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本单元我们知道了加法和乘法都有交换律和结合律。此外,乘法还有分配律,那么除法有没有分配律呢？让我们来探究一下吧！
我的猜想
乘法分配律用字母表示：
$(a+b)×c=a×c+b×c$
$a×(b+c)=a×b+a×c$
我觉得除法如果也有分配律,那么会有下面两个式子。
猜想1:$(a+b)÷c=a÷c+b÷c$($c$不为0)
猜想2:$a÷(b+c)=a÷b+a÷c$($b$、$c$均不为0)
我的验证
1 举例验证
(1)验证猜想1:
$(12+36)÷3$ $12÷3+36÷3$ $(711+189)÷9$ $711÷9+189÷9$
我发现猜想1(
仿照上面每组算式,再举两组类似的算式验证猜想1。
算式组①:
算式组②:
(2)验证猜想2:
上面每组算式中,除数都是相同的。如果换作被除数相同,例如:
$24÷(6+2)$与$24÷6+24÷2$,结果是否相等呢？请你再举两组被除数相同的算式进行观察。
算式组①:
算式组②:
我发现猜想2(
2 数形结合验证
(1)求下图中最大长方形的长。
(用两种方法列综合算式计算)
(2)下图中最大长方形的面积是$2400\ \mathrm{cm^{2}}$,求最大长方形的宽。
3 情境验证
(1)如图,班级图书角添置了一些新书。为了方便同学们轮流阅读,王老师决定将这些新书平均分给4个小组。那么每个小组能分到多少本新书？
(用两种方法列综合算式解答)
(2)期末表彰会上,张老师有12本笔记本,要平均分给获奖的4位男同学和2位女同学,每位同学能分到多少本笔记本？
我的结论
结论:猜想1(
我的应用
计算下面各题,能简算的要简算。
$126÷9+54÷9$ $632÷8-232÷8$ $600÷(3+2)$ $(126+36-48)÷6$
我的猜想
乘法分配律用字母表示：
$(a+b)×c=a×c+b×c$
$a×(b+c)=a×b+a×c$
我觉得除法如果也有分配律,那么会有下面两个式子。
猜想1:$(a+b)÷c=a÷c+b÷c$($c$不为0)
猜想2:$a÷(b+c)=a÷b+a÷c$($b$、$c$均不为0)
我的验证
1 举例验证
(1)验证猜想1:
$(12+36)÷3$ $12÷3+36÷3$ $(711+189)÷9$ $711÷9+189÷9$
我发现猜想1(
成立
)。(填“成立”或“不成立”)仿照上面每组算式,再举两组类似的算式验证猜想1。
算式组①:
$(16+4)÷4=5$ $16÷4+4÷4=5$
算式组②:
$(72+18)÷2=45$ $72÷2+18÷2=45$
(2)验证猜想2:
上面每组算式中,除数都是相同的。如果换作被除数相同,例如:
$24÷(6+2)$与$24÷6+24÷2$,结果是否相等呢？请你再举两组被除数相同的算式进行观察。
算式组①:
$48÷(4+4)=6$ $48÷4+48÷4=24$
算式组②:
$72÷(3+6)=8$ $72÷3+72÷6=36$
我发现猜想2(
不成立
)。(填“成立”或“不成立”)2 数形结合验证
(1)求下图中最大长方形的长。
(用两种方法列综合算式计算)
(2)下图中最大长方形的面积是$2400\ \mathrm{cm^{2}}$,求最大长方形的宽。
3 情境验证
(1)如图,班级图书角添置了一些新书。为了方便同学们轮流阅读,王老师决定将这些新书平均分给4个小组。那么每个小组能分到多少本新书？
(用两种方法列综合算式解答)
(2)期末表彰会上,张老师有12本笔记本,要平均分给获奖的4位男同学和2位女同学,每位同学能分到多少本笔记本？
我的结论
结论:猜想1(
成立
),猜想2(不成立
)。(填“成立”或“不成立”)我的应用
计算下面各题,能简算的要简算。
$126÷9+54÷9$ $632÷8-232÷8$ $600÷(3+2)$ $(126+36-48)÷6$
答案
我的验证
1. (1)16 16 100 100 (过程略)
成立
$(16+4)÷4=5$ $16÷4+4÷4=5$
$\underline{(72+18)÷2=45}$ $\underline{72÷2+18÷2=45}$
(画线部分答案不唯一)
(2)$\underline{48÷(4+4)=6}$ $\underline{48÷4+48÷4=24}$
$\underline{72÷(3+6)=8}$ $\underline{72÷3+72÷6=36}$
不成立
(画线部分答案不唯一)
2. (1)方法一:$(40+120)÷8=20(m)$
方法二:$40÷8+120÷8=20(m)$
(2)$2400÷(20+60)=30(cm)$
3. (1)方法一:$(24+36)÷4=15$(本)
方法二:$24÷4+36÷4=15$(本)
