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24. 方程组$\begin{cases} x+y=15, \\ x-y=7 \end{cases}$的解为________，则直线$y=-x+15$和$y=x-7$的交点坐标是________。
答案
24.$\begin{cases} x=11, \\ y=4 \end{cases} \quad (11,4)$
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问求解二元一次方程组，可采用加减消元法：观察方程组两个方程中y的系数互为相反数，将两个方程相加即可消去y，先求出x的值，再将x的值代入任意一个方程即可求出y的值。第二问考查一次函数交点与二元一次方程组的关系：两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，将两个直线解析式联立得到的就是题干中的二元一次方程组，因此方程组的解就是两条直线的交点坐标，横坐标对应x的值，纵坐标对应y的值。
【解析】
1. 解方程组$\begin{cases} x+y=15 \quad ① \\ x-y=7 \quad ② \end{cases}$：
将①+②，得：$x+y+x-y=15+7$，化简得$2x=22$，解得$x=11$。
把$x=11$代入①式，得：$11+y=15$，解得$y=4$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=11 \\ y=4 \end{cases}$。
2. 求直线交点坐标：
因为两条直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，联立两个解析式得到的就是题干中的二元一次方程组，因此方程组的解就是交点的横、纵坐标，即交点坐标为$(11,4)$。
【答案】
$\begin{cases} x=11, \\ y=4 \end{cases}$；$(11,4)$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于基础题，既考查了二元一次方程组的基本求解方法，也考查了一次函数与二元一次方程组的对应联系，掌握加减消元法解方程组、理解一次函数交点与方程组解的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，第一问求解二元一次方程组，可采用加减消元法：观察方程组两个方程中y的系数互为相反数，将两个方程相加即可消去y，先求出x的值，再将x的值代入任意一个方程即可求出y的值。第二问考查一次函数交点与二元一次方程组的关系：两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，将两个直线解析式联立得到的就是题干中的二元一次方程组，因此方程组的解就是两条直线的交点坐标，横坐标对应x的值，纵坐标对应y的值。
【解析】
1. 解方程组$\begin{cases} x+y=15 \quad ① \\ x-y=7 \quad ② \end{cases}$：
将①+②，得：$x+y+x-y=15+7$，化简得$2x=22$，解得$x=11$。
把$x=11$代入①式，得：$11+y=15$，解得$y=4$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=11 \\ y=4 \end{cases}$。
2. 求直线交点坐标：
因为两条直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，联立两个解析式得到的就是题干中的二元一次方程组，因此方程组的解就是交点的横、纵坐标，即交点坐标为$(11,4)$。
【答案】
$\begin{cases} x=11, \\ y=4 \end{cases}$；$(11,4)$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于基础题，既考查了二元一次方程组的基本求解方法，也考查了一次函数与二元一次方程组的对应联系，掌握加减消元法解方程组、理解一次函数交点与方程组解的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
25.已知直线$y=2x-1$与$y=x+4$的交点是$(5,9)$，则当$x$
$＞5$
时，直线$y=2x-1$上的点在直线$y=x+4$上相应点的上方；当$x$$＜5$
时，直线$y=2x-1$上的点在直线$y=x+4$上相应点的下方。答案
25.$＞5 \quad ＜5$
解析
【分析】
要判断哪条直线上的点在另一条直线的上方，本质是判断相同x取值时，哪条直线对应的y函数值更大。已知两条直线的交点横坐标为5，交点处两个函数的y值相等。我们可以通过列一元一次不等式求解，也可以结合一次函数的倾斜程度分析：y=2x-1的倾斜程度比y=x+4更大，上升速度更快，因此交点右侧y=2x-1的y值更大，交点左侧y值更小。
【解析】
当直线$y=2x-1$上的点在直线$y=x+4$对应点的上方时，相同x取值下满足：
$2x - 1 ＞ x + 4$
移项计算得：$2x - x ＞ 4 + 1$，即$x＞5$
当直线$y=2x-1$上的点在直线$y=x+4$对应点的下方时，相同x取值下满足：
$2x - 1 ＜ x + 4$
移项计算得：$2x - x ＜ 4 + 1$，即$x＜5$
【答案】
$＞5$；$＜5$
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 一元一次不等式解法
【点评】
本题考查一次函数值大小与图象上下位置的对应关系，既可以通过解不等式直接求解，也可以结合函数图象的交点和倾斜程度快速判断，是一次函数章节的基础典型题。
【难度系数】
0.8
要判断哪条直线上的点在另一条直线的上方，本质是判断相同x取值时，哪条直线对应的y函数值更大。已知两条直线的交点横坐标为5，交点处两个函数的y值相等。我们可以通过列一元一次不等式求解，也可以结合一次函数的倾斜程度分析：y=2x-1的倾斜程度比y=x+4更大，上升速度更快，因此交点右侧y=2x-1的y值更大，交点左侧y值更小。
【解析】
当直线$y=2x-1$上的点在直线$y=x+4$对应点的上方时，相同x取值下满足：
$2x - 1 ＞ x + 4$
移项计算得：$2x - x ＞ 4 + 1$，即$x＞5$
当直线$y=2x-1$上的点在直线$y=x+4$对应点的下方时，相同x取值下满足：
$2x - 1 ＜ x + 4$
移项计算得：$2x - x ＜ 4 + 1$，即$x＜5$
【答案】
$＞5$；$＜5$
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 一元一次不等式解法
【点评】
本题考查一次函数值大小与图象上下位置的对应关系，既可以通过解不等式直接求解，也可以结合函数图象的交点和倾斜程度快速判断，是一次函数章节的基础典型题。
【难度系数】
0.8
26.若一次函数 $ y = kx + 7 $ 的图象经过直线 $ y = 4 - 3x $ 和 $ y = 2x - 1 $ 的交点，求 $ k $ 的值.
