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8. 已知一个长方形的长为8，宽为3，现有与这个长方形的面积相等的一个正方形，估计这个正方形的边长大小在（
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
C
）.A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
答案
8.C
解析
【分析】
解题时按照三步思路推导：第一步先根据长方形的长和宽计算其面积，该面积即为正方形的面积；第二步结合正方形面积公式，可知正方形边长是面积的算术平方根；第三步通过寻找与正方形面积相邻的两个完全平方数，就能估算出边长的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
1. 计算长方形面积：
长方形面积 = 长×宽 = $8×3=24$
由题意得正方形面积与长方形面积相等，即正方形面积为24。
2. 推导正方形边长的表达式：
设正方形边长为$a(a＞0)$，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a^2=24$，因此$a=\sqrt{24}$。
3. 估算$\sqrt{24}$的范围：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜24＜25$，根据算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，可得$\sqrt{16}＜\sqrt{24}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{24}＜5$。
因此正方形的边长在4与5之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；面积公式应用；算术平方根定义
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先求出正方形的面积，再通过比较相邻正整数的平方确定无理数的取值范围，主要考查学生对无理数估算方法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时按照三步思路推导：第一步先根据长方形的长和宽计算其面积，该面积即为正方形的面积；第二步结合正方形面积公式，可知正方形边长是面积的算术平方根；第三步通过寻找与正方形面积相邻的两个完全平方数，就能估算出边长的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
1. 计算长方形面积：
长方形面积 = 长×宽 = $8×3=24$
由题意得正方形面积与长方形面积相等，即正方形面积为24。
2. 推导正方形边长的表达式：
设正方形边长为$a(a＞0)$，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a^2=24$，因此$a=\sqrt{24}$。
3. 估算$\sqrt{24}$的范围：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜24＜25$，根据算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，可得$\sqrt{16}＜\sqrt{24}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{24}＜5$。
因此正方形的边长在4与5之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；面积公式应用；算术平方根定义
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先求出正方形的面积，再通过比较相邻正整数的平方确定无理数的取值范围，主要考查学生对无理数估算方法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
9. 下列式子，一定是二次根式的是（
A.$\sqrt[3]{a^2}$
B.$\sqrt{-(-a)}$
C.$-\sqrt{a^2}$
D.$\sqrt{a^3 + 3}$
C
）.A.$\sqrt[3]{a^2}$
B.$\sqrt{-(-a)}$
C.$-\sqrt{a^2}$
D.$\sqrt{a^3 + 3}$
答案
9.C
解析
【分析】
要判断式子是否为二次根式，需紧扣二次根式的两个判定条件：一是根指数为2（通常省略不写）；二是被开方数（根号下的代数式）无论字母取何值，都恒为非负数。解题时先逐个排查根指数是否符合要求，再验证剩余选项的被开方数是否恒≥0即可。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子为二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件。
选项A：$\sqrt[3]{a^2}$的根指数是3，属于三次根式，不符合二次根式的要求，排除；
选项B：$\sqrt{-(-a)}=\sqrt{a}$，当$a＜0$时被开方数为负数，式子无意义，不是一定为二次根式，排除；
选项C：$-\sqrt{a^2}$的根指数为2，且对任意实数$a$都有$a^2≥0$，被开方数恒为非负数，一定是二次根式，符合要求；
选项D：$\sqrt{a^3 + 3}$，当$a$取足够小的负数时（如$a=-2$，$a^3+3=-8+3=-5＜0$），被开方数为负数，式子无意义，不是一定为二次根式，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的判定；平方的非负性
【点评】
本题考查二次根式的判定，解题的关键是牢记二次根式的两个必备条件，易错点是忽略含字母的被开方数需要恒为非负数，仅考虑部分取值符合要求就误选。
【难度系数】
0.7
要判断式子是否为二次根式，需紧扣二次根式的两个判定条件：一是根指数为2（通常省略不写）；二是被开方数（根号下的代数式）无论字母取何值，都恒为非负数。解题时先逐个排查根指数是否符合要求，再验证剩余选项的被开方数是否恒≥0即可。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子为二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件。
选项A：$\sqrt[3]{a^2}$的根指数是3，属于三次根式，不符合二次根式的要求，排除；
选项B：$\sqrt{-(-a)}=\sqrt{a}$，当$a＜0$时被开方数为负数，式子无意义，不是一定为二次根式，排除；
选项C：$-\sqrt{a^2}$的根指数为2，且对任意实数$a$都有$a^2≥0$，被开方数恒为非负数，一定是二次根式，符合要求；
选项D：$\sqrt{a^3 + 3}$，当$a$取足够小的负数时（如$a=-2$，$a^3+3=-8+3=-5＜0$），被开方数为负数，式子无意义，不是一定为二次根式，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的判定；平方的非负性
【点评】
本题考查二次根式的判定，解题的关键是牢记二次根式的两个必备条件，易错点是忽略含字母的被开方数需要恒为非负数，仅考虑部分取值符合要求就误选。
