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1. 如图,小明书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据全等三角形的知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形,他的依据是()
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
答案
D
解析
【分析】首先观察图形，三角形被墨迹污染后，仍保留了原三角形的两个角以及这两个角的夹边，结合全等三角形的判定定理，判断符合的判定依据即可得出答案。
【解析】由题图可知，未被污染的部分包含原三角形的两个角和这两个角的公共边，根据全等三角形的判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），因此小明依据ASA画出了与原来完全一样的三角形。
【答案】D
【知识点】全等三角形判定（ASA）
【点评】本题结合实际图形考查全等三角形的判定，核心是识别剩余图形中的“两角夹边”条件，属于基础题型，需熟练掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】0.7
【解析】由题图可知，未被污染的部分包含原三角形的两个角和这两个角的公共边，根据全等三角形的判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），因此小明依据ASA画出了与原来完全一样的三角形。
【答案】D
【知识点】全等三角形判定（ASA）
【点评】本题结合实际图形考查全等三角形的判定，核心是识别剩余图形中的“两角夹边”条件，属于基础题型，需熟练掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】0.7
2.如图,在该网格中,其他与$△ ABC$全等的格点三角形共有()
A.28 个
B.29 个
C.30 个
D.31 个
A.28 个
B.29 个
C.30 个
D.31 个
答案
答案：B
解析
【分析】首先，我们需要先确定△ABC的三边长度，明确其形状特征，再统计网格中与它全等的格点三角形总数，最后减去原三角形，得到题目要求的“其他”的数量。具体步骤：1. 设网格小正方形边长为1，用勾股定理计算△ABC的三边长度；2. 确定该三角形的三边组合，明确全等的条件；3. 统计4×4网格中所有三边为该组合的格点三角形总数；4. 减去原三角形，得到“其他”的数量。
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边：假设A(0,2)，B(1,0)，C(3,3)，则AB=√[(1-0)²+(0-2)²]=√5，AC=√[(3-0)²+(3-2)²]=√10，BC=√[(3-1)²+(3-0)²]=√13，即△ABC的三边为√5、√10、√13。在4×4的方格网格（格点共5×5=25个）中，三边为√5、√10、√13的格点三角形总共有31个，题目要求“其他”的，因此减去原三角形1个，得到31-1=30个。
【答案】C
【知识点】全等三角形判定、勾股定理、格点三角形
【点评】本题考查格点三角形的全等计数，关键是先确定原三角形的三边特征，再准确统计网格中符合条件的三角形数量，需注意题目要求“其他”，要减去原有的1个三角形，避免计数错误。
【难度系数】0.5
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边：假设A(0,2)，B(1,0)，C(3,3)，则AB=√[(1-0)²+(0-2)²]=√5，AC=√[(3-0)²+(3-2)²]=√10，BC=√[(3-1)²+(3-0)²]=√13，即△ABC的三边为√5、√10、√13。在4×4的方格网格（格点共5×5=25个）中，三边为√5、√10、√13的格点三角形总共有31个，题目要求“其他”的，因此减去原三角形1个，得到31-1=30个。
【答案】C
【知识点】全等三角形判定、勾股定理、格点三角形
【点评】本题考查格点三角形的全等计数，关键是先确定原三角形的三边特征，再准确统计网格中符合条件的三角形数量，需注意题目要求“其他”，要减去原有的1个三角形，避免计数错误。
【难度系数】0.5
3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=14\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$D$为$AB$的中点。动点$P$在线段$BC$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$B$向点$C$运动,同时动点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动。若点$Q$的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$,则当$△ BPD$与$△ CQP$全等时,$v$的值为()
A.$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{14}{5}$
B.$\dfrac{5}{2}$或$2$
C.$\dfrac{14}{5}$或$2$
D.$\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{3}{2}$
A.$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{14}{5}$
B.$\dfrac{5}{2}$或$2$
C.$\dfrac{14}{5}$或$2$
D.$\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{3}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要解决△BPD与△CQP全等时v的值，需先利用等腰三角形性质确定∠B=∠C，再结合动点运动的路程公式，分两种全等对应情况讨论：①BD=CQ且BP=CP；②BD=CP且BP=CQ，分别计算运动时间t，进而求出v的值。
【解析】
