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15 有理数$a,b,c$在数轴上对应点的位置如图所示，有下列结论：① $abc＞0$；② $b-a＜0$；③ $a+c＞0$；④ $|b-c|+|a-b|=|a-c|$。其中，正确的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
15.C
解析
【分析】
首先根据数轴上点的位置规律：数轴上右边的数总大于左边的数，确定a、b、c的大小关系和正负性，同时判断三个数绝对值的大小关系，再结合有理数的运算法则、绝对值的性质，逐个验证4个结论是否正确，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
根据数轴可得：$ c ＜ b ＜ 0 ＜ a $，且$ |c| ＞ |b| ＞ |a| $。
①判断$ abc＞0 $：因为$ c＜0,b＜0,a＞0 $，两个负数相乘为正，再乘正数结果仍为正，即$ abc＞0 $，故①正确；
②判断$ b-a＜0 $：因为$ b ＜ a $，较小的数减较大的数结果为负，即$ b - a ＜ 0 $，故②正确；
③判断$ a+c＞0 $：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$ |c|＞|a| $且c为负数，因此$ a+c ＜ 0 $，故③错误；
④判断$ |b-c|+|a-b|=|a-c| $：先去绝对值，因为$ b＞c $，所以$ |b-c|=b-c $；因为$ a＞b $，所以$ |a-b|=a-b $，左边合并得$ (b-c)+(a-b)=a-c $；又因为$ a＞c $，所以右边$ |a-c|=a-c $，左边等于右边，故④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，有理数运算，绝对值化简
【点评】
本题需要结合数轴判断数的大小、正负及绝对值的大小关系，再运用有理数运算法则和绝对值的性质分析结论，解题关键是先从数轴中提取准确的数的相关信息，再逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上点的位置规律：数轴上右边的数总大于左边的数，确定a、b、c的大小关系和正负性，同时判断三个数绝对值的大小关系，再结合有理数的运算法则、绝对值的性质，逐个验证4个结论是否正确，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
根据数轴可得：$ c ＜ b ＜ 0 ＜ a $，且$ |c| ＞ |b| ＞ |a| $。
①判断$ abc＞0 $：因为$ c＜0,b＜0,a＞0 $，两个负数相乘为正，再乘正数结果仍为正，即$ abc＞0 $，故①正确；
②判断$ b-a＜0 $：因为$ b ＜ a $，较小的数减较大的数结果为负，即$ b - a ＜ 0 $，故②正确；
③判断$ a+c＞0 $：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$ |c|＞|a| $且c为负数，因此$ a+c ＜ 0 $，故③错误；
④判断$ |b-c|+|a-b|=|a-c| $：先去绝对值，因为$ b＞c $，所以$ |b-c|=b-c $；因为$ a＞b $，所以$ |a-b|=a-b $，左边合并得$ (b-c)+(a-b)=a-c $；又因为$ a＞c $，所以右边$ |a-c|=a-c $，左边等于右边，故④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，有理数运算，绝对值化简
【点评】
本题需要结合数轴判断数的大小、正负及绝对值的大小关系，再运用有理数运算法则和绝对值的性质分析结论，解题关键是先从数轴中提取准确的数的相关信息，再逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
16 新考向 新定义题 定义新运算“*”，规定$a*b = [(a + b) ÷ (a - b)]^3$（其中$a ≠ b$），例如：$1*3 = [(1 + 3) ÷ (1 - 3)]^3 = [4 ÷ (-2)]^3 = (-2)^3 = -8$，则$(-9)*(-15)$的值为（
A.$-64$
B.$-4$
C.$4$
D.$64$
A
）A.$-64$
B.$-4$
C.$4$
D.$64$
答案
16.A
解析
【分析】
这是一道新定义运算题，解题核心是准确理解新运算“*”的运算规则，将所求式子的对应数值代入公式即可求解。解题时先确定a、b的取值分别为-9和-15，先分别计算分子a+b、分母a-b的值，再计算两者的商，最后对商求三次方即可，计算过程中要注意有理数运算的符号规则，避免符号出错。
【解析】
根据新运算规则$a*b = [(a + b) ÷ (a - b)]^3$，本题中$a=-9$，$b=-15$，且$-9≠-15$，符合运算条件，代入计算：
1. 计算分子$a+b$：$(-9)+(-15)=-24$
2. 计算分母$a-b$：$(-9)-(-15)=-9+15=6$
3. 计算两数的商：$(-24)÷6=-4$
4. 计算商的三次方：$(-4)^3=-64$
因此$(-9)*(-15)=-64$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，有理数乘方
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的套用能力和有理数运算的准确性，计算时需格外注意负数运算的符号处理，是新考向的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算题，解题核心是准确理解新运算“*”的运算规则，将所求式子的对应数值代入公式即可求解。解题时先确定a、b的取值分别为-9和-15，先分别计算分子a+b、分母a-b的值，再计算两者的商，最后对商求三次方即可，计算过程中要注意有理数运算的符号规则，避免符号出错。
【解析】
根据新运算规则$a*b = [(a + b) ÷ (a - b)]^3$，本题中$a=-9$，$b=-15$，且$-9≠-15$，符合运算条件，代入计算：