答案
26.解:由$\begin{cases} y=4-3x, \\ y=2x-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1, \\ y=1, \end{cases}$
∴直线$y=4-3x$ 和 $y=2x-1$ 的交点为$(1,1)$.
又
∵一次函数 $y=kx+7$ 的图象经过点$(1,1)$,
∴$1=k·1+7$,解得 $k=-6.$
∴直线$y=4-3x$ 和 $y=2x-1$ 的交点为$(1,1)$.
又
∵一次函数 $y=kx+7$ 的图象经过点$(1,1)$,
∴$1=k·1+7$,解得 $k=-6.$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确：两条直线的交点坐标同时满足这两条直线的解析式，因此第一步可联立两条已知直线的解析式组成二元一次方程组，求解得到交点坐标；其次，一次函数$y=kx+7$的图象经过该交点，说明交点坐标也满足$y=kx+7$，将交点坐标代入该解析式即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程就能求出$k$的值。
【解析】
解：联立直线$y = 4 - 3x$和$y = 2x - 1$的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=4-3x \\ y=2x-1 \end{cases}$
联立求解，将第二个方程代入第一个方程可得：$2x - 1 = 4 - 3x$，
移项合并同类项得：$5x=5$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$y=2x-1$，得$y=2×1 -1=1$，
因此两条直线的交点坐标为$(1,1)$。
∵一次函数$y=kx+7$的图象经过点$(1,1)$，
将$x=1$，$y=1$代入$y=kx+7$得：$1 = k×1 +7$，
解得$k=-6$。
【答案】
$k=-6$
【知识点】
1.两直线交点求解
2.一次函数点的坐标特征
3.待定系数法
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是理解两直线交点坐标的性质，即交点坐标同时满足两条相交直线的解析式，再通过代入法求解未知参数，熟练掌握二元一次方程组的解法和一次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确：两条直线的交点坐标同时满足这两条直线的解析式，因此第一步可联立两条已知直线的解析式组成二元一次方程组，求解得到交点坐标；其次，一次函数$y=kx+7$的图象经过该交点，说明交点坐标也满足$y=kx+7$，将交点坐标代入该解析式即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程就能求出$k$的值。
【解析】
解：联立直线$y = 4 - 3x$和$y = 2x - 1$的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=4-3x \\ y=2x-1 \end{cases}$
联立求解，将第二个方程代入第一个方程可得：$2x - 1 = 4 - 3x$，
移项合并同类项得：$5x=5$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$y=2x-1$，得$y=2×1 -1=1$，
因此两条直线的交点坐标为$(1,1)$。
∵一次函数$y=kx+7$的图象经过点$(1,1)$，
将$x=1$，$y=1$代入$y=kx+7$得：$1 = k×1 +7$，
解得$k=-6$。
【答案】
$k=-6$
【知识点】
1.两直线交点求解
2.一次函数点的坐标特征
3.待定系数法
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是理解两直线交点坐标的性质，即交点坐标同时满足两条相交直线的解析式，再通过代入法求解未知参数，熟练掌握二元一次方程组的解法和一次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
27.在同一平面直角坐标系中画出一次函数$y_1=-2x+1$与$y_2=2x-3$的图象，并根据图象解决下列问题：
(1)直线$y_1=-2x+1,y_2=2x-3$与y轴分别交于点A,B,请写出A,B两点的坐标；
(2)写出直线$y_1=-2x+1$与$y_2=2x-3$的交点P的坐标；
(3)写出当$y_1＞y_2$时,x的取值范围；
(4)求$△ PAB$的面积。
(1)直线$y_1=-2x+1,y_2=2x-3$与y轴分别交于点A,B,请写出A,B两点的坐标；
(2)写出直线$y_1=-2x+1$与$y_2=2x-3$的交点P的坐标；
(3)写出当$y_1＞y_2$时,x的取值范围；
(4)求$△ PAB$的面积。
答案
27.解:
(1)当$x=0$时,$y_1=1$,故$A(0,1)$;
当$x=0$时,$y_2=-3$,故$B(0,-3)$.