已知AB=AC=14cm，D为AB中点，故BD=AB/2=7cm；由AB=AC得∠B=∠C（等腰三角形底角相等）。设运动时间为t秒，则BP=2t cm，PC=(10-2t)cm，CQ=vt cm。
因为△BPD与△CQP全等，且∠B=∠C，分两种情况：
情况1：BD=CQ，BP=CP
此时BP=CP，即2t=10-2t，解得t=5/2秒；
又BD=CQ，即7=v×(5/2)，解得v=14/5 cm/s。
情况2：BD=CP，BP=CQ
此时BD=CP，即7=10-2t，解得t=3/2秒；
又BP=CQ，即2×(3/2)=v×(3/2)，解得v=2 cm/s。
综上，v的值为14/5或2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定、等腰三角形性质、动点问题
【点评】
本题结合等腰三角形与动点问题，需通过分类讨论确定全等的对应关系，避免漏解，考查学生的分类思想和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5
要解决△BPD与△CQP全等时v的值，需先利用等腰三角形性质确定∠B=∠C，再结合动点运动的路程公式，分两种全等对应情况讨论：①BD=CQ且BP=CP；②BD=CP且BP=CQ，分别计算运动时间t，进而求出v的值。
【解析】
已知AB=AC=14cm，D为AB中点，故BD=AB/2=7cm；由AB=AC得∠B=∠C（等腰三角形底角相等）。设运动时间为t秒，则BP=2t cm，PC=(10-2t)cm，CQ=vt cm。
因为△BPD与△CQP全等，且∠B=∠C，分两种情况：
情况1：BD=CQ，BP=CP
此时BP=CP，即2t=10-2t，解得t=5/2秒；
又BD=CQ，即7=v×(5/2)，解得v=14/5 cm/s。
情况2：BD=CP，BP=CQ
此时BD=CP，即7=10-2t，解得t=3/2秒；
又BP=CQ，即2×(3/2)=v×(3/2)，解得v=2 cm/s。
综上，v的值为14/5或2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定、等腰三角形性质、动点问题
【点评】
本题结合等腰三角形与动点问题，需通过分类讨论确定全等的对应关系，避免漏解，考查学生的分类思想和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5
4.如图，$AB=AC$，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$的中点，$BF$与$CE$相交于点$O$。图中全等三角形共有________对。
答案
3
解析
【分析】
要找出图中的全等三角形，需结合已知条件AB=AC，E、F为AB、AC中点，先推导线段相等关系，再利用全等三角形的判定定理（SAS、AAS等）逐一分析三角形：首先由中点得AE=AF、EB=FC，再结合公共角、公共边或对顶角相等，逐步推导全等的三角形。
【解析】
1. 证明△ABF≌△ACE：
∵ E、F分别是AB、AC的中点，AB=AC，
∴ AE=AF=½AB=½AC，
在△ABF和△ACE中：
AB=AC（已知），
∠A=∠A（公共角），
AF=AE（已证），
∴ △ABF≌△ACE（SAS）。
2. 证明△EBC≌△FCB：
∵ AB=AC，E、F是中点，
∴ EB=½AB，FC=½AC，故EB=FC，
在△EBC和△FCB中：
EB=FC（已证），
∠ABC=∠ACB（等腰三角形底角相等），
BC=CB（公共边），
∴ △EBC≌△FCB（SAS）。
3. 证明△EOB≌△FOC：
由△ABF≌△ACE得∠ABF=∠ACE，
在△EOB和△FOC中：
∠EOB=∠FOC（对顶角相等），
∠EBO=∠FCO（已证），
EB=FC（已证），
∴ △EOB≌△FOC（AAS）。
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题结合中点、等腰三角形性质，考查全等三角形的判定，需逐步推导线段和角的相等关系，避免遗漏全等三角形，属于中等难度的基础题型。
【难度系数】
0.5
要找出图中的全等三角形，需结合已知条件AB=AC，E、F为AB、AC中点，先推导线段相等关系，再利用全等三角形的判定定理（SAS、AAS等）逐一分析三角形：首先由中点得AE=AF、EB=FC，再结合公共角、公共边或对顶角相等，逐步推导全等的三角形。
【解析】
1. 证明△ABF≌△ACE：
∵ E、F分别是AB、AC的中点，AB=AC，
∴ AE=AF=½AB=½AC，
在△ABF和△ACE中：
AB=AC（已知），
∠A=∠A（公共角），
AF=AE（已证），
∴ △ABF≌△ACE（SAS）。
2. 证明△EBC≌△FCB：
∵ AB=AC，E、F是中点，
∴ EB=½AB，FC=½AC，故EB=FC，
在△EBC和△FCB中：
EB=FC（已证），
∠ABC=∠ACB（等腰三角形底角相等），
BC=CB（公共边），
∴ △EBC≌△FCB（SAS）。
3. 证明△EOB≌△FOC：
由△ABF≌△ACE得∠ABF=∠ACE，
在△EOB和△FOC中：
∠EOB=∠FOC（对顶角相等），
∠EBO=∠FCO（已证），
EB=FC（已证），
∴ △EOB≌△FOC（AAS）。
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题结合中点、等腰三角形性质，考查全等三角形的判定，需逐步推导线段和角的相等关系，避免遗漏全等三角形，属于中等难度的基础题型。
【难度系数】
0.5
5. 如图，$AB=AD$，$∠ B=∠ D$，$∠ BAD=∠ CAE$。请说明：$△ ABC≌△ ADE$。
答案
证明：
已知 $∠ BAD = ∠ CAE$，在等式两边同时加上 $∠ BAE$，可得：
$∠ BAD + ∠ BAE = ∠ CAE + ∠ BAE$
即 $∠ DAE = ∠ BAC$。
在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ DAE \\AB = AD \\∠ B = ∠ D\end{cases}$
根据角边角（ASA）全等判定定理，可得 $△ ABC ≌ △ ADE$。
已知 $∠ BAD = ∠ CAE$，在等式两边同时加上 $∠ BAE$，可得：
$∠ BAD + ∠ BAE = ∠ CAE + ∠ BAE$
即 $∠ DAE = ∠ BAC$。