答:每个小组能分到15本新书。
(2)$12÷(4+2)=2$(本)
答:每位同学能分到2本笔记本。
我的结论
成立 不成立
我的应用
20 50 120 19 (过程略)
1. (1)16 16 100 100 (过程略)
成立
$(16+4)÷4=5$ $16÷4+4÷4=5$
$\underline{(72+18)÷2=45}$ $\underline{72÷2+18÷2=45}$
(画线部分答案不唯一)
(2)$\underline{48÷(4+4)=6}$ $\underline{48÷4+48÷4=24}$
$\underline{72÷(3+6)=8}$ $\underline{72÷3+72÷6=36}$
不成立
(画线部分答案不唯一)
2. (1)方法一:$(40+120)÷8=20(m)$
方法二:$40÷8+120÷8=20(m)$
(2)$2400÷(20+60)=30(cm)$
3. (1)方法一:$(24+36)÷4=15$(本)
方法二:$24÷4+36÷4=15$(本)
答:每个小组能分到15本新书。
(2)$12÷(4+2)=2$(本)
答:每位同学能分到2本笔记本。
我的结论
成立 不成立
我的应用
20 50 120 19 (过程略)
解析
【分析】
我们要探究除法是否存在类似乘法的分配律，分为两个猜想。首先通过举例验证：对于猜想1，先计算题目给出的两组算式，对比左右两边的结果判断是否成立，再自主举两组类似算式进一步验证；对于猜想2，计算题目给出的例子，再举两组被除数相同的算式，对比结果判断是否成立。接着用数形结合的方式，通过计算长方形的长和宽，从几何角度验证两个猜想。然后结合实际情境，用分书和分笔记本的问题，从生活应用角度验证。最后根据所有验证结果得出结论，再运用结论对给出的算式进行简便计算或正常计算。每一步验证都是为了通过不同角度确认猜想的正确性，确保结论严谨。
【解析】
我的验证
1. 举例验证
(1) 验证猜想1：
计算：$(12+36)÷3=48÷3=16$，$12÷3+36÷3=4+12=16$；
$(711+189)÷9=900÷9=100$，$711÷9+189÷9=79+21=100$。
对比结果可知猜想1成立。
仿照举例：
算式组①：$(16+4)÷4=20÷4=5$，$16÷4+4÷4=4+1=5$
算式组②：$(72+18)÷2=90÷2=45$，$72÷2+18÷2=36+9=45$（答案不唯一）
(2) 验证猜想2：
计算题目例子：$24÷(6+2)=24÷8=3$，$24÷6+24÷2=4+12=16$，结果不相等。
自主举例：
算式组①：$48÷(4+4)=48÷8=6$，$48÷4+48÷4=12+12=24$
算式组②：$72÷(3+6)=72÷9=8$，$72÷3+72÷6=24+12=36$（答案不唯一）
对比结果可知猜想2不成立。
2. 数形结合验证
(1) 求最大长方形的长：
方法一：先算两个小长方形的面积和，再除以宽，即$(40+120)÷8=160÷8=20(m)$
方法二：分别算出两个小长方形的长，再相加，即$40÷8+120÷8=5+15=20(m)$
(2) 求最大长方形的宽：
用总面积除以长的和，即$2400÷(20+60)=2400÷80=30(cm)$
3. 情境验证
(1) 每个小组分到的新书数量：
方法一：先算新书总数，再除以小组数，即$(24+36)÷4=60÷4=15$(本)
方法二：分别算出两种书每个小组分到的数量，再相加，即$24÷4+36÷4=6+9=15$(本)
答：每个小组能分到15本新书。
(2) 每位同学分到的笔记本数量：
先算获奖总人数，再用笔记本总数除以总人数，即$12÷(4+2)=12÷6=2$(本)
答：每位同学能分到2本笔记本。
我的结论
猜想1成立，猜想2不成立。
我的应用
$126÷9+54÷9=(126+54)÷9=180÷9=20$
$632÷8-232÷8=(632-232)÷8=400÷8=50$
$600÷(3+2)=600÷5=120$
$(126+36-48)÷6=(162-48)÷6=114÷6=19$
【答案】
我的验证
1. (1) 16；16；100；100；成立；$(16+4)÷4=5$，$16÷4+4÷4=5$；$(72+18)÷2=45$，$72÷2+18÷2=45$（画线部分答案不唯一）
(2) $48÷(4+4)=6$，$48÷4+48÷4=24$；$72÷(3+6)=8$，$72÷3+72÷6=36$（画线部分答案不唯一）；不成立
2. (1) $(40+120)÷8=20(m)$；$40÷8+120÷8=20(m)$
(2) $2400÷(20+60)=30(cm)$
3. (1) $(24+36)÷4=15$(本)；$24÷4+36÷4=15$(本)；答：每个小组能分到15本新书。
