登录
3.一辆汽车以恒定的功率在平直的公路上做直线运动，其$v$-$t$图像如图所示，在第10s时速度达到20m/s，通过的路程为120m.求：
(1)设汽车在行驶过程中所受阻力不变，大小为$f=4000\mathrm{N}$，那么在10～20s内汽车发动机牵引力是多少？
(2)汽车的功率为多少？
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功是多少？
(4)若发动机的转化效率为80%，则需要燃烧多少千克汽油才能使发动机做这么多功？（$q_{\mathrm{汽油}}=5×10^{7}\mathrm{J/kg}$）
(1)设汽车在行驶过程中所受阻力不变，大小为$f=4000\mathrm{N}$，那么在10～20s内汽车发动机牵引力是多少？
(2)汽车的功率为多少？
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功是多少？
(4)若发动机的转化效率为80%，则需要燃烧多少千克汽油才能使发动机做这么多功？（$q_{\mathrm{汽油}}=5×10^{7}\mathrm{J/kg}$）
答案
(1)由图像可知，10～20s内汽车做匀速直线运动，牵引力$F=f=4000\mathrm{N}.$
(2)由图像可知，汽车的速度达到的最大值为$v=20\mathrm{m/s}$，
则汽车的功率
$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv=4000\mathrm{N} × 20\mathrm{m/s}=8 × 10^4\mathrm{W}.$
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功
$W=Pt=8 × 10^4\mathrm{W} × 10\mathrm{s}=8 × 10^5\mathrm{J}.$
(4)汽油完全燃烧释放的热量
$Q_{\mathrm{放}}=\frac{W}{\eta}=\frac{8 × 10^5\mathrm{J}}{80\%}=1 × 10^6\mathrm{J},$
由$Q_{\mathrm{放}}=mq$可得需要燃烧汽油的质量
$m=\frac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{汽油}}}=\frac{1 × 10^6\mathrm{J}}{5 × 10^7\mathrm{J}/\mathrm{kg}}=0.02\mathrm{kg}.$
(2)由图像可知，汽车的速度达到的最大值为$v=20\mathrm{m/s}$，
则汽车的功率
$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv=4000\mathrm{N} × 20\mathrm{m/s}=8 × 10^4\mathrm{W}.$
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功
$W=Pt=8 × 10^4\mathrm{W} × 10\mathrm{s}=8 × 10^5\mathrm{J}.$
(4)汽油完全燃烧释放的热量
$Q_{\mathrm{放}}=\frac{W}{\eta}=\frac{8 × 10^5\mathrm{J}}{80\%}=1 × 10^6\mathrm{J},$
由$Q_{\mathrm{放}}=mq$可得需要燃烧汽油的质量
$m=\frac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{汽油}}}=\frac{1 × 10^6\mathrm{J}}{5 × 10^7\mathrm{J}/\mathrm{kg}}=0.02\mathrm{kg}.$
解析
【分析】
本题结合v-t图像考查力学与热学的综合计算，解题思路如下：
1. 分析10～20s的v-t图像，判断汽车运动状态，利用二力平衡求牵引力；
2. 利用匀速运动时功率公式P=Fv计算汽车功率；
3. 因汽车功率恒定，用W=Pt计算0～10s内牵引力做的功；
4. 根据发动机效率公式求出汽油完全燃烧释放的热量，再结合热值公式计算汽油质量。
【解析】
(1) 由v-t图像可知，10～20s内汽车速度保持20m/s不变，做匀速直线运动，根据二力平衡条件，汽车发动机牵引力与阻力大小相等，即：