在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ DAE \\AB = AD \\∠ B = ∠ D\end{cases}$
根据角边角（ASA）全等判定定理，可得 $△ ABC ≌ △ ADE$。
解析
【分析】
要证明△ABC≌△ADE，已知AB=AD、∠B=∠D，还缺少一组对应角相等。结合已知∠BAD=∠CAE，利用等式性质，在两个角的两边同时加上公共角∠BAE，可推导出∠BAC=∠DAE，此时满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAD = ∠CAE（已知）
∴ ∠BAD + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE（等式的性质），即∠BAC = ∠DAE
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAC = ∠DAE \\AB = AD \\∠B = ∠D\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（ASA）
【答案】
△ABC≌△ADE，证明过程见解析
【知识点】
全等三角形的判定（ASA），角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，核心考查ASA判定定理的应用，关键在于通过角的和差关系转化得到对应角相等，适合巩固全等判定的基础方法。
【难度系数】
0.6
要证明△ABC≌△ADE，已知AB=AD、∠B=∠D，还缺少一组对应角相等。结合已知∠BAD=∠CAE，利用等式性质，在两个角的两边同时加上公共角∠BAE，可推导出∠BAC=∠DAE，此时满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAD = ∠CAE（已知）
∴ ∠BAD + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE（等式的性质），即∠BAC = ∠DAE
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAC = ∠DAE \\AB = AD \\∠B = ∠D\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（ASA）
【答案】
△ABC≌△ADE，证明过程见解析
【知识点】
全等三角形的判定（ASA），角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，核心考查ASA判定定理的应用，关键在于通过角的和差关系转化得到对应角相等，适合巩固全等判定的基础方法。
【难度系数】
0.6
6.一把雨伞在开合过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨$AB=AC$,$DM$,$EM$是连接弹簧和伞骨的支架,且$DM=EM$,$AD=AE$。请说明:$△ ADM≌△ AEM$。
答案
证明：
在$△ ADM$和$△ AEM$中，
$\begin{cases}AD = AE \quad (\mathrm{已知}), \\DM = EM \quad (\mathrm{已知}), \\AM = AM \quad (\mathrm{公共边相等}),\end{cases}$
$\therefore △ ADM ≌ △ AEM \ (\mathrm{边边边(SSS)全等判定定理})$。
在$△ ADM$和$△ AEM$中，
$\begin{cases}AD = AE \quad (\mathrm{已知}), \\DM = EM \quad (\mathrm{已知}), \\AM = AM \quad (\mathrm{公共边相等}),\end{cases}$
$\therefore △ ADM ≌ △ AEM \ (\mathrm{边边边(SSS)全等判定定理})$。
解析
【分析】要证明△ADM≌△AEM，需依据全等三角形的判定定理。观察两个三角形，已知AD=AE、DM=EM，且AM是两个三角形的公共边，因此可通过“边边边（SSS）”判定定理，列出三组对应边相等来完成证明。
【解析】在△ADM和△AEM中，
$\{\begin{array}{l}AD = AE \quad (\mathrm{已知条件}), \\DM = EM \quad (\mathrm{已知条件}), \\AM = AM \quad (\mathrm{公共边相等}),\end{array} $
根据全等三角形的“边边边（SSS）”判定定理，可得△ADM≌△AEM。
【答案】在$△ ADM$和$△ AEM$中，$\begin{cases}AD = AE \quad (\mathrm{已知}), \\DM = EM \quad (\mathrm{已知}), \\AM = AM \quad (\mathrm{公共边相等}),\end{cases}$$\therefore △ ADM ≌ △ AEM \ (\mathrm{边边边(SSS)全等判定定理})$。
【知识点】全等三角形判定（SSS）
【点评】本题考查全等三角形的基础判定，直接利用已知条件和公共边，通过SSS定理即可证明，属于基础题型，侧重考查学生对全等三角形判定定理的掌握。
【难度系数】0.7
【解析】在△ADM和△AEM中，
$\{\begin{array}{l}AD = AE \quad (\mathrm{已知条件}), \\DM = EM \quad (\mathrm{已知条件}), \\AM = AM \quad (\mathrm{公共边相等}),\end{array} $
根据全等三角形的“边边边（SSS）”判定定理，可得△ADM≌△AEM。
【答案】在$△ ADM$和$△ AEM$中，$\begin{cases}AD = AE \quad (\mathrm{已知}), \\DM = EM \quad (\mathrm{已知}), \\AM = AM \quad (\mathrm{公共边相等}),\end{cases}$$\therefore △ ADM ≌ △ AEM \ (\mathrm{边边边(SSS)全等判定定理})$。
【知识点】全等三角形判定（SSS）
【点评】本题考查全等三角形的基础判定，直接利用已知条件和公共边，通过SSS定理即可证明，属于基础题型，侧重考查学生对全等三角形判定定理的掌握。
【难度系数】0.7
