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1. 如图,在$△ ABC$中,$BO$平分$∠ ABC$,$CO$平分$∠ ACB$。若$∠ A=70°$,则$∠ O=$()
A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$140°$
A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
B
解析
【分析】
要计算∠O的度数，需结合三角形内角和定理与角平分线的性质。首先利用△ABC的内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的定义得到∠OBC和∠OCB的和，最后在△OBC中再次利用三角形内角和求出∠O。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=70°，则：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°。
因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据角平分线的定义，可得：
∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
因此∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
在△OBC中，根据三角形内角和为180°，则：
∠O = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的综合基础题，解题核心是利用角平分线转化角的关系，结合两次三角形内角和完成计算，难度较低，适合巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.6
要计算∠O的度数，需结合三角形内角和定理与角平分线的性质。首先利用△ABC的内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的定义得到∠OBC和∠OCB的和，最后在△OBC中再次利用三角形内角和求出∠O。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=70°，则：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°。
因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据角平分线的定义，可得：
∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
因此∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
在△OBC中，根据三角形内角和为180°，则：
∠O = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的综合基础题，解题核心是利用角平分线转化角的关系，结合两次三角形内角和完成计算，难度较低，适合巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.6
2. 如图，OP平分$∠ AOB$，$PC⊥ OA$于点C，点D在OB上。若$PC=3$，$OD=8$，则$△ POD$的面积为（）
A.3
B.8
C.12
D.24
A.3
B.8
C.12
D.24
答案
C
解析
【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积计算，解题思路是：利用角平分线上的点到角两边的距离相等，找到△POD的高，再结合三角形面积公式计算面积。
【解析】过点P作PE⊥OB于点E，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴PE = PC = 3。
已知OD = 8，
则△POD的面积 = $\frac{1}{2}×OD×PE$ = $\frac{1}{2}×8×3$ = 12。
【答案】C
【知识点】角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】本题是基础几何题，核心是运用角平分线的性质确定三角形的高，进而计算面积，难度不大，需牢记角平分线的性质定理。
【难度系数】0.5
【解析】过点P作PE⊥OB于点E，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴PE = PC = 3。
已知OD = 8，
则△POD的面积 = $\frac{1}{2}×OD×PE$ = $\frac{1}{2}×8×3$ = 12。
【答案】C
【知识点】角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】本题是基础几何题，核心是运用角平分线的性质确定三角形的高，进而计算面积，难度不大，需牢记角平分线的性质定理。
【难度系数】0.5
3. 如图，BE是∠ABC的平分线，D是BE上一点，F是BC上的一个动点。若△ABD的面积为30，AB=12，则线段DF的长不可能是（）
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
A
解析
【分析】要解决本题，需先利用角平分线的性质得到点D到AB和BC的距离相等，再结合三角形面积公式算出该距离，最后根据垂线段最短确定DF的取值范围，进而判断不可能的长度。
【解析】过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H。因为BE是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以DG=DH。已知△ABD的面积为30，AB=12，由三角形面积公式$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×DG$，代入得$30=\frac{1}{2}×12×DG$，解得$DG=5$，因此$DH=5$。由于F是BC上的动点，根据垂线段最短，DF≥DH=5，所以DF的长度不可能小于5，选项中只有4小于5，故答案为A。
【答案】A
【知识点】角平分线的性质、三角形面积计算、垂线段最短
【点评】本题综合考查角平分线性质、三角形面积公式及垂线段最短的知识点，解题核心是利用角平分线性质求出点D到BC的距离，再结合垂线段最短判断DF的范围，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.5
【解析】过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H。因为BE是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以DG=DH。已知△ABD的面积为30，AB=12，由三角形面积公式$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×DG$，代入得$30=\frac{1}{2}×12×DG$，解得$DG=5$，因此$DH=5$。由于F是BC上的动点，根据垂线段最短，DF≥DH=5，所以DF的长度不可能小于5，选项中只有4小于5，故答案为A。
【答案】A
【知识点】角平分线的性质、三角形面积计算、垂线段最短
【点评】本题综合考查角平分线性质、三角形面积公式及垂线段最短的知识点，解题核心是利用角平分线性质求出点D到BC的距离，再结合垂线段最短判断DF的范围，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.5
4. 如图，$△ ABC$的外角的平分线$BD$，$CE$相交于点$P$。若点$P$到$AC$的距离为$3$，则点$P$到$AB$的距离为$\underline{3}$。
答案
3
解析
【分析】
要解决本题，需运用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确点P是两个外角平分线的交点，结合角平分线的性质，可推导出点P到AB、AC、BC三边的距离关系，进而求出点P到AB的距离。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 因为CE是△ABC的外角平分线，点P在CE上，所以点P到AC的距离等于点P到BC的距离。已知点P到AC的距离为3，因此点P到BC的距离为3；
