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二次根式的性质$\begin{cases} (\sqrt{a})^2 = \_\_\_\_\_\_ \ (a≥0) \\ \sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} \_\_\_\_\_\_ \ (a≥0) \\ \_\_\_\_\_\_ \ (a＜0) \end{cases} \end{cases}$
答案
a；a；-a
解析
【分析】
解题时先回忆二次根式和算术平方根的定义，分两部分推导：1. 对于$(\sqrt{a})^2$，$\sqrt{a}$有意义的前提是$a≥0$，$\sqrt{a}$本身是$a$的非负算术平方根，它平方后就等于被开方数$a$；2. 对于$\sqrt{a^2}$，它是对$a^2$求算术平方根，结果一定是非负数，所以等于$|a|$，再结合绝对值的化简规则：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，就能分别填出$a≥0$和$a＜0$对应的结果。
【解析】
1. 填第一个空：
当$a≥0$时，$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，将其平方后可得$(\sqrt{a})^2 = a$，因此第一个空填$a$。
2. 填后两个空：
$\sqrt{a^2}$是求$a^2$的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{a^2}=|a|$；
当$a≥0$时，非负数的绝对值等于它本身，即$|a|=a$，因此第二个空填$a$；
当$a＜0$时，负数的绝对值等于它的相反数，即$|a|=-a$，因此第三个空填$-a$。
【答案】
a；a；-a
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式性质的基础概念考查题，重点要区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算顺序、取值范围差异，化简$\sqrt{a^2}$时结合绝对值的性质处理，可有效避免符号错误。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次根式和算术平方根的定义，分两部分推导：1. 对于$(\sqrt{a})^2$，$\sqrt{a}$有意义的前提是$a≥0$，$\sqrt{a}$本身是$a$的非负算术平方根，它平方后就等于被开方数$a$；2. 对于$\sqrt{a^2}$，它是对$a^2$求算术平方根，结果一定是非负数，所以等于$|a|$，再结合绝对值的化简规则：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，就能分别填出$a≥0$和$a＜0$对应的结果。
【解析】
1. 填第一个空：
当$a≥0$时，$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，将其平方后可得$(\sqrt{a})^2 = a$，因此第一个空填$a$。
2. 填后两个空：
$\sqrt{a^2}$是求$a^2$的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{a^2}=|a|$；
当$a≥0$时，非负数的绝对值等于它本身，即$|a|=a$，因此第二个空填$a$；
当$a＜0$时，负数的绝对值等于它的相反数，即$|a|=-a$，因此第三个空填$-a$。
【答案】
a；a；-a
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式性质的基础概念考查题，重点要区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算顺序、取值范围差异，化简$\sqrt{a^2}$时结合绝对值的性质处理，可有效避免符号错误。
【难度系数】
0.9
1. 用计算器依次按键
，得到的结果最接近的是（
A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
，得到的结果最接近的是（C
）。A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
答案
1.C
解析
【分析】
首先明确按键对应的运算：依次按√、3、=，就是求3的算术平方根，即计算√3的近似值。解题时可通过平方运算估算√3的取值范围，再对比各选项与√3的差值，找到最接近的结果即可，也可直接用常见无理数的近似值判断。
【解析】
由按键顺序可知，所求为3的算术平方根，即$\sqrt{3}$。
我们通过平方运算估算：
∵$1.7^2=2.89$，$1.8^2=3.24$，且$2.89＜3＜3.24$，
∴$1.7＜\sqrt{3}＜1.8$。
又
∵$3-2.89=0.11$，$3.24-3=0.24$，$0.11＜0.24$，说明3更接近2.89，因此$\sqrt{3}$更接近1.7。
也可直接记忆$\sqrt{3}\approx1.732$，对比选项可知它和1.7的差值最小，最接近1.7。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的估算
【点评】
本题考查计算器按键功能的识别和二次根式的估算，掌握通过平方运算判断无理数近似范围的方法是解题核心，熟记$\sqrt{2}\approx1.414$、$\sqrt{3}\approx1.732$这类常见无理数的近似值能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先明确按键对应的运算：依次按√、3、=，就是求3的算术平方根，即计算√3的近似值。解题时可通过平方运算估算√3的取值范围，再对比各选项与√3的差值，找到最接近的结果即可，也可直接用常见无理数的近似值判断。
【解析】
由按键顺序可知，所求为3的算术平方根，即$\sqrt{3}$。
我们通过平方运算估算：
∵$1.7^2=2.89$，$1.8^2=3.24$，且$2.89＜3＜3.24$，
∴$1.7＜\sqrt{3}＜1.8$。
又
∵$3-2.89=0.11$，$3.24-3=0.24$，$0.11＜0.24$，说明3更接近2.89，因此$\sqrt{3}$更接近1.7。
