$2＜\sqrt{8}＜3$，且$\sqrt{8}\approx2.828$，接近3，符合点A的范围；
选项D：8的立方根为$\sqrt[3]{8}=2$，不符合$2＜A＜3$的范围。
综上，只有8的算术平方根符合题意。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；算术平方根；立方根
【点评】
本题结合数轴考查了开方运算和无理数的大小估算，属于基础题型，熟练掌握算术平方根、立方根的计算方法以及无理数的估算技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 下列说法正确的是 （
A.带根号的数都是无理数
B.无限不循环小数是无理数
C.半径为3的圆周长是有理数
D.π是无理数，但$\frac{π}{3}$是分数，故$\frac{π}{3}$是有理数
B
）A.带根号的数都是无理数
B.无限不循环小数是无理数
C.半径为3的圆周长是有理数
D.π是无理数，但$\frac{π}{3}$是分数，故$\frac{π}{3}$是有理数
答案
4. B 解析:$\sqrt{4}=2$,它不是无理数,故 A 选项不符合题意;无限不循环小数是无理数,故 B 选项符合题意;半径为 3 的圆周长是 6π,它是无理数,故 C 选项不符合题意;$\frac{π}{3}$是无理数,故 D 选项不符合题意.
解析
【分析】
本题考查有理数与无理数的概念辨析，解题时首先要明确两类数的定义：有理数是整数和分数的统称，本质是可以表示为两个非零整数的比值；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。解题时逐一分析选项，结合定义和反例判断正误即可：①判断A选项时举开方开得尽的带根号数的反例即可排除；②B选项直接对应无理数的定义；③C选项先计算圆周长，结合π是无理数判断周长的类型；④D选项明确分数的定义要求分子分母均为整数，判断$\frac{π}{3}$的属性即可排除。
【解析】
结合有理数、无理数的定义逐一分析选项：
A选项：带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，因此A选项不符合题意；
B选项：根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，因此B选项符合题意；
C选项：半径为3的圆周长为$2πr=2×π×3=6π$，$π$是无理数，因此$6π$也是无理数，不是有理数，因此C选项不符合题意；
D选项：分数属于有理数，要求分子、分母均为整数，$π$是无理数，因此$\frac{π}{3}$是无理数，不是分数也不是有理数，因此D选项不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；有理数的定义；圆周长计算
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点为误认为带根号的数都是无理数、含有分母的数都是分数，解题时紧扣定义、结合反例排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数与无理数的概念辨析，解题时首先要明确两类数的定义：有理数是整数和分数的统称，本质是可以表示为两个非零整数的比值；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。解题时逐一分析选项，结合定义和反例判断正误即可：①判断A选项时举开方开得尽的带根号数的反例即可排除；②B选项直接对应无理数的定义；③C选项先计算圆周长，结合π是无理数判断周长的类型；④D选项明确分数的定义要求分子分母均为整数，判断$\frac{π}{3}$的属性即可排除。
【解析】
结合有理数、无理数的定义逐一分析选项：
A选项：带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，因此A选项不符合题意；
B选项：根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，因此B选项符合题意；
C选项：半径为3的圆周长为$2πr=2×π×3=6π$，$π$是无理数，因此$6π$也是无理数，不是有理数，因此C选项不符合题意；
D选项：分数属于有理数，要求分子、分母均为整数，$π$是无理数，因此$\frac{π}{3}$是无理数，不是分数也不是有理数，因此D选项不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；有理数的定义；圆周长计算
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点为误认为带根号的数都是无理数、含有分母的数都是分数，解题时紧扣定义、结合反例排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
5. (2024·山西)比较大小：$\sqrt{6}$
＞
2.(填“＞”“＜”或“=”)答案
5. ＞
解析
【分析】
要比较带算术平方根的数和整数的大小，可利用正数的性质：两个正数比较大小，平方后数值更大的原数也更大。我们可以先分别计算两个数的平方，去掉根号后再比较平方结果的大小，就能推导出原数的大小关系。
【解析】
已知$\sqrt{6}$和2都是正数，分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{6})^2=6$，$2^2=4$
因为$6＞4$，根据正数比较大小的规则，可得$\sqrt{6}＞2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，平方法是解决带根号正数与有理数大小比较问题的常用技巧，熟练掌握该方法可以快速解决此类问题。
【难度系数】
0.9
要比较带算术平方根的数和整数的大小，可利用正数的性质：两个正数比较大小，平方后数值更大的原数也更大。我们可以先分别计算两个数的平方，去掉根号后再比较平方结果的大小，就能推导出原数的大小关系。
【解析】
已知$\sqrt{6}$和2都是正数，分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{6})^2=6$，$2^2=4$
因为$6＞4$，根据正数比较大小的规则，可得$\sqrt{6}＞2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，平方法是解决带根号正数与有理数大小比较问题的常用技巧，熟练掌握该方法可以快速解决此类问题。
【难度系数】
0.9
6. (2024·滨州)写出一个比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数：
2(或3)
.答案
6. 2(或3)
解析
【分析】
要解决本题，首先需要估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$分别在哪两个相邻整数之间，我们可以通过对比被开方数和相邻整数的平方的大小关系，确定这两个无理数的取值范围，再从中找出符合要求的整数即可。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{3}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
第二步，估算$\sqrt{10}$的取值范围：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
第三步，找两个范围之间的整数：
