1. (2024·连云区期末)如图，$AB=AC$，$BD=CD$，$∠ A=60°$，$∠ D=140°$，则$∠ B=$ （）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$70°$

1.B

2.(2024·清江浦区期中)如图，$∠ A=∠ C=90^{\circ },AB=CD$.若$OB=2OA=6$,则$BC$的长为
.

2.9

3. 如图，$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，$BC=ED$，$AF$平分$∠ BAE$，求证：$AF⊥ CD$.

3. 证明:如答图,连接 AC,AD.
在$△ ABC$ 和$△ AED$ 中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ B=∠ E,\\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AD,∠ BAC=∠ EAD.$
$\because AF$ 平分$∠ BAE,\therefore∠ BAF=∠ EAF,$
$\therefore∠ BAF-∠ BAC=∠ EAF-∠ EAD,$
即$∠ FAC=∠ FAD.$
在$△ ACF$ 和$△ ADF$ 中,$\begin{cases} AC=AD,\\ ∠ CAF=∠ DAF,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore△ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS}),\therefore∠ AFC=∠ AFD.$
$\because∠ AFC+∠ AFD=180°,\therefore∠ AFC=90°,$
即$AF⊥ CD.$
第3题答图

4. 如图,$AB=AE,AB ⊥ AE,AD=AC,AD ⊥ AC,M$ 为 $BC$ 的中点,求证:$DE=2AM$.

4. 证明:如答图,延长 AM 至点 N,使 MN=AM,连接 BN.
第4题答图
$\because M$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore CM=BM.$
在$△ AMC$ 和$△ NMB$ 中,$\begin{cases} AM=NM,\\ ∠ AMC=∠ NMB,\\ CM=BM, \end{cases}$
$\therefore△ AMC≌△ NMB(\mathrm{SAS}),\therefore AC=BN,∠ C=∠ NBM.$
$\because AD=AC,\therefore AD=BN.$
$\because AB⊥ AE,AD⊥ AC,\therefore∠ EAB=∠ DAC=90°,$
$\therefore∠ EAD+∠ BAC=180°,$
$\therefore∠ ABN=∠ ABC+∠ C=180°-∠ BAC=∠ EAD.$
在$△ EAD$ 和$△ ABN$ 中,$\begin{cases} AE=BA,\\ ∠ EAD=∠ ABN,\\ AD=BN, \end{cases}$
$\therefore△ EAD≌△ ABN(\mathrm{SAS}),\therefore DE=AN=2AM.$

5. 如图,$CE,CB$分别是$△ ABC$与$△ ADC$的中线,且$∠ ACB=∠ ABC$. 求证:$CD=2CE$.

5. 证明:如答图,延长 CE 至点 F,使 EF=CE,连接 BF.
$\therefore CF=2CE.$
第5题答图
$\because CE$ 是$△ ABC$ 的中线,$\therefore AE=BE.$
在$△ ACE$ 和$△ BFE$ 中,$\begin{cases} CE=FE,\\ ∠ AEC=∠ BEF,\\ AE=BE, \end{cases}$
$\therefore△ ACE≌△ BFE(\mathrm{SAS}),\therefore∠ A=∠ FBE,AC=BF.$
又$\because∠ ACB=∠ ABC,CB$ 是$△ ADC$ 的中线,
$\therefore AC=AB=BD=BF.$
$\because∠ DBC=∠ A+∠ ACB=∠ ABF+∠ ABC,$
$\therefore∠ DBC=∠ FBC.$
在$△ DBC$ 和$△ FBC$ 中,$\begin{cases} DB=FB,\\ ∠ DBC=∠ FBC,\\ BC=BC, \end{cases}$
$\therefore△ DBC≌△ FBC(\mathrm{SAS}),\therefore DC=CF=2CE.$