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1. 若两个数是方程$x^2 - 5x + 6 = 0$的两个根，则分别以这两个数作为十位数与个位数，组成的最大两位数是 （
A.$16$
B.$61$
C.$23$
D.$32$
D
）A.$16$
B.$61$
C.$23$
D.$32$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题可分三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步用这两个根分别作为十位和个位，列出所有能组成的两位数；第三步比较这些两位数的大小，选出最大的即可。
【解析】
首先解方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，用因式分解法将方程变形为：
$(x-2)(x-3)=0$
可得$x-2=0$或$x-3=0$，解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=3$。
用2和3分别作为十位、个位组成的两位数有23和32，比较大小得$32＞23$，因此最大的两位数是32。
故选：D
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；两位数的组成；有理数大小比较
【点评】本题属于基础题，将一元二次方程的求解和整数的组成结合考查，只要掌握一元二次方程的基础解法，认真审题就能快速得出结果。
【难度系数】0.9
要解决这道题可分三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步用这两个根分别作为十位和个位，列出所有能组成的两位数；第三步比较这些两位数的大小，选出最大的即可。
【解析】
首先解方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，用因式分解法将方程变形为：
$(x-2)(x-3)=0$
可得$x-2=0$或$x-3=0$，解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=3$。
用2和3分别作为十位、个位组成的两位数有23和32，比较大小得$32＞23$，因此最大的两位数是32。
故选：D
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；两位数的组成；有理数大小比较
【点评】本题属于基础题，将一元二次方程的求解和整数的组成结合考查，只要掌握一元二次方程的基础解法，认真审题就能快速得出结果。
【难度系数】0.9
2. [2024·牡丹江中考]一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（
A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
C
）A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
答案
2.C
解析
【分析】
这是连续相同百分率降价的平均变化率问题，解题思路如下：第一步，设每次降价的百分率为未知数x；第二步，根据降价的数量关系：原价×(1-降价百分率)²=两次降价后的售价，列出一元二次方程；第三步，解方程后舍去不符合实际意义的根（降价百分率需大于0且小于1），即可得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $。
根据题意，两次降价后的售价为27元，可列方程：
$ 48(1-x)^2 = 27 $
方程两边同时除以48，得：
$ (1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} $
两边直接开平方，得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 25\% $；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 + \frac{3}{4} = 175\% $，不符合降价百分率的实际意义，舍去。
因此每次降价的百分率为25%，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的典型应用题，解题核心是掌握连续两次相同变化率对应的数量关系，求解方程后需注意检验根是否符合实际场景的要求，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
这是连续相同百分率降价的平均变化率问题，解题思路如下：第一步，设每次降价的百分率为未知数x；第二步，根据降价的数量关系：原价×(1-降价百分率)²=两次降价后的售价，列出一元二次方程；第三步，解方程后舍去不符合实际意义的根（降价百分率需大于0且小于1），即可得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $。
根据题意，两次降价后的售价为27元，可列方程：
$ 48(1-x)^2 = 27 $
方程两边同时除以48，得：
$ (1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} $
两边直接开平方，得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 25\% $；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = 1 + \frac{3}{4} = 175\% $，不符合降价百分率的实际意义，舍去。
因此每次降价的百分率为25%，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的典型应用题，解题核心是掌握连续两次相同变化率对应的数量关系，求解方程后需注意检验根是否符合实际场景的要求，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
3. 如图,某小区改造修建一个长 32 m、宽 18 m 的矩形小花园,并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路,余下部分进行绿化(图中阴影部分).设小路的宽为 $ x $ m,若绿化面积为 $ 448 \, \mathrm{m}^2 $,则可列方程为
(
A.$ 32 × 18 - 32x - 18x = 448 $
