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10. 若$ a=\sqrt{3},b=|-6|,c=\sqrt[3]{65} $，则$ a、b、c $的大小关系是________.（用“＞”连接）
答案
10. $b＞c＞a$ 解析:$\because a=\sqrt{3},1＜\sqrt{3}＜2$,$\therefore 1＜a＜2. \because \sqrt[3]{64}=4＜\sqrt[3]{65}＜5$,$c=\sqrt[3]{65}$,$\therefore 4＜c＜5$. 又$\because b=|-6|=6$,$\therefore b＞c＞a$.
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，首先分别确定三个数的取值或取值范围：先化简绝对值得到b的具体数值，再通过找相邻的完全平方数、完全立方数分别估算出无理数a、c的取值区间，最后比较三个数的区间大小即可得到结果。
【解析】
先分别计算或估算各数的范围：
1. 对于$a=\sqrt{3}$：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜a＜2$。
2. 对于$b=|-6|$：
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，得$b=|-6|=6$。
3. 对于$c=\sqrt[3]{65}$：
因为$4^3=64$，$5^3=125$，且$64＜65＜125$，所以$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{65}＜\sqrt[3]{125}$，即$4＜c＜5$。
对比三个数的大小可得：$b＞c＞a$。
【答案】
$b＞c＞a$
【知识点】
1. 绝对值的化简
2. 无理数的估算
3. 实数大小比较
【点评】
本题考查实数相关的基础运算与大小判断，解题核心是掌握利用相邻整数的乘方估算无理数取值范围的方法，熟练掌握该方法就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，首先分别确定三个数的取值或取值范围：先化简绝对值得到b的具体数值，再通过找相邻的完全平方数、完全立方数分别估算出无理数a、c的取值区间，最后比较三个数的区间大小即可得到结果。
【解析】
先分别计算或估算各数的范围：
1. 对于$a=\sqrt{3}$：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜a＜2$。
2. 对于$b=|-6|$：
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，得$b=|-6|=6$。
3. 对于$c=\sqrt[3]{65}$：
因为$4^3=64$，$5^3=125$，且$64＜65＜125$，所以$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{65}＜\sqrt[3]{125}$，即$4＜c＜5$。
对比三个数的大小可得：$b＞c＞a$。
【答案】
$b＞c＞a$
【知识点】
1. 绝对值的化简
2. 无理数的估算
3. 实数大小比较
【点评】
本题考查实数相关的基础运算与大小判断，解题核心是掌握利用相邻整数的乘方估算无理数取值范围的方法，熟练掌握该方法就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
11. 若$\sqrt{5}$的小数部分为$m$，则代数式$m(m+4)$的值为________.
答案
11. 1 解析:$\because 2＜\sqrt{5}＜3$,$\therefore \sqrt{5}$的整数部分是 2,小数部分$m=\sqrt{5}-2$,$\therefore m(m+4)=(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}-2+4)=(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2-2^2=1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要确定$\sqrt{5}$的小数部分$m$：第一步先估算$\sqrt{5}$的大小，找到它介于哪两个相邻整数之间，从而得到$\sqrt{5}$的整数部分，用$\sqrt{5}$减去整数部分即可得到小数部分$m$；再将$m$代入代数式$m(m+4)$，观察式子结构可利用平方差公式简化计算，最终求出结果。
【解析】
$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，
$\therefore \sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$m=\sqrt{5}-2$，
将$m$代入代数式得：
$\begin{aligned}m(m+4)&=(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}-2+4)\\&=(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)\\&=(\sqrt{5})^2-2^2\\&=5-4\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查无理数的估算和整式的化简运算，解题核心是正确求出无理数的小数部分，计算时巧用平方差公式可大幅简化运算，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要确定$\sqrt{5}$的小数部分$m$：第一步先估算$\sqrt{5}$的大小，找到它介于哪两个相邻整数之间，从而得到$\sqrt{5}$的整数部分，用$\sqrt{5}$减去整数部分即可得到小数部分$m$；再将$m$代入代数式$m(m+4)$，观察式子结构可利用平方差公式简化计算，最终求出结果。
【解析】
$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，
$\therefore \sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$m=\sqrt{5}-2$，
将$m$代入代数式得：
$\begin{aligned}m(m+4)&=(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}-2+4)\\&=(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)\\&=(\sqrt{5})^2-2^2\\&=5-4\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查无理数的估算和整式的化简运算，解题核心是正确求出无理数的小数部分，计算时巧用平方差公式可大幅简化运算，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
12. 请你研究课本材料《证明$\sqrt{2}$是无理数》，掌握解题方法，证明$\sqrt{3}$是无理数.