比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的数需要满足大于$1.\dots$，小于$3.\dots$，因此符合要求的整数为2、3，任选其一填写即可。
【答案】
2(或3)
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查对无理数的估值能力，解题的关键是牢记常见整数的平方，通过平方数的大小关系快速确定无理数的大致范围。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$分别在哪两个相邻整数之间，我们可以通过对比被开方数和相邻整数的平方的大小关系，确定这两个无理数的取值范围，再从中找出符合要求的整数即可。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{3}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
第二步，估算$\sqrt{10}$的取值范围：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
第三步，找两个范围之间的整数：
比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的数需要满足大于$1.\dots$，小于$3.\dots$，因此符合要求的整数为2、3，任选其一填写即可。
【答案】
2(或3)
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查对无理数的估值能力，解题的关键是牢记常见整数的平方，通过平方数的大小关系快速确定无理数的大致范围。
【难度系数】
0.9
7. 把下列各数填入相应的横线上：
$-7,0.32,\frac{1}{3},46,0,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{216},-\frac{\sqrt{2}}{2},1.232\ 232\ 223···,π.$
(1)有理数集合: $\underline{\hspace{15cm}}$ .
(2)无理数集合: $\underline{\hspace{15cm}}$ .
(3)正数集合: $\underline{\hspace{15cm}}$ .
$-7,0.32,\frac{1}{3},46,0,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{216},-\frac{\sqrt{2}}{2},1.232\ 232\ 223···,π.$
(1)有理数集合: $\underline{\hspace{15cm}}$ .
(2)无理数集合: $\underline{\hspace{15cm}}$ .
(3)正数集合: $\underline{\hspace{15cm}}$ .
答案
7. (1)$-7,0.32,\frac{1}{3},46,0,\sqrt[3]{216}$ (2)$\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{\sqrt{2}}{2},1. 232 232 223···,π.$ (3)$0. 32,\frac{1}{3},46,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{216},1. 232 232 223···,π.$
解析
【分析】
解题前首先明确三类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，包括所有整数、有限小数、无限循环小数，开方能开尽的数也属于有理数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数；③正数是大于0的数。解题时先将带根号的数化简，再逐个判断各数所属类别，避免漏填或错填。
【解析】
第一步，先化简带根号的数：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（开平方开不尽），$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（开平方开不尽），$\sqrt[3]{216}=6$（开立方能开尽，是整数）。
第二步，分类判断：
(1) 有理数集合：整数、分数（含有限小数、无限循环小数）都属于有理数，筛选后符合要求的数为$-7,0.32,\frac{1}{3},46,0,\sqrt[3]{216}$；
(2) 无理数集合：无限不循环小数属于无理数，筛选后符合要求的数为$\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{\sqrt{2}}{2},1.232232223···,π$；
(3) 正数集合：大于0的数属于正数，排除负数和0后，符合要求的数为$0.32,\frac{1}{3},46,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{216},1.232232223···,π$。
【答案】
(1)$-7,0.32,\frac{1}{3},46,0,\sqrt[3]{216}$ (2)$\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{\sqrt{2}}{2},1. 232 232 223···,π.$ (3)$0. 32,\frac{1}{3},46,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{216},1. 232 232 223···,π.$
【知识点】
有理数的定义；无理数的定义；正数的定义
【点评】
本题考查实数的分类，解题关键是先化简带根号的数，再结合各类数的定义逐一判断，要注意区分“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，同时牢记0既不是正数也不是负数，避免分类出错。
【难度系数】
0.85
解题前首先明确三类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，包括所有整数、有限小数、无限循环小数，开方能开尽的数也属于有理数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数；③正数是大于0的数。解题时先将带根号的数化简，再逐个判断各数所属类别，避免漏填或错填。
【解析】
第一步，先化简带根号的数：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（开平方开不尽），$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（开平方开不尽），$\sqrt[3]{216}=6$（开立方能开尽，是整数）。
第二步，分类判断：
(1) 有理数集合：整数、分数（含有限小数、无限循环小数）都属于有理数，筛选后符合要求的数为$-7,0.32,\frac{1}{3},46,0,\sqrt[3]{216}$；
(2) 无理数集合：无限不循环小数属于无理数，筛选后符合要求的数为$\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{\sqrt{2}}{2},1.232232223···,π$；
(3) 正数集合：大于0的数属于正数，排除负数和0后，符合要求的数为$0.32,\frac{1}{3},46,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{216},1.232232223···,π$。