也可直接记忆$\sqrt{3}\approx1.732$，对比选项可知它和1.7的差值最小，最接近1.7。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的估算
【点评】
本题考查计算器按键功能的识别和二次根式的估算，掌握通过平方运算判断无理数近似范围的方法是解题核心，熟记$\sqrt{2}\approx1.414$、$\sqrt{3}\approx1.732$这类常见无理数的近似值能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式，在实数范围内无意义的是（
A.$\sqrt{0}$
B.$\sqrt{0.2}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{-1}$
D
）.A.$\sqrt{0}$
B.$\sqrt{0.2}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{-1}$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次根式在实数范围内有意义的判定规则：二次根式的被开方数（根号内的数）必须是非负数（即大于或等于0），若被开方数为负数，该二次根式在实数范围内就没有意义。我们只需逐一判断每个选项中根号下的数是否小于0，即可找到无意义的式子。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{0}$的被开方数是0，$0≥0$，该式在实数范围内有意义；
B选项：$\sqrt{0.2}$的被开方数是0.2，$0.2＞0$，该式在实数范围内有意义；
C选项：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数是$\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{3}＞0$，该式在实数范围内有意义；
D选项：$\sqrt{-1}$的被开方数是$-1$，$-1＜0$，该式在实数范围内无意义。
因此符合要求的是D选项。
【答案】D
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方根的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考查对二次根式成立条件的掌握，牢记被开方数非负的规则就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次根式在实数范围内有意义的判定规则：二次根式的被开方数（根号内的数）必须是非负数（即大于或等于0），若被开方数为负数，该二次根式在实数范围内就没有意义。我们只需逐一判断每个选项中根号下的数是否小于0，即可找到无意义的式子。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{0}$的被开方数是0，$0≥0$，该式在实数范围内有意义；
B选项：$\sqrt{0.2}$的被开方数是0.2，$0.2＞0$，该式在实数范围内有意义；
C选项：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数是$\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{3}＞0$，该式在实数范围内有意义；
D选项：$\sqrt{-1}$的被开方数是$-1$，$-1＜0$，该式在实数范围内无意义。
因此符合要求的是D选项。
【答案】D
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方根的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考查对二次根式成立条件的掌握，牢记被开方数非负的规则就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
3. 二次根式$\sqrt{x-1}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围在数轴上表示正确的是（
D
）。答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题可以分两步思考：第一步，根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围；第二步，根据不等式解集的数轴表示规则，判断哪个选项符合求出的范围。首先明确：二次根式的被开方数必须是非负数，因此根号下的x-1要大于等于0；其次数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于的取值方向向右，小于的取值方向向左。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{x-1}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$x-1≥0$
移项解得：$x≥1$
分析数轴表示规则：$x≥1$包含端点1，因此1的位置用实心圆点表示，取值大于等于1，折线向右延伸。
对各选项逐一判断：
A：表示$x＜1$，不符合要求；
B：表示$x＞1$，不符合要求；
C：表示$x≤1$，不符合要求；
D：表示$x≥1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，将二次根式的性质与不等式解集的数轴表示结合考查，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，掌握数轴表示解集时实心、空心的区别以及方向的判断规则，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可以分两步思考：第一步，根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围；第二步，根据不等式解集的数轴表示规则，判断哪个选项符合求出的范围。首先明确：二次根式的被开方数必须是非负数，因此根号下的x-1要大于等于0；其次数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于的取值方向向右，小于的取值方向向左。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{x-1}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$x-1≥0$