(2)如图,直线$y_1=-2x+1$与$y_2=2x-3$的交点P的坐标为$(1,-1)$.
(3)由图象可知,当$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围是$x＜1$.
(4)$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}·AB·1=\frac{1}{2}×4×1=2.$
解析
【分析】
1. 求一次函数与y轴交点：y轴上点的横坐标均为0，将x=0分别代入两个函数解析式，计算得到的y值就是对应交点的纵坐标，即可得到A、B坐标。
2. 求两直线交点：交点坐标同时满足两个函数解析式，既可以联立两个函数的方程求解，也可以直接观察图像得到P点坐标。
3. 求y₁＞y₂的x范围：函数图像中，y₁的图像在y₂图像上方的部分对应的x取值就是所求范围，观察图像即可得到结果。
4. 求△PAB的面积：A、B都在y轴上，先计算AB的长度为两点纵坐标差的绝对值，点P到y轴的水平距离就是AB边上的高，代入三角形面积公式即可计算面积。
【解析】
(1) 一次函数与y轴交点的横坐标为0，
当x=0时，代入$y_1=-2x+1$，得$y_1=1$，因此$A(0,1)$；
当x=0时，代入$y_2=2x-3$，得$y_2=-3$，因此$B(0,-3)$。
(2) 联立两个函数解析式$\begin{cases}y=-2x+1\\y=2x-3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$，因此交点P的坐标为$(1,-1)$，也可直接观察图像得到该结果。
(3) 观察图像可得，当$x＜1$时，直线$y_1=-2x+1$位于直线$y_2=2x-3$的上方，即此时$y_1＞y_2$，因此x的取值范围是$x＜1$。
(4) AB的长度为$\vert1-(-3)\vert=4$，点P到y轴的距离为1，即AB边上的高为1，
因此$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × 高=\frac{1}{2} ×4 ×1=2$。
【答案】
(1)当$x=0$时,$y_1=1$,故$A(0,1)$;
当$x=0$时,$y_2=-3$,故$B(0,-3)$.
(2)如图,直线$y_1=-2x+1$与$y_2=2x-3$的交点P的坐标为$(1,-1)$.
(3)由图象可知,当$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围是$x＜1$.
(4)$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}·AB·1=\frac{1}{2}×4×1=2.$
【知识点】
一次函数图像性质；一次函数与不等式；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，结合图像分析能简化解题过程，考查了一次函数相关的基础知识点，要求熟练掌握一次函数交点求解、函数值大小比较和简单几何图形面积计算的方法。
【难度系数】
0.8
1. 求一次函数与y轴交点：y轴上点的横坐标均为0，将x=0分别代入两个函数解析式，计算得到的y值就是对应交点的纵坐标，即可得到A、B坐标。
2. 求两直线交点：交点坐标同时满足两个函数解析式，既可以联立两个函数的方程求解，也可以直接观察图像得到P点坐标。
3. 求y₁＞y₂的x范围：函数图像中，y₁的图像在y₂图像上方的部分对应的x取值就是所求范围，观察图像即可得到结果。
4. 求△PAB的面积：A、B都在y轴上，先计算AB的长度为两点纵坐标差的绝对值，点P到y轴的水平距离就是AB边上的高，代入三角形面积公式即可计算面积。
【解析】
(1) 一次函数与y轴交点的横坐标为0，
当x=0时，代入$y_1=-2x+1$，得$y_1=1$，因此$A(0,1)$；
当x=0时，代入$y_2=2x-3$，得$y_2=-3$，因此$B(0,-3)$。
(2) 联立两个函数解析式$\begin{cases}y=-2x+1\\y=2x-3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$，因此交点P的坐标为$(1,-1)$，也可直接观察图像得到该结果。
(3) 观察图像可得，当$x＜1$时，直线$y_1=-2x+1$位于直线$y_2=2x-3$的上方，即此时$y_1＞y_2$，因此x的取值范围是$x＜1$。
(4) AB的长度为$\vert1-(-3)\vert=4$，点P到y轴的距离为1，即AB边上的高为1，
因此$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × 高=\frac{1}{2} ×4 ×1=2$。
【答案】
(1)当$x=0$时,$y_1=1$,故$A(0,1)$;
当$x=0$时,$y_2=-3$,故$B(0,-3)$.
(2)如图,直线$y_1=-2x+1$与$y_2=2x-3$的交点P的坐标为$(1,-1)$.
(3)由图象可知,当$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围是$x＜1$.
(4)$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}·AB·1=\frac{1}{2}×4×1=2.$
【知识点】
一次函数图像性质；一次函数与不等式；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，结合图像分析能简化解题过程，考查了一次函数相关的基础知识点，要求熟练掌握一次函数交点求解、函数值大小比较和简单几何图形面积计算的方法。
【难度系数】
0.8