【答案】
(1)$-7,0.32,\frac{1}{3},46,0,\sqrt[3]{216}$ (2)$\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},-\frac{\sqrt{2}}{2},1. 232 232 223···,π.$ (3)$0. 32,\frac{1}{3},46,\sqrt{8},\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{216},1. 232 232 223···,π.$
【知识点】
有理数的定义；无理数的定义；正数的定义
【点评】
本题考查实数的分类，解题关键是先化简带根号的数，再结合各类数的定义逐一判断，要注意区分“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，同时牢记0既不是正数也不是负数，避免分类出错。
【难度系数】
0.85
8. 在$\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{π}{4},1.732,-\frac{22}{7}$中,无理数的个数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. B
解析
【分析】
解这道题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，而整数和分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数都属于有理数）。接下来我们只需要逐个判断给出的4个数是否符合无理数的特征，统计无理数的个数即可得到答案。常见的无理数有三类：开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数，我们可以对照这三类快速判断。
【解析】
根据无理数的定义逐个判断：
1. $\frac{\sqrt{2}}{2}$：$\sqrt{2}$是开平方开不尽的数，属于无限不循环小数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数；
2. $\frac{π}{4}$：π本身是无限不循环小数，因此$\frac{π}{4}$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. $1.732$：是有限小数，属于有理数；
4. $-\frac{22}{7}$：是分数，所有分数都属于有理数。
综上，无理数共有2个，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对有理数和无理数的区分，解题关键是牢记常见的无理数类型，注意不要将有限小数、分数误判为无理数。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，而整数和分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数都属于有理数）。接下来我们只需要逐个判断给出的4个数是否符合无理数的特征，统计无理数的个数即可得到答案。常见的无理数有三类：开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数，我们可以对照这三类快速判断。
【解析】
根据无理数的定义逐个判断：
1. $\frac{\sqrt{2}}{2}$：$\sqrt{2}$是开平方开不尽的数，属于无限不循环小数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数；
2. $\frac{π}{4}$：π本身是无限不循环小数，因此$\frac{π}{4}$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. $1.732$：是有限小数，属于有理数；
4. $-\frac{22}{7}$：是分数，所有分数都属于有理数。
综上，无理数共有2个，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对有理数和无理数的区分，解题关键是牢记常见的无理数类型，注意不要将有限小数、分数误判为无理数。
【难度系数】
0.8
9. 体积为 90 的正方体的棱长在 (
A.3 与 4 之间
B.4 与 5 之间
C.5 与 6 之间
D.6 与 7 之间
B
)A.3 与 4 之间
B.4 与 5 之间
C.5 与 6 之间
D.6 与 7 之间
答案
9. B 解析:$\because \sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{90}＜\sqrt[3]{125}$,$\therefore 4＜\sqrt[3]{90}＜5$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确正方体体积和棱长的关系：正方体体积=棱长³，因此已知体积求棱长，就是求体积90的立方根，即需要估算$\sqrt[3]{90}$的取值范围。估算无理数大小常用“夹逼法”，我们只需找到和90相邻的、能开尽立方的两个正整数的立方，再根据“正数的立方根随被开方数增大而增大”的性质，就能确定$\sqrt[3]{90}$的范围。
【解析】
设正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式可得：
$a^3=90$，因此$a=\sqrt[3]{90}$
计算相邻整数的立方：$4^3=64$，$5^3=125$
显然$64＜90＜125$，根据正数立方根的性质可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{90}＜\sqrt[3]{125}$
即$4＜\sqrt[3]{90}＜5$
因此正方体的棱长在4与5之间。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算，立方根估算，立方运算
【点评】
本题考查利用夹逼法估算无理数的大小，解题关键是熟记常见整数的立方值，结合立方根的性质即可快速确定范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确正方体体积和棱长的关系：正方体体积=棱长³，因此已知体积求棱长，就是求体积90的立方根，即需要估算$\sqrt[3]{90}$的取值范围。估算无理数大小常用“夹逼法”，我们只需找到和90相邻的、能开尽立方的两个正整数的立方，再根据“正数的立方根随被开方数增大而增大”的性质，就能确定$\sqrt[3]{90}$的范围。
【解析】
设正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式可得：
$a^3=90$，因此$a=\sqrt[3]{90}$
计算相邻整数的立方：$4^3=64$，$5^3=125$
显然$64＜90＜125$，根据正数立方根的性质可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{90}＜\sqrt[3]{125}$
即$4＜\sqrt[3]{90}＜5$
因此正方体的棱长在4与5之间。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算，立方根估算，立方运算
【点评】
本题考查利用夹逼法估算无理数的大小，解题关键是熟记常见整数的立方值，结合立方根的性质即可快速确定范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