1. 计算分子$a+b$：$(-9)+(-15)=-24$
2. 计算分母$a-b$：$(-9)-(-15)=-9+15=6$
3. 计算两数的商：$(-24)÷6=-4$
4. 计算商的三次方：$(-4)^3=-64$
因此$(-9)*(-15)=-64$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，有理数乘方
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的套用能力和有理数运算的准确性，计算时需格外注意负数运算的符号处理，是新考向的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
17若$|m-n|=n-m$，且$|m|=4$，$|n|=3$，则$(m+n)^2=$
1或49
。答案
17.1或49
解析
【分析】
解题时先利用绝对值的性质推导m与n的大小关系，再根据|m|、|n|的取值列出m、n所有可能的取值，结合大小关系筛选出符合条件的m、n组合，最后分别代入计算$(m+n)^2$的值即可。具体思考路径：①看到$|a|=-a$的形式，立刻想到$a≤0$，由此得到$m-n≤0$即$m≤n$；②根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，互为相反数，得到$m=±4$，$n=±3$；③逐一比对组合，保留满足$m≤n$的组合；④代入计算平方，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵$|m-n|=n-m=-(m-n)$
根据绝对值的性质：若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数
∴$m-n≤0$，即$m≤n$
又
∵$|m|=4$，$|n|=3$
∴$m=4$或$m=-4$，$n=3$或$n=-3$
结合$m≤n$的条件，筛选符合的取值组合：
①当$m=-4$，$n=3$时，满足$-4≤3$，此时$m+n=-4+3=-1$，
∴$(m+n)^2=(-1)^2=1$
②当$m=-4$，$n=-3$时，满足$-4≤-3$，此时$m+n=-4+(-3)=-7$，
∴$(m+n)^2=(-7)^2=49$
$m=4$时，$4＞3$且$4＞-3$，均不满足$m≤n$，故舍去
综上，$(m+n)^2$的值为1或49
【答案】
1或49
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘方运算；代数式求值
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活应用，解题时要注意绝对值等于其相反数的数包含负数和0两种情况，不要漏判取值范围；同时要枚举出所有符合条件的字母取值组合，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用绝对值的性质推导m与n的大小关系，再根据|m|、|n|的取值列出m、n所有可能的取值，结合大小关系筛选出符合条件的m、n组合，最后分别代入计算$(m+n)^2$的值即可。具体思考路径：①看到$|a|=-a$的形式，立刻想到$a≤0$，由此得到$m-n≤0$即$m≤n$；②根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，互为相反数，得到$m=±4$，$n=±3$；③逐一比对组合，保留满足$m≤n$的组合；④代入计算平方，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵$|m-n|=n-m=-(m-n)$
根据绝对值的性质：若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数
∴$m-n≤0$，即$m≤n$
又
∵$|m|=4$，$|n|=3$
∴$m=4$或$m=-4$，$n=3$或$n=-3$
结合$m≤n$的条件，筛选符合的取值组合：
①当$m=-4$，$n=3$时，满足$-4≤3$，此时$m+n=-4+3=-1$，
∴$(m+n)^2=(-1)^2=1$
②当$m=-4$，$n=-3$时，满足$-4≤-3$，此时$m+n=-4+(-3)=-7$，
∴$(m+n)^2=(-7)^2=49$
$m=4$时，$4＞3$且$4＞-3$，均不满足$m≤n$，故舍去
综上，$(m+n)^2$的值为1或49
【答案】
1或49
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘方运算；代数式求值
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活应用，解题时要注意绝对值等于其相反数的数包含负数和0两种情况，不要漏判取值范围；同时要枚举出所有符合条件的字母取值组合，避免漏解。
【难度系数】
0.7
18 已知$|a|=2$，且$a＜1$，$b$，$c$互为倒数，则$a^3+3-4bc$的值为
-9
。答案
18.-9
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质确定a的可能取值，再结合a＜1的限制条件筛选出a的正确值；然后根据倒数的定义得到bc的值，最后将a和bc的取值代入所求代数式，按照有理数运算规则计算即可。需要注意计算负数乘方时符号不要出错。
【解析】
1. 确定a的取值：
∵ |a|=2，
∴ a=2或a=-2，
又
∵ a＜1，
∴ a=-2。
2. 确定bc的取值：
∵ b，c互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，
∴ bc=1。
3. 代入代数式计算：
将a=-2，bc=1代入$a^3+3-4bc$得：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^3 + 3 - 4×1\\&=-8 + 3 - 4\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