(2) $12÷(4+2)=2$(本)；答：每位同学能分到2本笔记本。
我的结论
成立；不成立
我的应用
20；50；120；19
【知识点】
除法分配律探究；四则混合运算；数形结合思想
【点评】
本题通过举例、数形结合、实际情境三种方式深入探究除法分配律，帮助学生明确只有$(a+b)÷c=a÷c+b÷c$（$c≠0$）成立，而$a÷(b+c)=a÷b+a÷c$（$b、c≠0$）不成立，培养了学生的探究能力与严谨的数学思维，同时引导学生运用规律进行四则混合运算的简便计算，提升运算能力。
【难度系数】
0.6
我们要探究除法是否存在类似乘法的分配律，分为两个猜想。首先通过举例验证：对于猜想1，先计算题目给出的两组算式，对比左右两边的结果判断是否成立，再自主举两组类似算式进一步验证；对于猜想2，计算题目给出的例子，再举两组被除数相同的算式，对比结果判断是否成立。接着用数形结合的方式，通过计算长方形的长和宽，从几何角度验证两个猜想。然后结合实际情境，用分书和分笔记本的问题，从生活应用角度验证。最后根据所有验证结果得出结论，再运用结论对给出的算式进行简便计算或正常计算。每一步验证都是为了通过不同角度确认猜想的正确性，确保结论严谨。
【解析】
我的验证
1. 举例验证
(1) 验证猜想1：
计算：$(12+36)÷3=48÷3=16$，$12÷3+36÷3=4+12=16$；
$(711+189)÷9=900÷9=100$，$711÷9+189÷9=79+21=100$。
对比结果可知猜想1成立。
仿照举例：
算式组①：$(16+4)÷4=20÷4=5$，$16÷4+4÷4=4+1=5$
算式组②：$(72+18)÷2=90÷2=45$，$72÷2+18÷2=36+9=45$（答案不唯一）
(2) 验证猜想2：
计算题目例子：$24÷(6+2)=24÷8=3$，$24÷6+24÷2=4+12=16$，结果不相等。
自主举例：
算式组①：$48÷(4+4)=48÷8=6$，$48÷4+48÷4=12+12=24$
算式组②：$72÷(3+6)=72÷9=8$，$72÷3+72÷6=24+12=36$（答案不唯一）
对比结果可知猜想2不成立。
2. 数形结合验证
(1) 求最大长方形的长：
方法一：先算两个小长方形的面积和，再除以宽，即$(40+120)÷8=160÷8=20(m)$
方法二：分别算出两个小长方形的长，再相加，即$40÷8+120÷8=5+15=20(m)$
(2) 求最大长方形的宽：
用总面积除以长的和，即$2400÷(20+60)=2400÷80=30(cm)$
3. 情境验证
(1) 每个小组分到的新书数量：
方法一：先算新书总数，再除以小组数，即$(24+36)÷4=60÷4=15$(本)
方法二：分别算出两种书每个小组分到的数量，再相加，即$24÷4+36÷4=6+9=15$(本)
答：每个小组能分到15本新书。
(2) 每位同学分到的笔记本数量：
先算获奖总人数，再用笔记本总数除以总人数，即$12÷(4+2)=12÷6=2$(本)
答：每位同学能分到2本笔记本。
我的结论
猜想1成立，猜想2不成立。
我的应用
$126÷9+54÷9=(126+54)÷9=180÷9=20$
$632÷8-232÷8=(632-232)÷8=400÷8=50$
$600÷(3+2)=600÷5=120$
$(126+36-48)÷6=(162-48)÷6=114÷6=19$
【答案】
我的验证
1. (1) 16；16；100；100；成立；$(16+4)÷4=5$，$16÷4+4÷4=5$；$(72+18)÷2=45$，$72÷2+18÷2=45$（画线部分答案不唯一）
(2) $48÷(4+4)=6$，$48÷4+48÷4=24$；$72÷(3+6)=8$，$72÷3+72÷6=36$（画线部分答案不唯一）；不成立
2. (1) $(40+120)÷8=20(m)$；$40÷8+120÷8=20(m)$
(2) $2400÷(20+60)=30(cm)$
3. (1) $(24+36)÷4=15$(本)；$24÷4+36÷4=15$(本)；答：每个小组能分到15本新书。
(2) $12÷(4+2)=2$(本)；答：每位同学能分到2本笔记本。
我的结论
成立；不成立
我的应用
20；50；120；19
【知识点】
除法分配律探究；四则混合运算；数形结合思想
【点评】
本题通过举例、数形结合、实际情境三种方式深入探究除法分配律，帮助学生明确只有$(a+b)÷c=a÷c+b÷c$（$c≠0$）成立，而$a÷(b+c)=a÷b+a÷c$（$b、c≠0$）不成立，培养了学生的探究能力与严谨的数学思维，同时引导学生运用规律进行四则混合运算的简便计算，提升运算能力。
【难度系数】
0.6