移项解得：$x≥1$
分析数轴表示规则：$x≥1$包含端点1，因此1的位置用实心圆点表示，取值大于等于1，折线向右延伸。
对各选项逐一判断：
A：表示$x＜1$，不符合要求；
B：表示$x＞1$，不符合要求；
C：表示$x≤1$，不符合要求；
D：表示$x≥1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，将二次根式的性质与不等式解集的数轴表示结合考查，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，掌握数轴表示解集时实心、空心的区别以及方向的判断规则，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
4. 使式子$\sqrt{m-2}$在实数范围内有意义的最小整数$m$是
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
要确定使二次根式$\sqrt{m-2}$有意义的最小整数$m$，首先需要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们可以先根据这个条件列出关于$m$的不等式，解出$m$的取值范围，再在取值范围内找到最小的整数即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$m-2≥0$
解不等式得：$m≥2$
在所有大于等于2的整数中，最小的整数是2，因此符合要求的最小整数$m$为2。
【答案】
2
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，计算时注意题干要求的是最小整数，避免因看错条件出错。
【难度系数】
0.9
要确定使二次根式$\sqrt{m-2}$有意义的最小整数$m$，首先需要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们可以先根据这个条件列出关于$m$的不等式，解出$m$的取值范围，再在取值范围内找到最小的整数即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$m-2≥0$
解不等式得：$m≥2$
在所有大于等于2的整数中，最小的整数是2，因此符合要求的最小整数$m$为2。
【答案】
2
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，计算时注意题干要求的是最小整数，避免因看错条件出错。
【难度系数】
0.9
5. 计算：$(\sqrt{4})^2=$
4
；$(\sqrt{\dfrac{1}{6}})^2=$$\dfrac{1}{6}$
；$\sqrt{(-5)^2}=$5
.答案
5. $4$；$\dfrac{1}{6}$；$5$
解析
【分析】
解题时需区分二次根式的两类运算，对应不同性质思考：①对于$(\sqrt{a})^2$形式的运算，依据二次根式性质，当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，直接套用即可计算前两题；②对于$\sqrt{a^2}$形式的运算，依据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，再根据$a$的正负去绝对值即可求解第三题，计算时注意先明确运算顺序，再对应性质求解。
【解析】
1. 计算$(\sqrt{4})^2$：
根据二次根式性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，此处$a=4≥0$，因此$(\sqrt{4})^2=4$。
2. 计算$(\sqrt{\dfrac{1}{6}})^2$：
同理，$a=\dfrac{1}{6}≥0$，因此$(\sqrt{\dfrac{1}{6}})^2=\dfrac{1}{6}$。
3. 计算$\sqrt{(-5)^2}$：
根据二次根式性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，此处$a=-5$，因此$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$。
【答案】
$4$；$\dfrac{1}{6}$；$5$
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根运算，绝对值化简
【点评】
本题重点考查二次根式两个核心性质的区分与应用，解题的关键是理清运算顺序，分清$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的适用条件，避免两类性质混淆，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.9
解题时需区分二次根式的两类运算，对应不同性质思考：①对于$(\sqrt{a})^2$形式的运算，依据二次根式性质，当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，直接套用即可计算前两题；②对于$\sqrt{a^2}$形式的运算，依据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，再根据$a$的正负去绝对值即可求解第三题，计算时注意先明确运算顺序，再对应性质求解。
【解析】
1. 计算$(\sqrt{4})^2$：
根据二次根式性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，此处$a=4≥0$，因此$(\sqrt{4})^2=4$。
2. 计算$(\sqrt{\dfrac{1}{6}})^2$：
同理，$a=\dfrac{1}{6}≥0$，因此$(\sqrt{\dfrac{1}{6}})^2=\dfrac{1}{6}$。
3. 计算$\sqrt{(-5)^2}$：
