2. 如图 5 - 2 - 31①，要在街道旁修建一个奶站，向居区 $A$，$B$ 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 $A$，$B$ 到它的距离之和最小？

解：如图 5 - 2 - 31②，只有点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$ 与点 $C$，$B$ 在同一条直线上时，才能使 $AC + BC$ 的值最小，作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$，然后连接 $A'B$，交直线 $l$ 于点 $C$，则 $C$ 就是所求的点。
应用：如图 5 - 2 - 31③，$A$ 是锐角 $∠ MON$ 内部任意一点，在 $∠ MON$ 的两边 $OM$，$ON$ 上各取一点 $B$，$C$，组成 $△ ABC$，当点 $B$，$C$ 在什么位置时，三角形 $ABC$ 的周长最小？
(1) 在图 5 - 2 - 31③中找出符合条件的点 $B$ 和点 $C$，并画出 $△ ABC$；
(2) 若 $∠ MON = 30°$，$OA = 10$，求 $△ ABC$ 周长的最小值。

解:(1)如答图5 - 2 - 10,分别作出点A关于OM和ON的对称点$A_{1}$和$A_{2}$，连接$A_{1}A_{2}$，分别与OM和ON交于点B和点C，连接AB，AC，得$△ ABC$。

(2)连接$OA_{1}$，$OA_{2}$和OA(图略)，因为点A和点$A_{1}$关于OM对称，所以$∠A_{1}OM=∠AOM$，$A_{1}O=AO$。同理$∠A_{2}ON=∠AON$，$A_{2}O=AO$。所以$∠A_{1}OA+∠A_{2}OA=2∠AOM+2∠AON=2∠MON$。又$∠MON=30°$，所以$∠A_{1}OA_{2}=60°$。又$A_{1}O=AO=A_{2}O=10$，所以$△ A_{1}OA_{2}$是边长为10的等边三角形。则$A_{1}A_{2}=10$。由(1)作法可知$AB=A_{1}B$，$AC=CA_{2}$，所以$△ ABC$周长$=AB+AC+BC =A_{1}B+BC+CA_{2} =A_{1}A_{2} =10$，即$△ ABC$周长的最小值为10。

3. 如图 5 - 2 - 32，$∠ ABN = 60°$，点 $C$ 为射线 $BN$ 上一定点，$E$ 为线段 $AB$ 延长线上一定点，且 $BE = AB = 12$，点 $A$ 关于射线 $BN$ 的对称点为 $D$，连接 $BD$，$CD$，$DE$，$AC$。
(1) 请说明：$∠ BAC = ∠ BDC$；
(2) 若 $P$ 为直线 $BC$ 上一个动点，求 $△ PDE$ 周长最小时，点 $P$ 所在的位置，并求出 $△ PDE$ 周长的最小值。

解:(1)连接AD,如答图5 - 2 - 11,因为点A关于射线BN的对称点为D，所以BN垂直平分AD，所以$BA=BD$，$CA=CD$。在$△ BAC$和$△ BDC$中，$\begin{cases}BA=BD,\\BC=BC,\\CA=CD,\end{cases}$所以$△ BAC≌△ BDC(SSS)$，所以$∠BAC=∠BDC$。

(2)连接AP,如答图5 - 2 - 11，因为$△ BAC≌△ BDC$，所以$∠DBN=∠ABN=60°$。因为$BE=BA$，$BA=BD$，所以$BE=BD$，所以$∠BED=∠BDE$。因为$∠ABD=180°-∠EBD=180°-(180°-∠BED-∠BDE)=∠BED+∠BDE$，所以$∠BED=∠BDE=60°$，所以$△ BDE$为等边三角形，所以$DE=BE=12$。因为BN垂直平分AD，所以$PA=PD$，所以$PE+PD=PE+PA$。因为$PE+PA≥AE$(当且仅当P，A，E三点共线时取等号)，即P点运动到B点时，$PE+PA$的值最小，且最小值为24，所以$△ PDE$周长的最小值为36。