答案
12. 证明:假设$\sqrt{3}$是有理数,那么它可以表示成$\frac{q}{p}$($p$ 与 $q$ 是互质的两个正整数). 于是$(\frac{q}{p})^2=(\sqrt{3})^2=3$,$\therefore q^2=3p^2$,$\therefore q^2$ 是 3 的倍数,$\therefore q$ 也是 3的倍数,从而可设$q=3m$,$\therefore (3m)^2=3p^2$,$p^2=3m^2$,可得 $p$ 也是 3 的倍数. 这与“$p$ 与 $q$ 是互质的两个正整数”矛盾. 从而可知“$\sqrt{3}$是有理数”的假设不成立,$\therefore \sqrt{3}$是无理数.
解析
【分析】
要证明$\sqrt{3}$是无理数，直接证明它是无限不循环小数难度较大，因此选择反证法解题。反证法的核心思路是：先假设原命题的结论不成立，即假设$\sqrt{3}$是有理数，再结合有理数的性质（可表示为两个互质正整数的比值）进行推导，直到推出与已知条件或公理矛盾的结果，即可证明假设错误，原命题成立。具体推导时，先将$\sqrt{3}$表示为两个互质正整数的比值，平方后得到两数平方的关系，再结合3的倍数的特征，推出两个数都含有因数3，和“互质”的前提矛盾，即可完成证明。
【解析】
证明：假设$\sqrt{3}$是有理数，那么它可以表示成$\frac{q}{p}$（$p$与$q$是互质的两个正整数）。
于是$(\frac{q}{p})^2=(\sqrt{3})^2=3$，
$\therefore q^2=3p^2$，
$\therefore q^2$是3的倍数，$\therefore q$也是3的倍数，从而可设$q=3m$（$m$为正整数），
代入得$(3m)^2=3p^2$，整理得$p^2=3m^2$，
可得$p$也是3的倍数。
此时$p$与$q$都有公因数3，这与“$p$与$q$是互质的两个正整数”矛盾，
从而可知“$\sqrt{3}$是有理数”的假设不成立，$\therefore \sqrt{3}$是无理数。
【答案】
$\sqrt{3}$是无理数
【知识点】
反证法；无理数定义；有理数性质
【点评】
本题是反证法的典型应用题型，解题关键在于熟练掌握反证法的基本步骤，当直接证明结论存在困难时，通过反设、推导矛盾来验证原结论的正确性，同时需要掌握互质、整除的相关性质来推导矛盾。
【难度系数】
0.6
要证明$\sqrt{3}$是无理数，直接证明它是无限不循环小数难度较大，因此选择反证法解题。反证法的核心思路是：先假设原命题的结论不成立，即假设$\sqrt{3}$是有理数，再结合有理数的性质（可表示为两个互质正整数的比值）进行推导，直到推出与已知条件或公理矛盾的结果，即可证明假设错误，原命题成立。具体推导时，先将$\sqrt{3}$表示为两个互质正整数的比值，平方后得到两数平方的关系，再结合3的倍数的特征，推出两个数都含有因数3，和“互质”的前提矛盾，即可完成证明。
【解析】
证明：假设$\sqrt{3}$是有理数，那么它可以表示成$\frac{q}{p}$（$p$与$q$是互质的两个正整数）。
于是$(\frac{q}{p})^2=(\sqrt{3})^2=3$，
$\therefore q^2=3p^2$，
$\therefore q^2$是3的倍数，$\therefore q$也是3的倍数，从而可设$q=3m$（$m$为正整数），
代入得$(3m)^2=3p^2$，整理得$p^2=3m^2$，
可得$p$也是3的倍数。
此时$p$与$q$都有公因数3，这与“$p$与$q$是互质的两个正整数”矛盾，
从而可知“$\sqrt{3}$是有理数”的假设不成立，$\therefore \sqrt{3}$是无理数。
【答案】
$\sqrt{3}$是无理数
【知识点】
反证法；无理数定义；有理数性质
【点评】
本题是反证法的典型应用题型，解题关键在于熟练掌握反证法的基本步骤，当直接证明结论存在困难时，通过反设、推导矛盾来验证原结论的正确性，同时需要掌握互质、整除的相关性质来推导矛盾。
【难度系数】
0.6
13. 新定义:若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$;同理规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$.例如:因为$1^2＜2＜2^2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$.