根据二次根式性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，此处$a=-5$，因此$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$。
【答案】
$4$；$\dfrac{1}{6}$；$5$
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根运算，绝对值化简
【点评】
本题重点考查二次根式两个核心性质的区分与应用，解题的关键是理清运算顺序，分清$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的适用条件，避免两类性质混淆，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.9
6. 当实数$x=$
2
时，$\sqrt{2x -4}=0.$答案
6. 2
解析
【分析】
本题可根据二次根式的性质求解：我们知道算术平方根的结果为0时，对应的被开方数一定为0，同时被开方数本身要满足非负的要求，因此我们只需令根号内的代数式等于0，解出x的值再验证是否符合被开方数非负的条件即可。
【解析】
根据二次根式的性质，若$\sqrt{a}=0$，则$a=0$（且$a≥0$），因此对于$\sqrt{2x -4}=0$，可得：
$2x-4=0$
移项得：$2x=4$
系数化为1得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$2x-4=2×2-4=0$，满足被开方数非负的要求，所以$x=2$是方程的解。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式值为0的条件，解题关键是明确二次根式的值为0时，被开方数必须为0，同时要注意验证所得解是否满足被开方数的取值要求，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题可根据二次根式的性质求解：我们知道算术平方根的结果为0时，对应的被开方数一定为0，同时被开方数本身要满足非负的要求，因此我们只需令根号内的代数式等于0，解出x的值再验证是否符合被开方数非负的条件即可。
【解析】
根据二次根式的性质，若$\sqrt{a}=0$，则$a=0$（且$a≥0$），因此对于$\sqrt{2x -4}=0$，可得：
$2x-4=0$
移项得：$2x=4$
系数化为1得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$2x-4=2×2-4=0$，满足被开方数非负的要求，所以$x=2$是方程的解。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式值为0的条件，解题关键是明确二次根式的值为0时，被开方数必须为0，同时要注意验证所得解是否满足被开方数的取值要求，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
7. 计算：(1) $(-3\sqrt{2})^2$；(2) $-\sqrt{(10)^{-2}}$。
答案
7. (1) 18 (2) -0.1
解析
【分析】
(1) 计算$(-3\sqrt{2})^2$时，可利用积的乘方运算法则$(ab)^2=a^2b^2$，将原式拆为两个因数分别平方后再相乘，结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$即可求出结果，注意负数平方后符号为正。
(2) 计算$-\sqrt{(10)^{-2}}$时，先根据负整数指数幂的意义算出被开方数的数值，再根据算术平方根的定义求出被开方数的算术平方根，最后结合原式前面的负号得到最终结果。
【解析】
(1) $\begin{aligned}(-3\sqrt{2})^2&=(-3)^2×(\sqrt{2})^2\\&=9×2\\&=18\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}-\sqrt{(10)^{-2}}&=-\sqrt{\frac{1}{10^2}}\\&=-\sqrt{\frac{1}{100}}\\&=-\frac{1}{10}\\&=-0.1\end{aligned}$
【答案】
(1) 18；(2) -0.1
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 积的乘方运算
3. 负整数指数幂
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，重点考查基础运算法则和性质的应用，计算时要注意符号的处理，避免因漏看符号、记错性质出现错误。
【难度系数】
0.8
(1) 计算$(-3\sqrt{2})^2$时，可利用积的乘方运算法则$(ab)^2=a^2b^2$，将原式拆为两个因数分别平方后再相乘，结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$即可求出结果，注意负数平方后符号为正。
(2) 计算$-\sqrt{(10)^{-2}}$时，先根据负整数指数幂的意义算出被开方数的数值，再根据算术平方根的定义求出被开方数的算术平方根，最后结合原式前面的负号得到最终结果。
【解析】
(1) $\begin{aligned}(-3\sqrt{2})^2&=(-3)^2×(\sqrt{2})^2\\&=9×2\\&=18\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}-\sqrt{(10)^{-2}}&=-\sqrt{\frac{1}{10^2}}\\&=-\sqrt{\frac{1}{100}}\\&=-\frac{1}{10}\\&=-0.1\end{aligned}$
【答案】
(1) 18；(2) -0.1
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 积的乘方运算
3. 负整数指数幂
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，重点考查基础运算法则和性质的应用，计算时要注意符号的处理，避免因漏看符号、记错性质出现错误。
【难度系数】
0.8