B.$ 32 × 18 - 64x - 18x = 448 $
C.$ (32 - x)(18 - 2x) = 448 $
D.$ (32 - 2x)(18 - x) = 448 $
(
D
)A.$ 32 × 18 - 32x - 18x = 448 $
B.$ 32 × 18 - 64x - 18x = 448 $
C.$ (32 - x)(18 - 2x) = 448 $
D.$ (32 - 2x)(18 - x) = 448 $
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的实际应用，解决这类带等宽小路的面积问题，优先使用平移法简化计算：我们可以将分散的阴影绿化区域平移拼接成一个完整的矩形，只需计算拼接后矩形的长和宽，再结合绿化面积即可列出方程。首先明确小路的数量和方向：竖直小路有2条，每条宽x，会占掉水平方向2x的长度；水平小路有1条，宽x，会占掉竖直方向x的宽度，据此推导新矩形的长宽即可。
【解析】
我们通过平移阴影部分，可将所有绿化区域拼接为一个新的矩形：
1. 原矩形长为32m，2条竖直小路各宽x m，因此拼接后新矩形的长为$ (32 - 2x) \, \mathrm{m} $；
2. 原矩形宽为18m，1条水平小路宽x m，因此拼接后新矩形的宽为$ (18 - x) \, \mathrm{m} $；
3. 已知绿化面积为$ 448 \, \mathrm{m}^2 $，即新矩形面积为$ 448 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：$ (32 - 2x)(18 - x) = 448 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 图形平移的应用
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，平移法是解决这类问题的常用技巧，能有效避免直接用总面积减小路面积时，重复扣除小路重叠部分面积的错误，计算更简便准确。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程的实际应用，解决这类带等宽小路的面积问题，优先使用平移法简化计算：我们可以将分散的阴影绿化区域平移拼接成一个完整的矩形，只需计算拼接后矩形的长和宽，再结合绿化面积即可列出方程。首先明确小路的数量和方向：竖直小路有2条，每条宽x，会占掉水平方向2x的长度；水平小路有1条，宽x，会占掉竖直方向x的宽度，据此推导新矩形的长宽即可。
【解析】
我们通过平移阴影部分，可将所有绿化区域拼接为一个新的矩形：
1. 原矩形长为32m，2条竖直小路各宽x m，因此拼接后新矩形的长为$ (32 - 2x) \, \mathrm{m} $；
2. 原矩形宽为18m，1条水平小路宽x m，因此拼接后新矩形的宽为$ (18 - x) \, \mathrm{m} $；
3. 已知绿化面积为$ 448 \, \mathrm{m}^2 $，即新矩形面积为$ 448 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：$ (32 - 2x)(18 - x) = 448 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 图形平移的应用
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，平移法是解决这类问题的常用技巧，能有效避免直接用总面积减小路面积时，重复扣除小路重叠部分面积的错误，计算更简便准确。
【难度系数】
0.7
4.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m(如图)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.若苗圃园的面积为72 m²，则x的值为
12
.答案
4.12
解析
【分析】
解题时首先要根据篱笆总长表示出平行于墙的苗圃边长，同时结合墙长限制确定x的取值范围；再利用矩形面积公式找到等量关系列出一元二次方程，求解后需要结合实际限制条件舍去不符合要求的根，最终得到正确的x值。
【解析】
解：由题意可知，苗圃园平行于墙的一边长度为$(30-2x)\mathrm{m}$。
根据墙长限制，可得$0＜30-2x≤18$，解得$6≤ x＜15$。
已知苗圃园面积为$72\mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式列方程：
$x(30-2x)=72$
整理得：$x^2-15x+36=0$
因式分解得：$(x-3)(x-12)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=12$
检验：当$x=3$时，$30-2×3=24＞18$，超出墙长，不符合实际，舍去；
当$x=12$时，$30-2×12=6≤18$，符合题意。
故x的值为12。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在实际几何问题中的典型应用，解题关键是找准面积等量关系列方程，需要特别注意结合墙长的实际限制对解出的根进行取舍，避免得到不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据篱笆总长表示出平行于墙的苗圃边长，同时结合墙长限制确定x的取值范围；再利用矩形面积公式找到等量关系列出一元二次方程，求解后需要结合实际限制条件舍去不符合要求的根，最终得到正确的x值。
【解析】
解：由题意可知，苗圃园平行于墙的一边长度为$(30-2x)\mathrm{m}$。
根据墙长限制，可得$0＜30-2x≤18$，解得$6≤ x＜15$。
已知苗圃园面积为$72\mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式列方程：
$x(30-2x)=72$
整理得：$x^2-15x+36=0$
因式分解得：$(x-3)(x-12)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=12$
检验：当$x=3$时，$30-2×3=24＞18$，超出墙长，不符合实际，舍去；
当$x=12$时，$30-2×12=6≤18$，符合题意。
故x的值为12。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在实际几何问题中的典型应用，解题关键是找准面积等量关系列方程，需要特别注意结合墙长的实际限制对解出的根进行取舍，避免得到不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.7