$F = f = 4000\mathrm{N}$
(2) 汽车匀速运动时，功率公式为$P = Fv$，代入数据得：
$P = Fv = 4000\mathrm{N} × 20\mathrm{m/s} = 8 × 10^4\mathrm{W}$
(3) 汽车以恒定功率运动，0～10s内牵引力做功为：
$W = Pt = 8 × 10^4\mathrm{W} × 10\mathrm{s} = 8 × 10^5\mathrm{J}$
(4) 发动机效率$\eta = \frac{W}{Q_{\mathrm{放}}}$，则汽油完全燃烧释放的热量：
$Q_{\mathrm{放}} = \frac{W}{\eta} = \frac{8 × 10^5\mathrm{J}}{80\%} = 1 × 10^6\mathrm{J}$
由$Q_{\mathrm{放}} = mq_{\mathrm{汽油}}$，得汽油质量：
$m = \frac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{汽油}}} = \frac{1 × 10^6\mathrm{J}}{5 × 10^7\mathrm{J/kg}} = 0.02\mathrm{kg}$
【答案】
(1) $4000\mathrm{N}$；(2) $8×10^4\mathrm{W}$；(3) $8×10^5\mathrm{J}$；(4) $0.02\mathrm{kg}$
【知识点】
功率计算、功的计算、热值与效率
【点评】
本题结合v-t图像考查力学与热学的综合应用，关键是理解恒定功率下功的计算方法，以及匀速运动时二力平衡的应用，需要学生灵活运用相关公式解决问题。
【难度系数】
0.6
本题结合v-t图像考查力学与热学的综合计算，解题思路如下：
1. 分析10～20s的v-t图像，判断汽车运动状态，利用二力平衡求牵引力；
2. 利用匀速运动时功率公式P=Fv计算汽车功率；
3. 因汽车功率恒定，用W=Pt计算0～10s内牵引力做的功；
4. 根据发动机效率公式求出汽油完全燃烧释放的热量，再结合热值公式计算汽油质量。
【解析】
(1) 由v-t图像可知，10～20s内汽车速度保持20m/s不变，做匀速直线运动，根据二力平衡条件，汽车发动机牵引力与阻力大小相等，即：
$F = f = 4000\mathrm{N}$
(2) 汽车匀速运动时，功率公式为$P = Fv$，代入数据得：
$P = Fv = 4000\mathrm{N} × 20\mathrm{m/s} = 8 × 10^4\mathrm{W}$
(3) 汽车以恒定功率运动，0～10s内牵引力做功为：
$W = Pt = 8 × 10^4\mathrm{W} × 10\mathrm{s} = 8 × 10^5\mathrm{J}$
(4) 发动机效率$\eta = \frac{W}{Q_{\mathrm{放}}}$，则汽油完全燃烧释放的热量：
$Q_{\mathrm{放}} = \frac{W}{\eta} = \frac{8 × 10^5\mathrm{J}}{80\%} = 1 × 10^6\mathrm{J}$
由$Q_{\mathrm{放}} = mq_{\mathrm{汽油}}$，得汽油质量：
$m = \frac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{汽油}}} = \frac{1 × 10^6\mathrm{J}}{5 × 10^7\mathrm{J/kg}} = 0.02\mathrm{kg}$
【答案】
(1) $4000\mathrm{N}$；(2) $8×10^4\mathrm{W}$；(3) $8×10^5\mathrm{J}$；(4) $0.02\mathrm{kg}$
【知识点】
功率计算、功的计算、热值与效率
【点评】
本题结合v-t图像考查力学与热学的综合应用，关键是理解恒定功率下功的计算方法，以及匀速运动时二力平衡的应用，需要学生灵活运用相关公式解决问题。
【难度系数】
0.6
4. 我国自主研制的第五代战斗机“歼-20”，它具备超音速巡航、电磁隐身、超机动性、超视距攻击等优异性能，该飞机最大起飞质量为$3.7×10^{4}\mathrm{kg}$，最大飞行高度达$2×10^{4}\mathrm{m}$，最大航行速度达2.5倍声速，最大载油量为$1×10^{4}\mathrm{kg}$. 飞机航行时所受阻力的大小与速度的关系如下表.
