9. 如图,在矩形ABCD中,点F是BC延长线上一点。
(1) 在AD边上找一点E,使BE平分∠AEF,用尺规作出点E(已知AD边上这样的点E是存在的),并说明理由；
(2) 在(1)的基础上,EF交CD于点G,且G为CD的中点。若AB=8,AE=4,求BC的长。

9.(1)如图,以点F为圆心,FB长为半径作圆弧交AD于点E。点E就是所求作的点。理由如下：
连结BE,在矩形ABCD中,
∵ AD//BC,
∴ ∠AEB=∠EBF,
∵ EF=BF,
∴ ∠BEF=∠EBF,
∴ ∠AEB=∠BEF,
∴ BE平分∠AEF。

(2)
∵ G为CD的中点,且∠D=∠GCF=90°,
∠EGD=∠FGC,
∴ △EGD≅△FGC,
∴ ED=FC, GF=GE,
设ED=x,
∴ $(x+2)^2=4^2+x^2$, 解得x=3,
∴ BC=7。

10. 【回顾课本】浙教版八年级下册数学教材“4.5 三角形的中位线”一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，如图1，因为点E是AC的中点，考虑把△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°,得到△CFE,这样只要证明了四边形BCFD是平行四边形即可得到DE//BC。
【探究发现】如图2,等边△ABC的边长为2,D,E分别为AB,AC的中点,F为BC上任意一点(不与B,C重合),沿DE,DF剪开分成①②③三块后,将②绕点D顺时针、③绕点E逆时针旋转180°恰好能与①拼成□DIHG,求□DI-HG周长的最小值。
【拓展作图】如图3,已知四边形ABCD,现要求只剪两次将其剪成四块,使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形,请在图3中用虚线画出两条剪痕,并对剪痕作适当的说明。

10.【探究发现】解:由题可知□DIHG周长=2DI+2DG=2BC+2DF=4+2DF,
当DF⊥BC时最小,此时DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ □DIHG周长的最小值为$4+\sqrt{3}$。
【拓展作图】
如图, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA边的中点, 沿EG, FH剪开分成①②③④四块后, 将①③分别绕点F,E旋转180°至⑦⑤,再将②平移至⑥,恰好能与④拼成平行四边形LJKN。

理由如下:
∵ E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA边的中点,
∴ AE=BE, BF=CF, CG=DG, AH=DH,
由旋转得:∠J=∠FLG, ∠N=∠ELH,
∴ KJ//NL, KN//JL,
∴ 四边形LJKN是平行四边形。