【难度系数】
0.7
10. 若代数式$\frac{x}{\sqrt{x+1}}$有意义，则$x$的取值范围是
$x＞-1$
.答案
10.$x＞-1$
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别找到代数式各部分对x的限制条件，再取所有条件的公共范围：首先，式中的二次根式要求被开方数为非负数；其次，二次根式在分母的位置，要求分母不能为0，将两个限制条件联立求解即可。
【解析】
要使代数式$\frac{x}{\sqrt{x+1}}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$；
2. 分母不为0：$\sqrt{x+1}≠0$，即$x+1≠0$。
联立两个条件可得$x+1＞0$，解这个不等式得$x＞-1$。
【答案】
$x＞-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需注意同时兼顾被开方数和分母的限制要求，避免忽略分母不为0的条件，误写成$x≥-1$。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别找到代数式各部分对x的限制条件，再取所有条件的公共范围：首先，式中的二次根式要求被开方数为非负数；其次，二次根式在分母的位置，要求分母不能为0，将两个限制条件联立求解即可。
【解析】
要使代数式$\frac{x}{\sqrt{x+1}}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$；
2. 分母不为0：$\sqrt{x+1}≠0$，即$x+1≠0$。
联立两个条件可得$x+1＞0$，解这个不等式得$x＞-1$。
【答案】
$x＞-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需注意同时兼顾被开方数和分母的限制要求，避免忽略分母不为0的条件，误写成$x≥-1$。
【难度系数】
0.8
11. 魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$，其中$a$取正整数且$|r|$最小，则用该方法计算$\sqrt{27}$的值约为
5.2
。答案
11. 5.2
解析
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的近似公式的使用规则：需将被开方数写成$a^2+r$的形式，其中$a$是正整数，且$|r|$最小。求解$\sqrt{27}$的近似值时，第一步先找到与27最接近的正整数的完全平方数，确定$a$的取值，再算出对应的$r$的值，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：先找与27最接近的完全平方数：
$\because 5^2=25$，$6^2=36$，
$27-25=2$，$36-27=9$，$2＜9$，
$\therefore$ 要满足$|r|$最小，取$a=5$，此时$r=27-5^2=2$，
代入近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$得：
$\sqrt{27}=\sqrt{5^2 + 2}\approx5 + \frac{2}{2×5}=5+0.2=5.2$
【答案】
5.2
【知识点】
二次根式估算，新公式应用，完全平方数
【点评】
本题以我国古代数学成就为背景，考查对新定义公式的理解和应用能力，解题核心是准确筛选出符合条件的$a$和$r$，读懂题意即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要读懂题目给出的近似公式的使用规则：需将被开方数写成$a^2+r$的形式，其中$a$是正整数，且$|r|$最小。求解$\sqrt{27}$的近似值时，第一步先找到与27最接近的正整数的完全平方数，确定$a$的取值，再算出对应的$r$的值，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：先找与27最接近的完全平方数：
$\because 5^2=25$，$6^2=36$，
$27-25=2$，$36-27=9$，$2＜9$，
$\therefore$ 要满足$|r|$最小，取$a=5$，此时$r=27-5^2=2$，
代入近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$得：
$\sqrt{27}=\sqrt{5^2 + 2}\approx5 + \frac{2}{2×5}=5+0.2=5.2$
【答案】
5.2
【知识点】
二次根式估算，新公式应用，完全平方数
【点评】
本题以我国古代数学成就为背景，考查对新定义公式的理解和应用能力，解题核心是准确筛选出符合条件的$a$和$r$，读懂题意即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12. 若实数$a$，$b$满足$\sqrt{a-2} + |b+1| = 0$，求$a+b$的值.
答案
12. 1
解析
【分析】
解题时首先观察等式特征：等式左侧是二次根式与绝对值的和，右侧为0。回忆所学性质可知，二次根式的计算结果是非负数，绝对值的计算结果也是非负数，两个非负数相加得0，说明每一个非负数都必须为0，据此分别列方程求出a、b的值，再代入计算a+b即可。
【解析】
解：
∵ 二次根式$\sqrt{a-2}≥0$，绝对值$|b+1|≥0$，且$\sqrt{a-2} + |b+1| = 0$
∴ 两个非负数的和为0时，每一项的值都为0，可得：
$a-2=0$，$b+1=0$
解得$a=2$，$b=-1$
将a、b的值代入得：$a+b=2+(-1)=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式的非负性；绝对值的非负性；非负数的性质
【点评】
本题是基础常考题型，核心考察非负数性质的应用，解题关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”的规律，熟练掌握常见非负数的类型即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察等式特征：等式左侧是二次根式与绝对值的和，右侧为0。回忆所学性质可知，二次根式的计算结果是非负数，绝对值的计算结果也是非负数，两个非负数相加得0，说明每一个非负数都必须为0，据此分别列方程求出a、b的值，再代入计算a+b即可。
【解析】
解：
∵ 二次根式$\sqrt{a-2}≥0$，绝对值$|b+1|≥0$，且$\sqrt{a-2} + |b+1| = 0$
∴ 两个非负数的和为0时，每一项的值都为0，可得：
$a-2=0$，$b+1=0$
解得$a=2$，$b=-1$
将a、b的值代入得：$a+b=2+(-1)=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式的非负性；绝对值的非负性；非负数的性质
【点评】
本题是基础常考题型，核心考察非负数性质的应用，解题关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”的规律，熟练掌握常见非负数的类型即可快速求解。
【难度系数】
0.8