已知飞机发动机燃油完全燃烧的能量转化为机械能的效率是30%，飞机使用的航空燃油的热值为$5×10^{7}\mathrm{J/kg}$，请回答下列问题：
(1)飞机发动机完全燃烧$1×10^{4}\mathrm{kg}$燃油放出的热量为多少？
(2)当飞机以300m/s的速度水平匀速巡航时，飞机航行时所受阻力的大小是多少？飞机发动机的输出功率是多少？
(3)某次执行任务时，驾驶员发现飞机的油量还有$3.2×10^{3}\mathrm{kg}$，若以400m/s的速度巡航，则飞机最多还能飞行多远？
已知飞机发动机燃油完全燃烧的能量转化为机械能的效率是30%，飞机使用的航空燃油的热值为$5×10^{7}\mathrm{J/kg}$，请回答下列问题：
(1)飞机发动机完全燃烧$1×10^{4}\mathrm{kg}$燃油放出的热量为多少？
(2)当飞机以300m/s的速度水平匀速巡航时，飞机航行时所受阻力的大小是多少？飞机发动机的输出功率是多少？
(3)某次执行任务时，驾驶员发现飞机的油量还有$3.2×10^{3}\mathrm{kg}$，若以400m/s的速度巡航，则飞机最多还能飞行多远？
答案
(1)飞机发动机完全燃烧$1 × 10^4\mathrm{kg}$燃油放出的热量
$Q_{\mathrm{放}}=mq=1 × 10^4\mathrm{kg} × 5 × 10^7\mathrm{J}/\mathrm{kg}=5 × 10^{11}\mathrm{J}.$
(2)由表中数据可知，所受阻力与速度的平方成正比，即
$f_1:f_3=v_1^2:v_3^2,$
则飞机以300m/s的速度巡航时，所受阻力
$f_3=(\frac{v_3}{v_1})^2 f_1=(\frac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}})^2 × 0.3 × 10^4\mathrm{N}=2.7 × 10^4\mathrm{N},$
则飞机发动机的输出功率
$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv_3=f_3v_3=2.7 × 10^4\mathrm{N} × 300\mathrm{m/s}=8.1 × 10^6\mathrm{W}.$
(3)飞机的油量还有$3.2 × 10^3\mathrm{kg}$，则这些燃油放出的热量
$Q_{\mathrm{放}}'=m'q=3.2 × 10^3\mathrm{kg} × 5 × 10^7\mathrm{J}/\mathrm{kg}=1.6 × 10^{11}\mathrm{J}.$
根据$\eta=\frac{W}{Q_{\mathrm{放}}}$得还能做的有用功
$W=30\% × Q_{\mathrm{放}}'=30\% × 1.6 × 10^{11}\mathrm{J}=4.8 × 10^{10}\mathrm{J},$
由表中数据可知，速度为400m/s时的阻力$f_4=4.8 × 10^4\mathrm{N}.$
由$W=Fs=fs$可得飞机最多还能飞行
$s_4=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8 × 10^{10}\mathrm{J}}{4.8 × 10^4\mathrm{N}}=1 × 10^6\mathrm{m}=1000\mathrm{km}.$
$Q_{\mathrm{放}}=mq=1 × 10^4\mathrm{kg} × 5 × 10^7\mathrm{J}/\mathrm{kg}=5 × 10^{11}\mathrm{J}.$
(2)由表中数据可知，所受阻力与速度的平方成正比，即
$f_1:f_3=v_1^2:v_3^2,$
则飞机以300m/s的速度巡航时，所受阻力
$f_3=(\frac{v_3}{v_1})^2 f_1=(\frac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}})^2 × 0.3 × 10^4\mathrm{N}=2.7 × 10^4\mathrm{N},$
则飞机发动机的输出功率
$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv_3=f_3v_3=2.7 × 10^4\mathrm{N} × 300\mathrm{m/s}=8.1 × 10^6\mathrm{W}.$
(3)飞机的油量还有$3.2 × 10^3\mathrm{kg}$，则这些燃油放出的热量
$Q_{\mathrm{放}}'=m'q=3.2 × 10^3\mathrm{kg} × 5 × 10^7\mathrm{J}/\mathrm{kg}=1.6 × 10^{11}\mathrm{J}.$
根据$\eta=\frac{W}{Q_{\mathrm{放}}}$得还能做的有用功
$W=30\% × Q_{\mathrm{放}}'=30\% × 1.6 × 10^{11}\mathrm{J}=4.8 × 10^{10}\mathrm{J},$
由表中数据可知，速度为400m/s时的阻力$f_4=4.8 × 10^4\mathrm{N}.$
由$W=Fs=fs$可得飞机最多还能飞行
$s_4=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8 × 10^{10}\mathrm{J}}{4.8 × 10^4\mathrm{N}}=1 × 10^6\mathrm{m}=1000\mathrm{km}.$
解析
【分析】
1. 第(1)问：求燃油完全燃烧放出的热量，直接使用燃料放热公式$Q_{\mathrm{放}}=mq$，代入燃油质量和热值计算即可。