-9
【知识点】
绝对值的性质，倒数的定义，代数式求值
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是正确根据限制条件确定参数值，牢记绝对值、倒数的相关性质，计算有理数乘方和加减运算时注意符号规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质确定a的可能取值，再结合a＜1的限制条件筛选出a的正确值；然后根据倒数的定义得到bc的值，最后将a和bc的取值代入所求代数式，按照有理数运算规则计算即可。需要注意计算负数乘方时符号不要出错。
【解析】
1. 确定a的取值：
∵ |a|=2，
∴ a=2或a=-2，
又
∵ a＜1，
∴ a=-2。
2. 确定bc的取值：
∵ b，c互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，
∴ bc=1。
3. 代入代数式计算：
将a=-2，bc=1代入$a^3+3-4bc$得：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^3 + 3 - 4×1\\&=-8 + 3 - 4\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
-9
【知识点】
绝对值的性质，倒数的定义，代数式求值
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是正确根据限制条件确定参数值，牢记绝对值、倒数的相关性质，计算有理数乘方和加减运算时注意符号规则。
【难度系数】
0.7
19 计算：
(1) $9\frac{18}{19} × (-19)$；
(2) $[(-1)^{100} × 8 + (-10)^3] ÷ 8 - |-6|$。
(1) $9\frac{18}{19} × (-19)$；
(2) $[(-1)^{100} × 8 + (-10)^3] ÷ 8 - |-6|$。
答案
19.(1)-189 (2)-130
解析
【分析】
(1) 第一小题是带分数乘整数的运算，若直接将带分数转化为假分数计算量较大，可将带分数拆成“整十数减去一个分数”的形式，再利用乘法分配律进行简便计算，能有效减少计算出错概率。
(2) 第二小题是有理数的混合运算，需严格遵循运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算，计算过程中要注意符号的变化。
【解析】
(1) 计算$9\frac{18}{19} × (-19)$：
将带分数拆分可得：
$\begin{aligned}原式&=(10 - \frac{1}{19})×(-19)\\&=10×(-19) - \frac{1}{19}×(-19)\\&=-190 + 1\\&=-189\end{aligned}$
(2) 计算$[(-1)^{100} × 8 + (-10)^3] ÷ 8 - |-6|$：
按运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}原式&=[1×8 + (-1000)]÷8 - 6\\&=(8 - 1000)÷8 - 6\\&=(-992)÷8 - 6\\&=-124 - 6\\&=-130\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-189}$；(2) $\boxed{-130}$
【知识点】
1. 乘法分配律应用 2. 有理数混合运算 3. 绝对值化简
【点评】
本题属于有理数运算的基础常考题，第一题考查简便运算技巧，合理拆分带分数即可快速求解；第二题考查运算顺序的掌握，需注意乘方的符号判断、绝对值的非负性等易错点，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小题是带分数乘整数的运算，若直接将带分数转化为假分数计算量较大，可将带分数拆成“整十数减去一个分数”的形式，再利用乘法分配律进行简便计算，能有效减少计算出错概率。
(2) 第二小题是有理数的混合运算，需严格遵循运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算，计算过程中要注意符号的变化。
【解析】
(1) 计算$9\frac{18}{19} × (-19)$：
将带分数拆分可得：
$\begin{aligned}原式&=(10 - \frac{1}{19})×(-19)\\&=10×(-19) - \frac{1}{19}×(-19)\\&=-190 + 1\\&=-189\end{aligned}$
(2) 计算$[(-1)^{100} × 8 + (-10)^3] ÷ 8 - |-6|$：
按运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}原式&=[1×8 + (-1000)]÷8 - 6\\&=(8 - 1000)÷8 - 6\\&=(-992)÷8 - 6\\&=-124 - 6\\&=-130\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-189}$；(2) $\boxed{-130}$
【知识点】
1. 乘法分配律应用 2. 有理数混合运算 3. 绝对值化简
【点评】
本题属于有理数运算的基础常考题，第一题考查简便运算技巧，合理拆分带分数即可快速求解；第二题考查运算顺序的掌握，需注意乘方的符号判断、绝对值的非负性等易错点，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
20 观察下列等式：
…
请解答下面的问题：
（1）按上述等式的规律，写出第5个等式：$a_5=\_\_\_\_\_=$
（2）求$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{100}$的值。
…
请解答下面的问题：
（1）按上述等式的规律，写出第5个等式：$a_5=\_\_\_\_\_=$
$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