2. 因为BD是△ABC的外角平分线，点P在BD上，所以点P到AB的距离等于点P到BC的距离。结合步骤1的结论，可得点P到AB的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题考查角平分线性质的基础应用，核心是利用角平分线的性质建立点到各边距离的等量关系，属于基础题型，需熟练掌握角平分线的性质。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需运用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确点P是两个外角平分线的交点，结合角平分线的性质，可推导出点P到AB、AC、BC三边的距离关系，进而求出点P到AB的距离。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 因为CE是△ABC的外角平分线，点P在CE上，所以点P到AC的距离等于点P到BC的距离。已知点P到AC的距离为3，因此点P到BC的距离为3；
2. 因为BD是△ABC的外角平分线，点P在BD上，所以点P到AB的距离等于点P到BC的距离。结合步骤1的结论，可得点P到AB的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题考查角平分线性质的基础应用，核心是利用角平分线的性质建立点到各边距离的等量关系，属于基础题型，需熟练掌握角平分线的性质。
【难度系数】
0.6
5. 如图，CD是等腰三角形ABC底边AB上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E。若△BCE的面积为7，DE=2，则BC=。
答案
7
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合等腰三角形的性质和角平分线的性质推导：首先，等腰三角形底边的中线是底边上的高，因此CD垂直AB；其次，角平分线上的点到角两边的距离相等，据此可找到△BCE的高，再通过三角形面积公式计算BC的长度。
【解析】
解：过点E作EF⊥BC于点F。
∵△ABC是等腰三角形，CD是底边AB上的中线，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，CD⊥AB，即ED⊥AB。
又
∵BE平分∠ABC，且ED⊥AB，EF⊥BC，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得EF=DE=2。
已知△BCE的面积为7，根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，
则$ S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×BC×EF $，代入EF=2，$ S_{△ BCE}=7 $，
得：$ 7=\frac{1}{2}×BC×2 $，
化简得：$ BC=7 $。
【答案】
7
【知识点】
等腰三角形三线合一，角平分线性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查等腰三角形与角平分线的性质，解题核心是利用角平分线性质确定△BCE的高，再结合面积公式求解，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合等腰三角形的性质和角平分线的性质推导：首先，等腰三角形底边的中线是底边上的高，因此CD垂直AB；其次，角平分线上的点到角两边的距离相等，据此可找到△BCE的高，再通过三角形面积公式计算BC的长度。
【解析】
解：过点E作EF⊥BC于点F。
∵△ABC是等腰三角形，CD是底边AB上的中线，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，CD⊥AB，即ED⊥AB。
又
∵BE平分∠ABC，且ED⊥AB，EF⊥BC，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得EF=DE=2。
已知△BCE的面积为7，根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，
则$ S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×BC×EF $，代入EF=2，$ S_{△ BCE}=7 $，
得：$ 7=\frac{1}{2}×BC×2 $，
化简得：$ BC=7 $。
【答案】
7
【知识点】
等腰三角形三线合一，角平分线性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查等腰三角形与角平分线的性质，解题核心是利用角平分线性质确定△BCE的高，再结合面积公式求解，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
6. 如图，$∠ BOD$为直角，$OC$是$∠ BOD$的平分线，$∠ AOB=150°$。
(1)求$∠ AOC$的度数。
(2)若$∠ BOE:∠ AOD=2:3$，求$∠ COE$的度数。
(1)求$∠ AOC$的度数。
(2)若$∠ BOE:∠ AOD=2:3$，求$∠ COE$的度数。
答案
(1) $∠ AOC = 105°$；(2) $∠ COE$的度数为$5°$或$85°$。
解析
【分析】
第(1)问需利用直角定义和角平分线性质求出∠BOC，再通过∠AOB与∠BOC的差计算∠AOC；第(2)问先求出∠AOD，结合比例得∠BOE，因E点位置不确定，需分情况讨论OE的位置，进而计算∠COE。
【解析】
(1) 因为∠BOD为直角，所以∠BOD=90°。
又OC是∠BOD的平分线，故∠BOC=½∠BOD=½×90°=45°。
已知∠AOB=150°，则∠AOC=∠AOB - ∠BOC=150° - 45°=105°。
(2) 由∠AOB=150°，∠BOD=90°，得∠AOD=∠AOB - ∠BOD=150° - 90°=60°。
根据∠BOE:∠AOD=2:3，计算得∠BOE= (2/3)×60°=40°。
分两种情况：
① 当点E在OB与OC之间时，∠COE=∠BOC - ∠BOE=45° - 40°=5°；
② 当点E在OB的另一侧（即∠AOB外部）时，∠COE=∠BOC + ∠BOE=45° + 40°=85°。
【答案】
(1) ∠AOC=105°；(2) ∠COE的度数为5°或85°。
【知识点】
角平分线性质，角的和差，比例计算
【点评】
本题考查角的基本计算，核心是利用角平分线和角的和差关系，第(2)问需注意E点位置的不确定性，分类讨论避免漏解，是基础几何题的典型考法。
【难度系数】
0.4
第(1)问需利用直角定义和角平分线性质求出∠BOC，再通过∠AOB与∠BOC的差计算∠AOC；第(2)问先求出∠AOD，结合比例得∠BOE，因E点位置不确定，需分情况讨论OE的位置，进而计算∠COE。
【解析】
(1) 因为∠BOD为直角，所以∠BOD=90°。
又OC是∠BOD的平分线，故∠BOC=½∠BOD=½×90°=45°。
已知∠AOB=150°，则∠AOC=∠AOB - ∠BOC=150° - 45°=105°。
(2) 由∠AOB=150°，∠BOD=90°，得∠AOD=∠AOB - ∠BOD=150° - 90°=60°。
根据∠BOE:∠AOD=2:3，计算得∠BOE= (2/3)×60°=40°。
分两种情况：
① 当点E在OB与OC之间时，∠COE=∠BOC - ∠BOE=45° - 40°=5°；
② 当点E在OB的另一侧（即∠AOB外部）时，∠COE=∠BOC + ∠BOE=45° + 40°=85°。
【答案】
(1) ∠AOC=105°；(2) ∠COE的度数为5°或85°。
【知识点】
角平分线性质，角的和差，比例计算
【点评】
本题考查角的基本计算，核心是利用角平分线和角的和差关系，第(2)问需注意E点位置的不确定性，分类讨论避免漏解，是基础几何题的典型考法。
【难度系数】
0.4