请根据以上材料,解答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为________;$-\sqrt{23}$的“青一区间”为________.
(2)实数$x、y$满足表达式$\sqrt{x-3}+|2026+(y-4)^2|=2026$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
(3)在(2)的条件下,下列说法正确的是________.
A. $\sqrt{xy}$是有理数
B. $3＜\sqrt{xy}＜3.5$
C. $(\sqrt{xy})^2=12$
D. $3＜\sqrt{xy}＜3.4$
(4)若无理数$\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值.
请根据以上材料,解答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为________;$-\sqrt{23}$的“青一区间”为________.
(2)实数$x、y$满足表达式$\sqrt{x-3}+|2026+(y-4)^2|=2026$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
(3)在(2)的条件下,下列说法正确的是________.
A. $\sqrt{xy}$是有理数
B. $3＜\sqrt{xy}＜3.5$
C. $(\sqrt{xy})^2=12$
D. $3＜\sqrt{xy}＜3.4$
(4)若无理数$\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值.
答案
13. (1)(4,5) (-5,-4) 解析:$\because 4^2＜17＜5^2$,$\therefore \sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$;$\because 4^2＜23＜5^2$,$\therefore -\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$.
(2)$\because \sqrt{x-3}+|2\ 026+(y-4)^2|=2\ 026$,$\therefore \sqrt{x-3}+2\ 026+(y-4)^2=2\ 026$,即$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$,$\therefore x=3,y=4$,$\therefore \sqrt{xy}=\sqrt{12}. \because 3^2＜12＜4^2$,$\therefore \sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$.
(3)BC 解析:$\because \sqrt{xy}=\sqrt{12}$,$\therefore \sqrt{12}=2\sqrt{3}$,是无理数,故 A选项不符合题意;$\because 9＜12＜12. 25$,$\therefore 3＜\sqrt{xy}＜3. 5$,故 B 选项符合题意;$\because \sqrt{xy}=\sqrt{12}$,$\therefore (\sqrt{xy})^2=12$,故 C 选项符合题意;$\because 12＞3. 4^2=11. 56$,$\therefore \sqrt{xy}＞3. 4$,故 D 选项不符合题意.
(4)$\because$ 无理数$\sqrt{a}$($a$ 为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\therefore 4＜a＜9. \because \sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,$\therefore 9＜a+3＜16$,即$6＜a＜13$,$\therefore 6＜a＜9$,又$\because a$ 为正整数,$\therefore a=7$ 或 $a=8$. 当$a=7$ 时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$;当$a=8$ 时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$. 综上所述,$\sqrt[3]{a+1}$的值为 2 或$\sqrt[3]{9}$.