2. 第(2)问：先观察表格数据，发现阻力与速度的平方成正比，利用比例关系计算300m/s时的阻力；飞机匀速巡航时牵引力等于阻力，再结合功率公式$P=Fv$（匀速时$F=f$）计算输出功率。
3. 第(3)问：先计算剩余燃油燃烧放出的热量，再根据效率公式算出有用功；从表格中找到400m/s对应的阻力，利用$W=Fs$变形得到飞行距离，代入数据计算即可。
【解析】
(1) 燃油完全燃烧放出的热量：
$Q_{\mathrm{放}}=mq=1×10^4\mathrm{kg}×5×10^7\mathrm{J/kg}=5×10^{11}\mathrm{J}$。
(2) 由表格数据可知，阻力与速度的平方成正比，即$f∝v^2$，因此：
飞机以300m/s巡航时，$\frac{f_3}{f_1}=(\frac{v_3}{v_1})^2$，代入数据得：
$f_3=(\frac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}})^2×0.3×10^4\mathrm{N}=9×0.3×10^4\mathrm{N}=2.7×10^4\mathrm{N}$；
匀速巡航时牵引力$F=f_3$，输出功率：
$P=Fv_3=f_3v_3=2.7×10^4\mathrm{N}×300\mathrm{m/s}=8.1×10^6\mathrm{W}$。
(3) 剩余燃油燃烧放出的热量：
$Q_{\mathrm{放}}'=m'q=3.2×10^3\mathrm{kg}×5×10^7\mathrm{J/kg}=1.6×10^{11}\mathrm{J}$；
有用功：
$W=\eta Q_{\mathrm{放}}'=30\%×1.6×10^{11}\mathrm{J}=4.8×10^{10}\mathrm{J}$；
由表格知，400m/s时阻力$f_4=4.8×10^4\mathrm{N}$，飞行距离：
$s=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8×10^{10}\mathrm{J}}{4.8×10^4\mathrm{N}}=1×10^6\mathrm{m}=1000\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $5×10^{11}\mathrm{J}$；(2) 阻力为$2.7×10^4\mathrm{N}$，输出功率为$8.1×10^6\mathrm{W}$；(3) $1000\mathrm{km}$
【知识点】
燃料的热值、功率的计算、功与效率的综合应用
【点评】
本题结合实际场景考查物理公式的应用，关键是从表格数据中分析出阻力与速度的关系，再结合热值、功率、效率的相关公式逐步求解，注重学生的数据分析和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：求燃油完全燃烧放出的热量，直接使用燃料放热公式$Q_{\mathrm{放}}=mq$，代入燃油质量和热值计算即可。
2. 第(2)问：先观察表格数据，发现阻力与速度的平方成正比，利用比例关系计算300m/s时的阻力；飞机匀速巡航时牵引力等于阻力，再结合功率公式$P=Fv$（匀速时$F=f$）计算输出功率。
3. 第(3)问：先计算剩余燃油燃烧放出的热量，再根据效率公式算出有用功；从表格中找到400m/s对应的阻力，利用$W=Fs$变形得到飞行距离，代入数据计算即可。
【解析】
(1) 燃油完全燃烧放出的热量：
$Q_{\mathrm{放}}=mq=1×10^4\mathrm{kg}×5×10^7\mathrm{J/kg}=5×10^{11}\mathrm{J}$。
(2) 由表格数据可知，阻力与速度的平方成正比，即$f∝v^2$，因此：
飞机以300m/s巡航时，$\frac{f_3}{f_1}=(\frac{v_3}{v_1})^2$，代入数据得：
$f_3=(\frac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}})^2×0.3×10^4\mathrm{N}=9×0.3×10^4\mathrm{N}=2.7×10^4\mathrm{N}$；
匀速巡航时牵引力$F=f_3$，输出功率：
$P=Fv_3=f_3v_3=2.7×10^4\mathrm{N}×300\mathrm{m/s}=8.1×10^6\mathrm{W}$。
(3) 剩余燃油燃烧放出的热量：
$Q_{\mathrm{放}}'=m'q=3.2×10^3\mathrm{kg}×5×10^7\mathrm{J/kg}=1.6×10^{11}\mathrm{J}$；
有用功：
$W=\eta Q_{\mathrm{放}}'=30\%×1.6×10^{11}\mathrm{J}=4.8×10^{10}\mathrm{J}$；
由表格知，400m/s时阻力$f_4=4.8×10^4\mathrm{N}$，飞行距离：
$s=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8×10^{10}\mathrm{J}}{4.8×10^4\mathrm{N}}=1×10^6\mathrm{m}=1000\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $5×10^{11}\mathrm{J}$；(2) 阻力为$2.7×10^4\mathrm{N}$，输出功率为$8.1×10^6\mathrm{W}$；(3) $1000\mathrm{km}$
【知识点】
燃料的热值、功率的计算、功与效率的综合应用
【点评】
本题结合实际场景考查物理公式的应用，关键是从表格数据中分析出阻力与速度的关系，再结合热值、功率、效率的相关公式逐步求解，注重学生的数据分析和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
