1.已知平面直角坐标系中有一点$P(m,3m-2)$，无论$m$取何值，点$P$不可能在()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

B

我们通过分象限列不等式组讨论：
1. 若点P在第一象限：需满足$\begin{cases}m＞0 \\ 3m-2＞0\end{cases}$，解得$m＞\frac{2}{3}$，存在符合条件的m；
2. 若点P在第二象限：需满足$\begin{cases}m＜0 \\ 3m-2＞0\end{cases}$，解得$m＜0$且$m＞\frac{2}{3}$，无实数解，不存在符合条件的m；
3. 若点P在第三象限：需满足$\begin{cases}m＜0 \\ 3m-2＜0\end{cases}$，解得$m＜0$，存在符合条件的m；
4. 若点P在第四象限：需满足$\begin{cases}m＞0 \\ 3m-2＜0\end{cases}$，解得$0＜m＜\frac{2}{3}$，存在符合条件的m。
因此无论m取何值，点P都不可能在第二象限。

2. 如图,在$□ ABCD$中,$∠B=60°,AB=1,BC=2$。将$AB$绕点$A$逆时针旋转角$α(0°＜α＜360°)$,得到$AP$,连接$PC,PD$。当$△ PCD$为等腰三角形时,$PD$的值为________。

$1$或$\sqrt{3}$或$\sqrt{7}$

在平行四边形$□ABCD$中，由平行四边形性质可得：$CD=AB=1$，$AD=BC=2$，$∠ ADC=∠ B=60°$。
过点$A$作$AH⊥ BC$于$H$，在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$∠ B=60°$，$AB=1$，得$BH=\frac{1}{2}$，$AH=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$HC=BC-BH=\frac{3}{2}$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{3}$。
又$AB^2+AC^2=1+3=4=BC^2$，故$∠ BAC=90°$，结合$AB// CD$，得$∠ ACD=90°$。
由旋转性质可知$AP=AB=1$，即点$P$的轨迹是以$A$为圆心、半径为1的圆，分三类讨论$△ PCD$为等腰三角形的情况：
1. 当$CD=DP=1$时：圆心距$AD=2$，半径均为1的$\odot A$和$\odot D$外切，切点在线段$AD$上，此时$PD=1$；
2. 当$CD=CP=1$时：联立$\odot A(r=1)$和$\odot C(r=1)$的方程，得到两个交点，其中一个对应$PD=1$，另一个交点满足$∠ PCD=120°$，由余弦定理得$PD^2=CP^2+CD^2-2· CP· CD· \cos120°=3$，即$PD=\sqrt{3}$；
3. 当$PC=PD$时：点$P$在$CD$的垂直平分线上，联立轨迹方程解得符合条件的点，由余弦定理得$PD^2=AP^2+AD^2-2· AP· AD· \cos120°=7$，即$PD=\sqrt{7}$。
综上，所有符合条件的$PD$的值为$1$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{7}$。

3.【问题情境】
江西特色水果赣南脐橙、南丰蜜橘品质优良、口感清甜，深受广大消费者喜爱。某兴趣小组为了了解以上两种水果在某特产店的销售情况，经调查得知：购进3箱赣南脐橙和4箱南丰蜜橘共需340元，购进4箱赣南脐橙和5箱南丰蜜橘共需440元。
【问题解决】
(1)分别求出每箱赣南脐橙、南丰蜜橘的进价。
(2)该特产店计划用不超过10 440元的资金购进赣南脐橙、南丰蜜橘共200箱，且赣南脐橙的数量不低于南丰蜜橘数量的$\frac{3}{2}$，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每箱赣南脐橙的售价为90元，每箱南丰蜜橘的售价为65元，且购进的水果全部售完，在(2)的条件下，怎样进货可使该特产店获得的利润最大？最大利润为多少元？

(1) 每箱赣南脐橙进价为60元，每箱南丰蜜橘进价为40元；
(2) 共有3种进货方案：
方案一：购进赣南脐橙120箱，南丰蜜橘80箱；
方案二：购进赣南脐橙121箱，南丰蜜橘79箱；
方案三：购进赣南脐橙122箱，南丰蜜橘78箱；
(3) 购进赣南脐橙122箱、南丰蜜橘78箱时获得的利润最大，最大利润为5610元。

(1) 设每箱赣南脐橙的进价为x元，每箱南丰蜜橘的进价为y元，根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}3x+4y=340\\4x+5y=440\end{cases}$
用加减消元法求解：将第一个方程两边乘4得$12x+16y=1360$，第二个方程两边乘3得$12x+15y=1320$，两式相减得$y=40$，把$y=40$代入$3x+4y=340$，解得$x=60$。
(2) 设购进赣南脐橙a箱，则购进南丰蜜橘$(200-a)$箱，根据题意列一元一次不等式组：
$\begin{cases}60a + 40(200-a) ≤ 10440\\a ≥ \frac{3}{2}(200-a)\end{cases}$
解第一个不等式：$20a + 8000 ≤ 10440$，得$a ≤ 122$；
解第二个不等式：$2a ≥ 600 - 3a$，得$a ≥ 120$。
因为a为正整数，所以a的取值为120、121、122，对应得到3种进货方案。
(3) 设销售完所有水果获得的总利润为W元，每箱赣南脐橙的利润为$90-60=30$元，每箱南丰蜜橘的利润为$65-40=25$元，因此总利润表达式为：
$W=30a + 25(200-a) = 5a + 5000$
因为一次项系数5＞0，W随a的增大而增大，因此当a取最大值122时，W取得最大值，代入计算即可得到最大利润。