(2)$\because \sqrt{x-3}+|2\ 026+(y-4)^2|=2\ 026$,$\therefore \sqrt{x-3}+2\ 026+(y-4)^2=2\ 026$,即$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$,$\therefore x=3,y=4$,$\therefore \sqrt{xy}=\sqrt{12}. \because 3^2＜12＜4^2$,$\therefore \sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$.
(3)BC 解析:$\because \sqrt{xy}=\sqrt{12}$,$\therefore \sqrt{12}=2\sqrt{3}$,是无理数,故 A选项不符合题意;$\because 9＜12＜12. 25$,$\therefore 3＜\sqrt{xy}＜3. 5$,故 B 选项符合题意;$\because \sqrt{xy}=\sqrt{12}$,$\therefore (\sqrt{xy})^2=12$,故 C 选项符合题意;$\because 12＞3. 4^2=11. 56$,$\therefore \sqrt{xy}＞3. 4$,故 D 选项不符合题意.
(4)$\because$ 无理数$\sqrt{a}$($a$ 为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\therefore 4＜a＜9. \because \sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,$\therefore 9＜a+3＜16$,即$6＜a＜13$,$\therefore 6＜a＜9$,又$\because a$ 为正整数,$\therefore a=7$ 或 $a=8$. 当$a=7$ 时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$;当$a=8$ 时,$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$. 综上所述,$\sqrt[3]{a+1}$的值为 2 或$\sqrt[3]{9}$.
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题前首先要准确理解“青一区间”的定义：①对正无理数$\sqrt{T}$，找到正整数$n$满足$n^2＜T＜(n+1)^2$，区间为$(n,n+1)$；②对负无理数$-\sqrt{T}$，对应区间为$(-n-1,-n)$。各小问解题思路如下：
(1) 分别找到17、23介于哪两个相邻正整数的平方之间，直接套用定义写区间即可。
(2) 先根据绝对值和平方的非负性化简等式，利用“多个非负数相加和为0时，每个非负数都为0”求出$x$、$y$的值，再计算$\sqrt{xy}$，最后套用定义求它的青一区间。
(3) 结合(2)得到$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$，逐一验证每个选项的正误即可。
(4) 根据两个无理数的青一区间分别列出$a$的取值范围，取公共部分得到正整数$a$的可能值，再分别计算立方根即可。
【解析】
(1) $\because 4^2=16$，$5^2=25$，$16＜17＜25$，即$4^2＜17＜5^2$，根据定义可得$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
又$\because 4^2=16$，$5^2=25$，$16＜23＜25$，即$4^2＜23＜5^2$，根据负无理数的区间定义，可得$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
(2) $\because (y-4)^2≥0$，$\therefore 2026+(y-4)^2＞0$，因此原式去绝对值得：
$\sqrt{x-3} + 2026 + (y-4)^2 = 2026$
整理得$\sqrt{x-3} + (y-4)^2 = 0$
$\because \sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，两个非负数和为0，则每个非负数都为0，
$\therefore x-3=0$，$y-4=0$，解得$x=3$，$y=4$
$\therefore \sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜12＜16$，即$3^2＜12＜4^2$
$\therefore \sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
(3) 由(2)知$\sqrt{xy}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，是无理数，故A错误；
$\because 3.5^2=12.25$，$9＜12＜12.25$，$\therefore 3＜\sqrt{12}＜3.5$，故B正确；
$(\sqrt{12})^2=12$，故C正确；
$\because 3.4^2=11.56＜12$，$\therefore \sqrt{12}＞3.4$，故D错误。
综上选BC。
(4) $\because \sqrt{a}$的“青一区间”为$(2,3)$，$\therefore 2^2＜a＜3^2$，即$4＜a＜9$；