；（2）求$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{100}$的值。
答案
20.(1)$\frac{1}{9×11}$ $\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2)$a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_{100}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+…+(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})]=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}=\frac{100}{201}$
(2)$a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_{100}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+…+(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})]=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}=\frac{100}{201}$
解析
【分析】
（1）先观察已知等式的规律：第n个等式中，$a_n$的分母是两个相邻奇数的乘积，第一个奇数为$2n-1$，第二个为$2n+1$，拆分后均为$\frac{1}{2}$乘这两个奇数倒数的差。将$n=5$代入规律即可得到第5个等式。
（2）求前100项的和时，先把每个$a_n$按规律拆分成裂项形式，提取公共因数$\frac{1}{2}$后，中间的相邻分数会相互抵消，仅剩首项1和末项$\frac{1}{201}$，再计算即可得到结果。
【解析】
（1）根据前4个等式的规律，第n个等式为：
$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
当$n=5$时，$2n-1=2×5-1=9$，$2n+1=2×5+1=11$，
因此$a_5=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$。
（2）计算$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{100}$：
将各项按裂项规律代入：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})\\&=\frac{1}{2}×[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})]\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})\\&=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}\\&=\frac{100}{201}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{9×11}$；$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2) $\frac{100}{201}$
【知识点】
数字规律探究；裂项相消求和；有理数混合运算
【点评】
本题核心是归纳数字变化的通用规律，通过裂项拆分、抵消中间项的方法简化求和运算，是规律探究类题型的典型考法，掌握裂项规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）先观察已知等式的规律：第n个等式中，$a_n$的分母是两个相邻奇数的乘积，第一个奇数为$2n-1$，第二个为$2n+1$，拆分后均为$\frac{1}{2}$乘这两个奇数倒数的差。将$n=5$代入规律即可得到第5个等式。
（2）求前100项的和时，先把每个$a_n$按规律拆分成裂项形式，提取公共因数$\frac{1}{2}$后，中间的相邻分数会相互抵消，仅剩首项1和末项$\frac{1}{201}$，再计算即可得到结果。
【解析】
（1）根据前4个等式的规律，第n个等式为：
$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
当$n=5$时，$2n-1=2×5-1=9$，$2n+1=2×5+1=11$，
因此$a_5=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$。
（2）计算$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{100}$：
将各项按裂项规律代入：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})\\&=\frac{1}{2}×[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})]\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})\\&=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}\\&=\frac{100}{201}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{9×11}$；$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2) $\frac{100}{201}$
【知识点】
数字规律探究；裂项相消求和；有理数混合运算
【点评】
本题核心是归纳数字变化的通用规律，通过裂项拆分、抵消中间项的方法简化求和运算，是规律探究类题型的典型考法，掌握裂项规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
