【问题情境】
在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题。如图，在$△ ABC$中，$M,N$分别为$AB,AC$上的动点（不含端点），且$AN=BM$。
【初步尝试】
(1)如图1，当$△ ABC$为等边三角形时，小颜发现：将$MA$绕点$M$逆时针旋转$120°$，得到$MD$，连接$BD$，请写出$MN$与$DB$之间的数量关系，并说明理由。
【类比探究】
(2)小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在$△ ABC$中，$AB=AC,∠ BAC=90°$，$AE⊥ MN$于点$E$，交$BC$于点$F$，将$MA$绕点$M$逆时针旋转$90°$，得到$MD$，连接$DA,DB$。试猜想四边形$AFBD$的形状，并说明理由。
【拓展延伸】
(3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在$△ ABC$中，$AB=AC=4,∠ BAC=90°$，连接$BN,CM$，请直接写出$BN+CM$的最小值。

(1) $\boldsymbol{MN=DB}$，理由见上述解析；
(2) 四边形$AFBD$是$\boldsymbol{平行四边形}$，理由见上述解析；
(3) $BN+CM$的最小值为$\boldsymbol{4\sqrt{5}}$。

(1) $MN=DB$，理由如下：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$∠ A=60°$，
由旋转性质得：$MD=MA$，$∠ AMD=120°$，
又$\because M$在$AB$上，$\therefore ∠ DMB=180°-∠ AMD=60°$，即$∠ DMB=∠ A$，
已知$AN=BM$，
在$△ MBD$和$△ ANM$中：
$\begin{cases} MD=MA \\ ∠ DMB=∠ A \\ BM=AN \end{cases}$
$\therefore △ MBD ≌ △ ANM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore MN=DB$。
(2) 四边形$AFBD$是平行四边形，理由如下：
由旋转性质得：$MD=MA$，$∠ AMD=90°$，
$\therefore △ AMD$是等腰直角三角形，$∠ MAD=45°$，
$\because ∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=45°$，即$∠ MAD=∠ ABC$，
$\therefore DA// BF$（同位角相等，两直线平行）。
$\because M$在$AB$上，$∠ AMD=90°$，$\therefore ∠ DMB=90°=∠ MAN$，
在$△ DBM$和$△ MNA$中：
$\begin{cases} MD=MA \\ ∠ DMB=∠ MAN \\ BM=AN \end{cases}$
$\therefore △ DBM ≌ △ MNA(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ DBM=∠ AMN$，
$\because AE⊥ MN$，$\therefore ∠ EAM + ∠ AMN=90°$，
又$\because ∠ EAM + ∠ BAF=90°$，
$\therefore ∠ AMN=∠ BAF$，即$∠ DBM=∠ BAF$，
$\therefore DB// AF$（内错角相等，两直线平行），
$\because DA// BF$，$DB// AF$，
$\therefore$ 四边形$AFBD$两组对边分别平行，是平行四边形。
(3) 设$AN=BM=x$，由$AB=AC=4$，$∠ BAC=90°$得：
$BN=\sqrt{AB^2+AN^2}=\sqrt{x^2+4^2}$，$CM=\sqrt{AC^2+AM^2}=\sqrt{(4-x)^2+4^2}$，
该式的几何意义为：$x$轴上动点$(x,0)$到定点$(0,4)$和$(4,4)$的距离之和，由将军饮马模型，作点$(0,4)$关于$x$轴的对称点$(0,-4)$，两点$(0,-4)$和$(4,4)$的连线长度即为最小值：
$\sqrt{(4-0)^2+(4+4)^2}=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$。