又$\because \sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$，$\therefore 3^2＜a+3＜4^2$，即$9＜a+3＜16$，化简得$6＜a＜13$；
取两个范围的公共部分得$6＜a＜9$，$\because a$为正整数，$\therefore a=7$或$a=8$。
当$a=7$时，$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$；
当$a=8$时，$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$。
综上，$\sqrt[3]{a+1}$的值为2或$\sqrt[3]{9}$。
【答案】
(1)$(4,5)$；$(-5,-4)$
(2)$(3,4)$
(3)$BC$
(4)$2$或$\sqrt[3]{9}$
【知识点】
新定义运算；非负数的性质；无理数的估算
【点评】
本题以新定义“青一区间”为载体，综合考查了无理数的大小估算、非负数的性质、立方根的计算等知识，解题的关键是准确理解新定义的规则，再结合已有代数知识逐步求解，能有效考查对新知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类题型，解题前首先要准确理解“青一区间”的定义：①对正无理数$\sqrt{T}$，找到正整数$n$满足$n^2＜T＜(n+1)^2$，区间为$(n,n+1)$；②对负无理数$-\sqrt{T}$，对应区间为$(-n-1,-n)$。各小问解题思路如下：
(1) 分别找到17、23介于哪两个相邻正整数的平方之间，直接套用定义写区间即可。
(2) 先根据绝对值和平方的非负性化简等式，利用“多个非负数相加和为0时，每个非负数都为0”求出$x$、$y$的值，再计算$\sqrt{xy}$，最后套用定义求它的青一区间。
(3) 结合(2)得到$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$，逐一验证每个选项的正误即可。
(4) 根据两个无理数的青一区间分别列出$a$的取值范围，取公共部分得到正整数$a$的可能值，再分别计算立方根即可。
【解析】
(1) $\because 4^2=16$，$5^2=25$，$16＜17＜25$，即$4^2＜17＜5^2$，根据定义可得$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
又$\because 4^2=16$，$5^2=25$，$16＜23＜25$，即$4^2＜23＜5^2$，根据负无理数的区间定义，可得$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
(2) $\because (y-4)^2≥0$，$\therefore 2026+(y-4)^2＞0$，因此原式去绝对值得：
$\sqrt{x-3} + 2026 + (y-4)^2 = 2026$
整理得$\sqrt{x-3} + (y-4)^2 = 0$
$\because \sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，两个非负数和为0，则每个非负数都为0，
$\therefore x-3=0$，$y-4=0$，解得$x=3$，$y=4$
$\therefore \sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜12＜16$，即$3^2＜12＜4^2$
$\therefore \sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
(3) 由(2)知$\sqrt{xy}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，是无理数，故A错误；
$\because 3.5^2=12.25$，$9＜12＜12.25$，$\therefore 3＜\sqrt{12}＜3.5$，故B正确；
$(\sqrt{12})^2=12$，故C正确；
$\because 3.4^2=11.56＜12$，$\therefore \sqrt{12}＞3.4$，故D错误。
综上选BC。
(4) $\because \sqrt{a}$的“青一区间”为$(2,3)$，$\therefore 2^2＜a＜3^2$，即$4＜a＜9$；
又$\because \sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$，$\therefore 3^2＜a+3＜4^2$，即$9＜a+3＜16$，化简得$6＜a＜13$；
取两个范围的公共部分得$6＜a＜9$，$\because a$为正整数，$\therefore a=7$或$a=8$。
当$a=7$时，$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{8}=2$；
当$a=8$时，$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{9}$。
综上，$\sqrt[3]{a+1}$的值为2或$\sqrt[3]{9}$。
【答案】
(1)$(4,5)$；$(-5,-4)$
(2)$(3,4)$
(3)$BC$
(4)$2$或$\sqrt[3]{9}$
【知识点】
新定义运算；非负数的性质；无理数的估算
【点评】
本题以新定义“青一区间”为载体，综合考查了无理数的大小估算、非负数的性质、立方根的计算等知识，解题的关键是准确理解新定义的规则，再结合已有代数知识逐步求解，能有效考查对新知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
