三、解答题(共50分)
11. (12分) 如图,在$△ ABC$中,$D$为$BC$边上的一点,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$,且$AE=AF$,连接$AD$,求证:$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{AB}{AC}.$

11. 证明:$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore ∠ DEA=∠ DFA=90°.$
$\because AD=AD,AE=AF,\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}),$
$\therefore DE=DF,\therefore \dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DE}{\dfrac{1}{2}AC· DF}=\dfrac{AB}{AC}.$

12. (12 分) 如图,$AB=AC,AB ⊥ AC,AD ⊥ AE$,且$∠ ABD=∠ ACE$. 求证:$BD=CE$.

12. 证明:$\because AB⊥ AC,AD⊥ AE,$
$\therefore ∠ BAE+∠ CAE=90°,∠ BAE+∠ BAD=90°,$
$\therefore ∠ CAE=∠ BAD.$ 又$AB=AC,∠ ABD=∠ ACE,$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{ASA}),\therefore BD=CE.$

13.(12分)(2024·赣榆区期中)如图,点 E,F 在 BC 上,$AB=DC$,$AF=DE$,$∠ A=∠ D$.
(1)求证:$△ ABF≌△ DCE$;
(2)若$BC=15$,$EF=7$,求 BE 的长.

13. (1)证明:在$△ ABF$和$△ DCE$中,$\begin{cases} AB=DC,\\ ∠ A=∠ D,\\ AF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS}).$
(2)解:$\because △ ABF≌△ DCE,\therefore BF=CE,\therefore BE=CF.$
$\because BC=15,EF=7,\therefore 2BE=8,\therefore BE=4.$

14. (14 分) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D$ 是 $BC$ 边上的一点, $AB=DB$, $BE$ 平分 $∠ ABC$, 交 $AC$ 边于点 $E$,连接 $DE$.
(1) 求证: $△ ABE ≌ △ DBE$;
(2) 若 $∠ A=100°$, $∠ C=50°$, 求 $∠ AEB$ 的度数.

14. (1)证明:$\because BE$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ DBE.$
在$△ ABE$和$△ DBE$中,$\begin{cases} AB=DB,\\ ∠ ABE=∠ DBE,\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DBE(\mathrm{SAS}).$
(2)解:$\because ∠ A=100°,∠ C=50°,\therefore ∠ ABC=30°.$
$\because BE$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ DBE=\dfrac{1}{2}∠ ABC=15°.$
在$△ ABE$中,$∠ AEB=180°-∠ A-∠ ABE=180°-100°-15°=65°.$