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3 解决问题。
(1)大江想自己动手制作一个收纳盒(如图所示)，用于存放读书笔记。
①在一张长方形硬纸板的四个角上剪掉同样大小的正方形后，能否制作成一个长方体的收纳盒？如果剪掉的是长方形呢？请你动手做一做。
②大江又用一张边长为 30 cm 的正方形硬纸板按上面的方法制作收纳盒，他剪掉的正方形的边长是 3 cm，做成的收纳盒的容积是多少？(硬纸板的厚度忽略不计)如果要使这个收纳盒容积最大，剪掉的正方形的边长应为多少厘米(取整厘米数)？
| 实验次数 | 1 | 2 | 3 | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 剪掉的正方形的边长/cm | 3 | | | | |
| 收纳盒的容积/cm³ | | | | | |
我得到的结论：
(2)大江用一个装有 250 mL 水的量杯测量一些物体的体积。他分别将一个鸡蛋和一个乒乓球放入量杯中，结果如下图所示。(单位:mL)
①根据大江测量的结果，这个鸡蛋的体积是()cm³。
②你能根据大江测量的结果，得出这个乒乓球的体积吗？为什么？
(1)大江想自己动手制作一个收纳盒(如图所示)，用于存放读书笔记。
①在一张长方形硬纸板的四个角上剪掉同样大小的正方形后，能否制作成一个长方体的收纳盒？如果剪掉的是长方形呢？请你动手做一做。
②大江又用一张边长为 30 cm 的正方形硬纸板按上面的方法制作收纳盒，他剪掉的正方形的边长是 3 cm，做成的收纳盒的容积是多少？(硬纸板的厚度忽略不计)如果要使这个收纳盒容积最大，剪掉的正方形的边长应为多少厘米(取整厘米数)？
| 实验次数 | 1 | 2 | 3 | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 剪掉的正方形的边长/cm | 3 | | | | |
| 收纳盒的容积/cm³ | | | | | |
我得到的结论：
(2)大江用一个装有 250 mL 水的量杯测量一些物体的体积。他分别将一个鸡蛋和一个乒乓球放入量杯中，结果如下图所示。(单位:mL)
①根据大江测量的结果，这个鸡蛋的体积是()cm³。
②你能根据大江测量的结果，得出这个乒乓球的体积吗？为什么？
答案
(1)① 剪掉同样大小的正方形后可以制作成无盖的长方体收纳盒；剪掉同样大小的长方形不能制作成规则的长方体收纳盒。
② 剪掉边长3cm时收纳盒的容积是1728cm³；表格填写示例：
| 实验次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 剪掉的正方形的边长/cm | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 收纳盒的容积/cm³ | 1728 | 1936 | 2000 | 1944 | 1792 |
我得到的结论：从边长为30cm的正方形硬纸板四个角剪掉边长为5cm的正方形时，制作得到的收纳盒容积最大。
(2)① 150
② 不能，因为乒乓球没有完全浸没在水中，排开水的体积不等于乒乓球自身的体积，无法通过液面上升的数值计算出乒乓球的体积。
② 剪掉边长3cm时收纳盒的容积是1728cm³；表格填写示例：
| 实验次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 剪掉的正方形的边长/cm | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 收纳盒的容积/cm³ | 1728 | 1936 | 2000 | 1944 | 1792 |
我得到的结论：从边长为30cm的正方形硬纸板四个角剪掉边长为5cm的正方形时，制作得到的收纳盒容积最大。
(2)① 150
② 不能，因为乒乓球没有完全浸没在水中，排开水的体积不等于乒乓球自身的体积，无法通过液面上升的数值计算出乒乓球的体积。
解析
(1)① 动手操作验证：将长方形硬纸板四个角剪掉同样大小的正方形后，把四周剩余的部分沿剪口边缘向上折叠，即可拼接成无盖的长方体收纳盒；若四个角剪掉的是同样大小的长方形，折叠后相邻侧面的高度不相等，侧边无法对齐拼接，不能制作成规则的长方体收纳盒。
② 收纳盒的底面是正方形，边长为原硬纸板边长减去2倍剪掉的正方形边长，收纳盒的高等于剪掉的正方形的边长，根据长方体容积=长×宽×高计算：剪掉边长3cm正方形时，底面边长为30-3×2=24cm，容积为24×24×3=1728cm³。再依次代入不同整厘米数的剪掉边长计算对应容积，对比可得最大容积对应的边长：
边长1cm：容积28×28×1=784cm³
边长2cm：容积26×26×2=1352cm³
边长3cm：容积1728cm³
边长4cm：容积22×22×4=1936cm³
边长5cm：容积20×20×5=2000cm³
