7. 如图,在等边$△ ABC$中,已知$AB=5$,点$D$在$BC$边上,且$BD=2$,点$E$为$AB$边上一动点,在线段$ED$右侧作等边$△ DEF$,当点$F$恰在$AC$边上时,等边$△ DEF$的边长为().

A.$2$
B.$\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$

7. B

【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到角、边的等量关系，通过角度推导证明三角形全等，得到相关边的长度，再构造直角三角形，结合含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出等边△DEF的边长。具体思路：①先由两个等边三角形的内角均为60°，推导得到相等的角，结合等边△DEF的边相等，证明△BED和△CDF全等，得到BE的长度；②过D作AB的垂线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质求出高和短直角边，最后用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，$AB=5$
∴$∠ B=∠ C=60°$，$BC=AB=5$
∵$BD=2$，
∴$CD=BC-BD=5-2=3$
∵△DEF是等边三角形，
∴$DE=DF$，$∠ EDF=60°$
∴$∠ BDE+∠ CDF=180°-∠ EDF=120°$
在△BED中，$∠ BDE+∠ BED=180°-∠ B=120°$
∴$∠ BED=∠ CDF$
在△BED和△CDF中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BED=∠ CDF \\DE=DF\end{cases}$
∴$△ BED≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
∴$BE=CD=3$
过D作$DG⊥ AB$于点G，
在$\mathrm{Rt}△ BDG$中，$∠ B=60°$，$BD=2$
∴$∠ BDG=30°$，$BG=\frac{1}{2}BD=1$
由勾股定理得：$DG=\sqrt{BD^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∵$BE=3$，
∴$EG=BE-BG=3-1=2$
在$\mathrm{Rt}△ DEG$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{EG^2+DG^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}$
即等边△DEF的边长为$\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是通过角度互余推导得到等角，进而证明三角形全等得到边的数量关系，再构造直角三角形利用勾股定理求解，是等边三角形相关题型中非常典型的考法。
【难度系数】
0.6

8. 若不等式组$\begin{cases}x＞a-b, \\ 4a-2x＞b\end{cases}$的解是$-1＜x＜2$，则$a=$ ______ ，$b=$ ______ 。

8. $\dfrac{5}{3}$ $\dfrac{8}{3}$

【分析】
本题是已知不等式组的解集求参数的问题，解题思路分三步：第一步，把a、b当作常数，分别解不等式组中的两个不等式，得到用a、b表示的不等式组的解集；第二步，将求出的解集与题目给出的解集$-1＜x＜2$对比，对应边界值相等，即可得到关于a、b的二元一次方程组；第三步，解这个二元一次方程组，就能求出a、b的值。
【解析】
首先解不等式组：
1. 第一个不等式为$x＞a-b$，无需化简。
2. 解第二个不等式$4a-2x＞b$：
移项得：$-2x＞b-4a$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x＜\frac{4a - b}{2}$。
所以原不等式组的解集为$a - b ＜ x ＜ \frac{4a - b}{2}$。
已知不等式组的解是$-1＜x＜2$，因此可得方程组：
$\begin{cases}a - b = -1 \\ \frac{4a - b}{2} = 2\end{cases}$
整理第二个方程得：$4a - b = 4$，
用第二个方程减去第一个方程消去b：
$(4a - b) - (a - b) = 4 - (-1)$
$3a = 5$，解得$a=\frac{5}{3}$。
将$a=\frac{5}{3}$代入$a - b = -1$，得：
$\frac{5}{3} - b = -1$，解得$b=\frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{5}{3}$；$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集；解二元一次方程组
【点评】
本题属于不等式组与二元一次方程组的综合基础题，解题的核心是先将参数看作常数解出不等式组的解集，再和已知解集对应建立方程组，需注意解不等式时两边乘除负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7

9. 甲仓库有水泥110吨,乙仓库有水泥70吨,现要将这些水泥全部运往A,B两工地,调运任务承包给某运输公司.已知A工地需水泥100吨,B工地需水泥80吨,从甲仓库运往A,B两工地的路程和每吨每千米的运费如下表:

(1) 设甲仓库运往A地水泥x吨,则甲仓库运往B地水泥吨,乙仓库运往A地水泥吨,乙仓库运往B地水泥吨(用含x的代数式表示).
(2) 求总运费W关于x的函数关系式,并求出自变量的取值范围.
(3) 当甲、乙两仓库各运往A,B两工地多少吨水泥时,总运费最省?最省的总运费是多少?

9. (1) $110-x$ $100-x$ $x-30$
(2) $W=3x+3700(30≤x≤100)$
(3) 当甲仓库运到A地30吨,运到B地80吨,乙仓库运到A地70吨,运到B地0吨时总费用最省,最省费用为3790元

【分析】
本题为调运优化类问题，解题思路如下：
1. 第一问：以甲仓库运往A地的水泥量x为基础，根据各仓库总储量、各工地总需求量，用总量减去已分配量，依次表示出其余调运量，注意调运量不能为负数。
2. 第二问：总运费为四条运输路线的运费总和，单条路线运费=运输吨数×路程×每吨每千米运费，分别计算各路线费用后相加化简即可得到函数关系式；再根据所有调运量非负列不等式组，求解得到自变量x的取值范围。
3. 第三问：利用一次函数的增减性判断最值位置，代入对应x值即可得到最省运费和最优调运方案。
【解析】
(1) 甲仓库总储量110吨，运往A地x吨，因此运往B地水泥$\boxed{110-x}$吨；
A地共需100吨，甲仓库已运x吨，因此乙仓库运往A地水泥$\boxed{100-x}$吨；
乙仓库总储量70吨，运往A地$(100-x)$吨，因此运往B地水泥$70-(100-x)=\boxed{x-30}$吨。
(2) 分别计算四条路线的运费：
① 甲→A：费用为$x×25×1=25x$元；
② 甲→B：费用为$(110-x)×20×1.2=2640-24x$元；
③ 乙→A：费用为$(100-x)×20×0.8=1600-16x$元；
④ 乙→B：费用为$(x-30)×15×1.2=18x-540$元；
总运费$W=25x+(2640-24x)+(1600-16x)+(18x-540)$，化简得：
$W=3x+3700$
调运量均为非负数，因此列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\110-x≥0 \\100-x≥0 \\x-30≥0\end{cases}$
解得自变量取值范围：$30≤ x≤100$。
(3) 一次函数$W=3x+3700$中，$k=3＞0$，因此W随x的增大而增大，当x取最小值30时，总运费最省。
当$x=30$时：
甲运往A地30吨，运往B地$110-30=80$吨；
乙运往A地$100-30=70$吨，运往B地$30-30=0$吨；
最省总运费$W=3×30+3700=3790$元。
【答案】
(1) $110-x$；$100-x$；$x-30$
(2) $W=3x+3700(30≤ x≤100)$
(3) 当甲仓库运到A地30吨，运到B地80吨，乙仓库运到A地70吨，运到B地0吨时总费用最省，最省费用为3790元
【知识点】
列代数式；一次函数的实际应用；一次函数的最值
【点评】
本题属于典型的实际方案优化问题，将代数式表示、不等式求解、一次函数性质三个知识点结合考查，解题核心是理清各调运量的数量关系，正确列出总运费的函数表达式，再利用一次函数增减性求解最值，与生活实际结合紧密，能很好地考查知识应用能力。
【难度系数】
0.65