5.某电池厂2025年1~5月份的电池产量如图所示.设从2月份到4月份,该厂电池产量的月平均增长率为$x$,则$x=$
60%
.答案
5.60%
解析
【分析】首先从折线统计图中提取2月份和4月份的电池产量，再结合月平均增长率的计算规律：若初始量为a，月平均增长率为x，经过n次增长后的量为$a(1+x)^n$。本题中2月份产量是初始量，4月份是经过2次增长后的量，代入对应数值列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到x的值。
【解析】解：从折线统计图可得，2月份电池产量为180.0万节，4月份电池产量为460.8万节。
设从2月份到4月份的月平均增长率为x，从2月到4月共经过2次增长，列方程得：
$180(1+x)^2=460.8$
两边同时除以180，得：
$(1+x)^2=2.56$
开平方得：
$1+x=\pm1.6$
由于月平均增长率为正数，因此舍去$1+x=-1.6$的情况，
则$1+x=1.6$，解得$x=0.6=60\%$
【答案】60%
【知识点】一元二次方程的应用，增长率问题，折线统计图
【点评】本题结合统计图表考查平均增长率的实际应用，解题核心是准确提取图表数据，正确套用增长率计算公式，同时注意求解结果要符合实际意义，增长率不能为负数。
【难度系数】0.7
【解析】解：从折线统计图可得，2月份电池产量为180.0万节，4月份电池产量为460.8万节。
设从2月份到4月份的月平均增长率为x，从2月到4月共经过2次增长，列方程得：
$180(1+x)^2=460.8$
两边同时除以180，得：
$(1+x)^2=2.56$
开平方得：
$1+x=\pm1.6$
由于月平均增长率为正数，因此舍去$1+x=-1.6$的情况，
则$1+x=1.6$，解得$x=0.6=60\%$
【答案】60%
【知识点】一元二次方程的应用，增长率问题，折线统计图
【点评】本题结合统计图表考查平均增长率的实际应用，解题核心是准确提取图表数据，正确套用增长率计算公式，同时注意求解结果要符合实际意义，增长率不能为负数。
【难度系数】0.7
6. 某宾馆有 50 间房供游客居住，当每间房每天的定价为 180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加 10 元时，就会空出 1 间房。如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20 元的费用。设每间房的定价为 x 元时，宾馆当天的利润为 10 890 元，则可列方程为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
6.$(x-20)(50-\dfrac{x-180}{10})=10890$
解析
【分析】
解题的核心是明确总利润的计算等量关系：总利润=每间房的净利润×当天实际入住的房间数。首先推导单间净利润：定价为x元，每间每天需支出20元费用，因此单间净利润是(x-20)元。再推导实际入住房间数：原价180元时住满50间，定价每涨10元空1间，现定价x元，比原价上涨了(x-180)元，因此空出的房间数为$\frac{x-180}{10}$间，实际入住房间数为总房间数减去空房数，即$50-\frac{x-180}{10}$间。最后结合总利润为10890元，将两个量相乘等于总利润即可列出方程。
【解析】
首先明确利润计算公式：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单间净利润}×\mathrm{入住房间数}$
1. 计算单间净利润：每间房定价x元，扣除20元的支出费用，单间净利润为$(x-20)$元。
2. 计算入住房间数：定价180元时住满50间，每增加10元空1间，现定价x元，比180元上涨了$(x-180)$元，因此空出的房间数为$\frac{x-180}{10}$间，实际入住房间数为$50-\frac{x-180}{10}$间。
3. 根据总利润为10890元，列方程得：
$\displaystyle (x-20)(50-\dfrac{x-180}{10})=10890$
【答案】
$\displaystyle (x-20)(50-\dfrac{x-180}{10})=10890$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题是典型的利润类方程应用题，解题关键是牢记利润计算的基本等量关系，易错点是容易搞错定价涨幅和空房数的对应比例，做题时要注意梳理清楚变量之间的数量关系，避免列错入住房间数的表达式。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确总利润的计算等量关系：总利润=每间房的净利润×当天实际入住的房间数。首先推导单间净利润：定价为x元，每间每天需支出20元费用，因此单间净利润是(x-20)元。再推导实际入住房间数：原价180元时住满50间，定价每涨10元空1间，现定价x元，比原价上涨了(x-180)元，因此空出的房间数为$\frac{x-180}{10}$间，实际入住房间数为总房间数减去空房数，即$50-\frac{x-180}{10}$间。最后结合总利润为10890元，将两个量相乘等于总利润即可列出方程。
【解析】
首先明确利润计算公式：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单间净利润}×\mathrm{入住房间数}$
1. 计算单间净利润：每间房定价x元，扣除20元的支出费用，单间净利润为$(x-20)$元。
2. 计算入住房间数：定价180元时住满50间，每增加10元空1间，现定价x元，比180元上涨了$(x-180)$元，因此空出的房间数为$\frac{x-180}{10}$间，实际入住房间数为$50-\frac{x-180}{10}$间。
3. 根据总利润为10890元，列方程得：
$\displaystyle (x-20)(50-\dfrac{x-180}{10})=10890$
【答案】
$\displaystyle (x-20)(50-\dfrac{x-180}{10})=10890$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题是典型的利润类方程应用题，解题关键是牢记利润计算的基本等量关系，易错点是容易搞错定价涨幅和空房数的对应比例，做题时要注意梳理清楚变量之间的数量关系，避免列错入住房间数的表达式。
【难度系数】
0.7