边长6cm：容积18×18×6=1944cm³
边长大于5cm后容积逐渐减小，因此容积最大时剪掉的正方形边长为5cm。
(2)① 鸡蛋完全浸没在水中，鸡蛋体积=放入鸡蛋后总体积-原有水的体积，1mL=1cm³，计算得400-250=150cm³。
② 乒乓球密度比水小，放入量杯后漂浮在水面，没有完全浸没在水中，排开的水的体积小于乒乓球自身的体积，无法通过液面变化得到乒乓球的体积。
② 收纳盒的底面是正方形，边长为原硬纸板边长减去2倍剪掉的正方形边长，收纳盒的高等于剪掉的正方形的边长，根据长方体容积=长×宽×高计算：剪掉边长3cm正方形时，底面边长为30-3×2=24cm，容积为24×24×3=1728cm³。再依次代入不同整厘米数的剪掉边长计算对应容积，对比可得最大容积对应的边长：
边长1cm：容积28×28×1=784cm³
边长2cm：容积26×26×2=1352cm³
边长3cm：容积1728cm³
边长4cm：容积22×22×4=1936cm³
边长5cm：容积20×20×5=2000cm³
边长6cm：容积18×18×6=1944cm³
边长大于5cm后容积逐渐减小，因此容积最大时剪掉的正方形边长为5cm。
(2)① 鸡蛋完全浸没在水中，鸡蛋体积=放入鸡蛋后总体积-原有水的体积，1mL=1cm³，计算得400-250=150cm³。
② 乒乓球密度比水小，放入量杯后漂浮在水面，没有完全浸没在水中，排开的水的体积小于乒乓球自身的体积，无法通过液面变化得到乒乓球的体积。
(3)大江又用另外一种方法测量乒乓球的体积，实验过程及数据记录如下所示。
实验过程:先用橡皮泥将乒乓球完全裹住并制成一个棱长为5 cm的正方体;再将乒乓球从这个正方体橡皮泥中拿出来;最后把剩下的橡皮泥捏成长方体。
①根据大江记录的信息，请你算出这个乒乓球的体积是多少立方厘米。
②你还有什么办法可以求出乒乓球的体积？
实验过程:先用橡皮泥将乒乓球完全裹住并制成一个棱长为5 cm的正方体;再将乒乓球从这个正方体橡皮泥中拿出来;最后把剩下的橡皮泥捏成长方体。
①根据大江记录的信息，请你算出这个乒乓球的体积是多少立方厘米。
②你还有什么办法可以求出乒乓球的体积？
答案
① 乒乓球的体积是32.2立方厘米；② 示例：用细铁丝将乒乓球完全按入盛满水的容器中，收集溢出的水，溢出的水的体积就是乒乓球的体积（答案合理即可）。
解析
① 解题思路：乒乓球的体积等于初始裹住乒乓球的正方体橡皮泥的总体积，减去取出乒乓球后剩余橡皮泥捏成的长方体的体积。
1. 计算棱长为5cm的正方体橡皮泥的体积，根据正方体体积公式$V_{\mathrm{正}}=\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}$：
$V_{\mathrm{正}}=5×5×5=125\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算剩余橡皮泥捏成的长方体的体积，根据长方体体积公式$V_{\mathrm{长}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，已知长方体长宽高分别为5.8cm、4cm、4cm：
$V_{\mathrm{长}}=5.8×4×4=92.8\ \mathrm{cm}^3$
3. 计算乒乓球体积：$V_{\mathrm{球}}=125-92.8=32.2\ \mathrm{cm}^3$
② 可以使用压入排水法：将盛满水的容器放在空量杯里，用细铁丝把乒乓球完全按入水中，溢出到量杯中的水的体积就等于乒乓球的体积；也可以使用排沙法，将乒乓球完全埋入装满细沙的容器中，溢出的细沙的体积就是乒乓球的体积，方法合理即可。
1. 计算棱长为5cm的正方体橡皮泥的体积，根据正方体体积公式$V_{\mathrm{正}}=\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}$：
$V_{\mathrm{正}}=5×5×5=125\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算剩余橡皮泥捏成的长方体的体积，根据长方体体积公式$V_{\mathrm{长}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，已知长方体长宽高分别为5.8cm、4cm、4cm：
$V_{\mathrm{长}}=5.8×4×4=92.8\ \mathrm{cm}^3$
3. 计算乒乓球体积：$V_{\mathrm{球}}=125-92.8=32.2\ \mathrm{cm}^3$
② 可以使用压入排水法：将盛满水的容器放在空量杯里，用细铁丝把乒乓球完全按入水中，溢出到量杯中的水的体积就等于乒乓球的体积；也可以使用排沙法，将乒乓球完全埋入装满细沙的容器中，溢出的细沙的体积就是乒乓球的体积，方法合理即可。
